Teilmenge L_2 schw.folgenkomp < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:23 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Balendilin |
Hallo,
ich bin bei einem Beweis auf folgende Stelle gestoßen:
Sei [mm] L_2(S,B,m) [/mm] ein messbarer Raum (measure space). Dann ist [mm] L_2(S,B,m) [/mm] schwach folgenkompakt (sequentially weakly compakt).
Ich weiß erst mal, dass [mm] L_2 [/mm] reflexiv ist, also auch jede Teilmenge (egal ob messbar oder nicht). Dann weiß ich, dass jede beschränkte und schwach abgeschlossene Teilmenge (bzw. beschränkt, abgeschlossen (in der Norm) und konvexe Teilmenge) schwach folgenkompakt ist.
Woher weiß ich denn jetzt, dass S beschränkt und schwach abgeschlossen ist?
Oder bin ich völlig auf dem falschen Weg? Woher bekomme ich dann die schwache Folgenkompaktheit?
(ein Beweis ist nicht nötig. Ich suche eigentlich erst mal eine Erklärung, super wäre aber evtl. ein Verweis auf ein Buch o.Ä.)
Danke! 
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Hallo,
> Hallo,
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> ich bin bei einem Beweis auf folgende Stelle gestoßen:
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> Sei [mm]L_2(S,B,m)[/mm] ein messbarer Raum (measure space). Dann ist
> [mm]L_2(S,B,m)[/mm] schwach folgenkompakt (sequentially weakly
> compakt).
>
Kannst Du bitte nochmal schauen, was GENAU in diesem Beweis steht? Mir kommt diese Aussage sehr merkwürdig vor. Zunächst einmal vermute ich, dass dort steht: "...sei (S,B,m) ein messbarer Raum...". Aber auch dann macht die Aussage "dann ist [mm] L^2(S,B,m) [/mm] schwach folgenkompakt" keinen Sinn. Sie stimmt schon nicht für einfache teilmengen von R mit dem lebesgue-mass. Vielmehr sind dann abgeschlossene und beschränkte Teilmengen von solchen [mm] L^2 [/mm] -Räumen schw. folgenkompakt.
Gruss
Matthias
> Ich weiß erst mal, dass [mm]L_2[/mm] reflexiv ist, also auch jede
> Teilmenge (egal ob messbar oder nicht). Dann weiß ich,
> dass jede beschränkte und schwach abgeschlossene Teilmenge
> (bzw. beschränkt, abgeschlossen (in der Norm) und konvexe
> Teilmenge) schwach folgenkompakt ist.
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> Woher weiß ich denn jetzt, dass S beschränkt und schwach
> abgeschlossen ist?
>
> Oder bin ich völlig auf dem falschen Weg? Woher bekomme
> ich dann die schwache Folgenkompaktheit?
> (ein Beweis ist nicht nötig. Ich suche eigentlich erst
> mal eine Erklärung, super wäre aber evtl. ein Verweis auf
> ein Buch o.Ä.)
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> Danke!
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> Hallo,
> > Hallo,
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> > ich bin bei einem Beweis auf folgende Stelle gestoßen:
> >
> > Sei [mm]L_2(S,B,m)[/mm] ein messbarer Raum (measure space). Dann ist
> > [mm]L_2(S,B,m)[/mm] schwach folgenkompakt (sequentially weakly
> > compact).
> >
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> Kannst Du bitte nochmal schauen, was GENAU in diesem Beweis
> steht? Mir kommt diese Aussage sehr merkwürdig vor.
> Zunächst einmal vermute ich, dass dort steht: "...sei
> (S,B,m) ein messbarer Raum...". Aber auch dann macht die
> Aussage "dann ist [mm]L^2(S,B,m)[/mm] schwach folgenkompakt" keinen
> Sinn. Sie stimmt schon nicht für einfache teilmengen von R
> mit dem lebesgue-mass. Vielmehr sind dann abgeschlossene
> und beschränkte Teilmengen von solchen [mm]L^2[/mm] -Räumen schw.
> folgenkompakt.
>
> Gruss
> Matthias
>
Danke, da steht tatsächlich erst mal, dass (S,B,m) ein messbarer Raum ist. Allerdings kommt dann tatsächlich:
Therefore, by the sequential weak compactness of the Hilbert space [mm] L_2(S,B,m), [/mm] we obtain...
ich hoffe, ich hab mich nicht vertan, aber "sequential weak compactness" heißt doch "schwach folgenkompakt", oder?
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> > Ich weiß erst mal, dass [mm]L_2[/mm] reflexiv ist, also auch jede
> > Teilmenge (egal ob messbar oder nicht). Dann weiß ich,
> > dass jede beschränkte und schwach abgeschlossene Teilmenge
> > (bzw. beschränkt, abgeschlossen (in der Norm) und konvexe
> > Teilmenge) schwach folgenkompakt ist.
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> > Woher weiß ich denn jetzt, dass S beschränkt und schwach
> > abgeschlossen ist?
> >
> > Oder bin ich völlig auf dem falschen Weg? Woher bekomme
> > ich dann die schwache Folgenkompaktheit?
> > (ein Beweis ist nicht nötig. Ich suche eigentlich erst
> > mal eine Erklärung, super wäre aber evtl. ein Verweis auf
> > ein Buch o.Ä.)
> >
> > Danke!
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> Danke, da steht tatsächlich erst mal, dass (S,B,m) ein
> messbarer Raum ist. Allerdings kommt dann tatsächlich:
> Therefore, by the sequential weak compactness of the
> Hilbert space [mm]L_2(S,B,m),[/mm] we obtain...
> ich hoffe, ich hab mich nicht vertan, aber "sequential
> weak compactness" heißt doch "schwach folgenkompakt",
> oder?
>
Doch das stimmt schon. Was folgern die Leute im Buch denn jetzt? Vermutlich folgern sie auf "sequential weak compactness" einer bestimmten beschränkten und abgeschlossenen Teilmenge des [mm] L^2...
[/mm]
In diesem Fall wäre es dann eher eine Frage der Sprechweise.
Gruss
Matthias
> >
> >
> > > Ich weiß erst mal, dass [mm]L_2[/mm] reflexiv ist, also auch jede
> > > Teilmenge (egal ob messbar oder nicht). Dann weiß ich,
> > > dass jede beschränkte und schwach abgeschlossene Teilmenge
> > > (bzw. beschränkt, abgeschlossen (in der Norm) und konvexe
> > > Teilmenge) schwach folgenkompakt ist.
> > >
> > > Woher weiß ich denn jetzt, dass S beschränkt und schwach
> > > abgeschlossen ist?
> > >
> > > Oder bin ich völlig auf dem falschen Weg? Woher bekomme
> > > ich dann die schwache Folgenkompaktheit?
> > > (ein Beweis ist nicht nötig. Ich suche eigentlich
> erst
> > > mal eine Erklärung, super wäre aber evtl. ein Verweis auf
> > > ein Buch o.Ä.)
> > >
> > > Danke!
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> > Danke, da steht tatsächlich erst mal, dass (S,B,m) ein
> > messbarer Raum ist. Allerdings kommt dann tatsächlich:
> > Therefore, by the sequential weak compactness of the
> > Hilbert space [mm]L_2(S,B,m),[/mm] we obtain...
> > ich hoffe, ich hab mich nicht vertan, aber "sequential
> > weak compactness" heißt doch "schwach folgenkompakt",
> > oder?
> >
> Doch das stimmt schon. Was folgern die Leute im Buch denn
> jetzt? Vermutlich folgern sie auf "sequential weak
> compactness" einer bestimmten beschränkten und
> abgeschlossenen Teilmenge des [mm]L^2...[/mm]
> In diesem Fall wäre es dann eher eine Frage der
> Sprechweise.
>
Die folgern in dem Buch jetzt tatsächlich was aus der schwachen Folgenkompaktheit. Die folgern nämlich den Ergodensatz von Neumann quasi als Korollar des "normalen" Ergodensatzes (das ist eigentlich auch fast ein Korollar, wenn man die schwache Folgenkompaktheit von [mm] L_2(S,B,m) [/mm] kennt). Beim anderen Korollar vorher haben die auch schon die schwache Folgenkompaktheit benutzt - da wars aber ne Vorraussetzung. Und so wie ich das hier verstehe, ist das keine Vorraussetzung, sondern eine vorhandene Eigenschaft von [mm] L_2(S,B,m), [/mm] oder?
> Gruss
> Matthias
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> > > > Ich weiß erst mal, dass [mm]L_2[/mm] reflexiv ist, also auch jede
> > > > Teilmenge (egal ob messbar oder nicht). Dann weiß ich,
> > > > dass jede beschränkte und schwach abgeschlossene Teilmenge
> > > > (bzw. beschränkt, abgeschlossen (in der Norm) und konvexe
> > > > Teilmenge) schwach folgenkompakt ist.
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> > > > Woher weiß ich denn jetzt, dass S beschränkt und schwach
> > > > abgeschlossen ist?
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> > > > Oder bin ich völlig auf dem falschen Weg? Woher bekomme
> > > > ich dann die schwache Folgenkompaktheit?
> > > > (ein Beweis ist nicht nötig. Ich suche
> eigentlich
> > erst
> > > > mal eine Erklärung, super wäre aber evtl. ein Verweis auf
> > > > ein Buch o.Ä.)
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> > > > Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 14.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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