Teilmenge in R² < Sonstige < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Teuvo |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen des R2 sind (bezüglich der euklidischen Norm) offen, abgeschlossen, beschränkt? Geben Sie alle Randpunkte, Berührungspunkte, Häufungspunkte und isolierten Punkte der Mengen an.
a) A = {(x1,x2) : 0< [mm] (x1)^2 [/mm] + [mm] (x2)^2 [/mm] <1}
b) B = {(x1,x2) : 3x1-5x2 =7}
c) C = R x Q,
d) D = R x Z,
e) E = Z x Z. |
Hallo,
ich komm bei der Aufgebe irgendwie nicht weiter und der Ansatz fehlt mir auch komplett. Wahrscheinlich sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht :) Hat vielleicht jemand eine Idee, wie ich das lösen kann?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Teuvo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Welche der folgenden Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm] sind (bezüglich der euklidischen Norm) offen, abgeschlossen, beschränkt? Geben Sie alle Randpunkte, Berührungspunkte, Häufungspunkte und isolierten Punkte der Mengen an.
> a) [mm]A = \{(x_1,x_2) : 0
> b) [mm]B=\{(x_1,x_2): 3x_1-5x_2=7\}[/mm]
> c) [mm]C = \IR \times \IQ[/mm],
> d) [mm]D=\IR\times \IZ[/mm]
> e) [mm]E = \IZ \times \IZ[/mm].
Hallo,
ich komm bei der Aufgebe irgendwie nicht weiter und der Ansatz fehlt mir auch komplett. Wahrscheinlich sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht :) Hat vielleicht jemand eine Idee, wie ich das lösen kann?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Das Zitieren hat irgendwie alles zerschossen, ich musste erstmal alles manuell korrigieren ...
Wie geht man vor?
Nun, man hält sich streng an die Definitionen.
Schauen wir uns mal die a) an.
Hast du die Menge mal skizziert oder dir überlegt, welches Gebilde im [mm]\IR^2[/mm] das ist?
Du kennst doch sicher aus der Schule noch die Kreisgleichung (Kreis mit MP [mm](x_0,y_0)[/mm] und Radius [mm]r[/mm]): [mm](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2[/mm]
Hier haben wir eine Kreisscheibe (ohne Rand) um [mm](0,0)[/mm], aber in [mm](0,0)[/mm] punktiert, dh. [mm](0,0)[/mm] ist auch herausgenommen.
Das sieht also aus wie die Einheitskreisscheibe, die im Mittelpunkt ein kleines Loch hat.
Ist diese Menge offen?
Nehmen wir einen bel. Punkt aus [mm]A[/mm] her, etwa [mm](x,y)[/mm]. Kann man darum eine Kreisscheibe legen, die noch komplett in [mm]A[/mm] liegt?
Bastel daran mal rum.
Ich habe schon verraten, dass [mm]A[/mm] eine gelochte Kreisscheibe ohne Rand ist.
Was ist der Rand von [mm]A[/mm]? Und warum? Definition anwenden!
Beschränkt ist [mm]A[/mm] offensichtlich, denn ???
Fange damit mal an, dann können wir weiter arbeiten ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Teuvo |
Also die Definition der offenen Teilmenge besagt, dass eine Teilmenge offen ist, wenn jeder Punkt von A ein innerer Punkt ist.
Demnach würde es ja heißen, dass A offen ist.
Und Beschränkt auch, da die Definition der Beschränktheit ja sagt, dass eine Teilmenge beschränkt ist, wenn es eine Zahl c gibt, die die Teilmenge nach oben beschränkt, das wäre ja dann in A die 1, oder hab ich das jetzt falsch verstanden?
Und die Definition von einem Randpunkt besagt, dass jede [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung von x sowohl Punkte aus A als auch Punkte, die nicht zu A gehören enthält.
Aber ist der Randpunkt dann damit auch 1?
Ich bin mir leider grad nicht so sicher ob ich das richtig verstanden habe.
Und das der Mittelpunkt (0,0) nicht der Teilmenge angehört ergibt sich ja aus 0< x<1. Also das war jetzt meine Auffassung, ist die so in Ordnung?
Vielen Dank für deine Hilfe.
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Hallo,
> Also die Definition der offenen Teilmenge besagt, dass eine
> Teilmenge offen ist, wenn jeder Punkt von A ein innerer
> Punkt ist.
> Demnach würde es ja heißen, dass A offen ist.
Das stimmt zwar, aber ich bin mir nicht sicher, ob du es verstanden hast.
Kannst du dazu einen Beweis führen?
Kannst du zu jedem Punkt $x [mm] \in [/mm] A$ eine Umgebung von $x$ angeben, die noch vollständig in A liegt?
> Und Beschränkt auch, da die Definition der Beschränktheit
> ja sagt, dass eine Teilmenge beschränkt ist, wenn es eine
> Zahl c gibt, die die Teilmenge nach oben beschränkt, das
> wäre ja dann in A die 1, oder hab ich das jetzt falsch
> verstanden?
A ist eine zweidimensionale Menge. Da gibt es keine Ordnung mehr! Du kannst nicht sagen, dass alle Elemente von $A$ kleiner als 1 sind.
Beschränktheit wird mit der Norm definiert. Im zweidimensionalen lautet eure (euklidische) Norm: $||x|| = [mm] \sqrt{x_1^2 + x_2^2}.$
[/mm]
A beschränkt [mm] $\gdw$ $\exists [/mm] c [mm] \in \IR: \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: ||x|| [mm] \le [/mm] c$
Und tatsächlich ist hier das gesuchte c = 1. Kannst du das beweisen?
> Und die Definition von einem Randpunkt besagt, dass jede
> [mm]\varepsilon[/mm] -Umgebung von x sowohl Punkte aus A als auch
> Punkte, die nicht zu A gehören enthält.
> Aber ist der Randpunkt dann damit auch 1?
Die Menge ist zweidimensional!
Eine (eindimensionale) Zahl wie die 1 kann kein Randpunkt sein!
Der Rand der Menge muss eine Menge von Punkten im zweidimensionalen Raum sein.
Schau dir mal dieses Bild deiner Menge an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was ist denn hier anschaulich der "Rand"?
> Und das der Mittelpunkt (0,0) nicht der Teilmenge angehört
> ergibt sich ja aus 0< x<1.
Und was bringt diese Erkenntnis? 
Viele Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Teuvo |
Ich glaub ich hab die Definition der offenen Menge dann doch nicht richtig verstanden :( weil mir fällt der Beweis für alle drei Teilaufgaben sehr schwer als auch ein weiter X zu benennen, welches in der Menge A liegt.
Und der Rand von A wäre ja quasi [mm] \parallel x_{0} [/mm] - x [mm] \parallel [/mm] < r,
wobei r= 1 ist, oder hab ich das auch wieder falsch verstanden?
Vielen Dank für deine Hilfe
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Hallo,
> Ich glaub ich hab die Definition der offenen Menge dann
> doch nicht richtig verstanden :( weil mir fällt der Beweis
> für alle drei Teilaufgaben sehr schwer als auch ein weiter
> X zu benennen, welches in der Menge A liegt.
Dann mach ich mal ein paar Vorschläge:
--> Beweis A beschränkt: Wähle c := 1.
Dann gilt für alle $x = [mm] (x_1,x_2) \in [/mm] A$:
[mm] $||x||^2_2 [/mm] = [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] < 1$.
Daraus folgt
[mm] $||x||_2 [/mm] < 1 = c$.
Damit ist A beschränkt.
--> Beweis dass A offen: Wir müssen für jeden Punkt $x [mm] =(x_1,x_2)\in [/mm] A$ eine Umgebung finden, die noch vollständig in $A$ liegt.
Intuition: Wir legen um jeden Punkt einen Kreis, dessen Radius genau so groß ist, dass der Kreis noch in $A$ liegt.
Sei also $x [mm] =(x_1,x_2)\in [/mm] A$. Definiere $r := [mm] \min(||x||_2, [/mm] 1- [mm] ||x||_2)/2$. [/mm] Dann gilt für alle $y [mm] \in B_{r}(x)$:
[/mm]
$||x- [mm] y||_2 \le [/mm] r$, also
[mm] $||y||_2 \le ||y-x||_2 [/mm] + [mm] ||x||_2 \le [/mm] r + [mm] ||x||_2 \le [/mm] (1 - [mm] ||x||_2)/2 [/mm] + [mm] ||x||_2 [/mm] < 1$.
ähnlich zeigt man [mm] $||y||_2 [/mm] > 0$.
Damit folgt $y [mm] \in [/mm] A$.
Also [mm] $B_{r}(y) \subset [/mm] A$.
> Und der Rand von A wäre ja quasi [mm]\parallel x_{0}[/mm] - x
> [mm]\parallel[/mm] < r,
> wobei r= 1 ist, oder hab ich das auch wieder falsch
> verstanden?
Ja - der Rand ist doch einerseits der Nullpunkt (0,0) und dann noch der Kreis mit Radius 1. Das sind genau die Punkte, wo die Menge $A$ "aufhört".
Also ist der Rand:
[mm] $\partial [/mm] A = [mm] \{(x_1,x_2) \in \IR^2: x_1^2 + x_2^2 = 1 \mbox{ oder } (x_1,x_2) = (0,0)\}$
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Teuvo |
Hallo Stefan
vielen tausend Dank.
Du hast mir sehr geholfen.
Kann ich bei den Beweisen der Teilmenge B auch so vorgehen.
Da hab ich schon ein [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{7}{3} [/mm] + [mm] \bruch{5 x_{1}}{3} [/mm] errechnet und denke auch, dass die Teilmenge geschlossen sein sollte, weil sie ja schon klar beschränkt ist in der Abhängigkeit von [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] zueinander. Aber das war nur so eine Überlegung.
Und die Beweise von den Teilmengen C bis E würde ich anhand der Definitionen versuchen hinzubekommen. Oder ist das nicht so empfehlenswert?
Vielen Dank für deine Hilfe.
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Hallo,
> Kann ich bei den Beweisen der Teilmenge B auch so vorgehen.
> Da hab ich schon ein [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{7}{3}[/mm] + [mm]\bruch{5 x_{1}}{3}[/mm]
Hier stimmt noch irgendwas nicht, da stehen ja zwei [mm] x_1 [/mm] in der Gleichung, aber kein [mm] x_2.
[/mm]
> errechnet und denke auch, dass die Teilmenge geschlossen
> sein sollte,
Meinst du abgeschlossen? Das ist richtig, aber die Begründung ist falsch.
> weil sie ja schon klar beschränkt ist in der
> Abhängigkeit von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] zueinander.
Was bedeutet "beschränkt in der Abhängigkeit zueinander"?
Die Menge B ist nicht beschränkt.
Ansätze zur Menge B:
--------------------------
--> Die Menge B ist nicht beschränkt. Das liegt daran, dass [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] beliebig groß werden dürfen, solange sie nur die Relation [mm] 3x_1 [/mm] - [mm] 5x_2 [/mm] = 7 erfüllen. Anhand der Umstellung:
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] -\frac{7}{5} [/mm] + [mm] \frac{3}{5}x_1$
[/mm]
kannst du ja sehen, dass man die Menge $B$ auch so schreiben kann:
$B = [mm] \{\left(x_1,-\frac{7}{5} + \frac{3}{5}x_1\right): x_1 \in \IR\}$.
[/mm]
Was ist das für ein Gebildet in der [mm] $\IR^2$-Ebene? [/mm] Du siehst, dass [mm] $x_1 \in \IR$ [/mm] beliebig. Somit ist das sicher nicht beschränkt.
--> Die Menge B ist abgeschlossen (und NICHT offen): Das kannst du mit der Definition beweisen (gut wäre, wenn du z.B. folgende Def. benutzt: B abgeschlossen [mm] $\gdw$ [/mm] Für jede konvergente Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] aus A mit [mm] $x_n \to [/mm] x$ gilt: [mm] x\in [/mm] A.
--> Die Menge B hat sich selbst als Rand. Wieso?
> Und die Beweise von den Teilmengen C bis E würde ich
> anhand der Definitionen versuchen hinzubekommen. Oder ist
> das nicht so empfehlenswert?
Du musst immer anhand der Definitionen arbeiten!
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Teuvo |
Vielen Dank.
ich werde das mal so versuchen und mich dann noch einmal melden, wenn ich damit soweit fertig bin.
Aber ich danke dir schon einmal für deine tolle Hilfe
Hab noch einen wundervollen Abend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Di 23.04.2013 | | Autor: | Teuvo |
Guten Morgen,
Ich hab mal ein bisschen rumprobiert und versucht einen Beweis zu führen und wollt gern wissen, ob meine Idee auch soweit nachvollziehbar und vor
allem richtig sein könnte.
Für B={ [mm] (x_{1},x_{2}): 3x_{1} [/mm] - [mm] 5x_{2} [/mm] =7 }
Als erstes hab ich die Gleichung nach [mm] x_{2} [/mm] aufgelöst und fest gestellt, das wie mir im Tipp schon gesagt wurde, [mm] x_{1} [/mm] frei wählbar ist und [mm] x_{2} [/mm] sich durch [mm] x_{1} [/mm] ergibt.
Dann habe ich B= { [mm] (x_{1}, [/mm] -7/5 [mm] +3x_{1}/5) [/mm] }
Anschließend hab ich mir den Raum dargestellt und fest gestellt, dass ich eine Gerade erhalte.
Und Stefan hat angedeutet, dass B sein eigener Rand ist. Und da hab ich mir die Definition des Randpunktes aus der Vorlesung genommen, und die besagt, dass ein x Randpunkt von B ist, wenn er weder innerer noch äußerer Punkt von D ist. Dies würde ja auf eine Gerade dann zu treffen. Oder reicht das nicht als Argument?
Und Stefan hat mir außerdem den Tipp gegeben die Abgeschlossenheit von B über die Konvergenz der Teilfolgen zu begründen.
Das hab ich mal probiert, nur bin ich mir nicht sicher ob ich das richtig gemacht habe. Könnte da vielleicht nochmal jemand drüber gucken?
Also hier ist mein Beweis:
Laut Definition ist eine Menge abgeschlossen, wenn für jede Folge [mm] x_{n} [/mm] in B mit [mm] x_{n } \to [/mm] x , x [mm] \in [/mm] X gilt x [mm] \in [/mm] B
Annahme: x [mm] \in X\A
[/mm]
Da [mm] X\A [/mm] offen ist gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 mit B(x, [mm] \varepsilon) \subseteq X\A, [/mm]
da die Folge konvergiert, liegen alle Folgeglieder bis auf endlich viele in B(x, [mm] \varepsilon) \subseteq X\A
[/mm]
aber da ich ja eine abgeschlossene Menge habe ist dies ein Wiederspruch und somit der Beweis dafür.
Bei den anderen Teilaufgeben habe ich mir erst einmal bewusst gemacht, welchen Bereich der Zahlen durch [mm] \IZ [/mm] , [mm] \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] beschrieben sind. Und habe mir dann überlegt, ob die Mengen endlich oder nicht sind. Und habe festgestellt, dass [mm] \IR [/mm] nicht endlich ist, ebenso [mm] \IZ [/mm] und [mm] \IQ.
[/mm]
Und ich weiß, dass [mm] \IR \IZ [/mm] und [mm] \IQ [/mm] beinhaltet und ich so die Norm aus [mm] \IR^2 [/mm] anwendbar ist.
Und jetzt fehlt mir eine Idee wie ich weiter vorgehen kann.
Ich hab mir außerdem überlegt, dass wenn E= [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] ist es vielleicht als Häufungspunkt alle x [mm] \in \IZ [/mm] haben könnte, aber das sind nur Überlegungen.
Vielleicht hat einer noch einen guten Rat für mich.
Vielen Dank im voraus.
teuvo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Di 23.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Guten Morgen,
>
> Ich hab mal ein bisschen rumprobiert und versucht einen
> Beweis zu führen und wollt gern wissen, ob meine Idee auch
> soweit nachvollziehbar und vor
> allem richtig sein könnte.
> Für B= [mm] $\{(x_{1},x_{2}): 3x_{1} -5x_{2} =7 \}$
[/mm]
> Als erstes hab ich die Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] aufgelöst und
> fest gestellt, das wie mir im Tipp schon gesagt wurde,
> [mm]x_{1}[/mm] frei wählbar ist und [mm]x_{2}[/mm] sich durch [mm]x_{1}[/mm] ergibt.
> Dann habe ich B= [mm] $\{(x_{1}, -7/5 +3x_{1}/5)\}$
[/mm]
> Anschließend hab ich mir den Raum dargestellt und fest
> gestellt, dass ich eine Gerade erhalte.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und Stefan hat angedeutet, dass B sein eigener Rand ist.
> Und da hab ich mir die Definition des Randpunktes aus der
> Vorlesung genommen, und die besagt, dass ein x Randpunkt
> von B ist, wenn er weder innerer noch äußerer Punkt von D
Wie ist äußerer Punkt definiert und welche Menge D meinst Du?
> ist. Dies würde ja auf eine Gerade dann zu treffen. Oder
> reicht das nicht als Argument?
> Und Stefan hat mir außerdem den Tipp gegeben die
> Abgeschlossenheit von B über die Konvergenz der Teilfolgen
> zu begründen.
> Das hab ich mal probiert, nur bin ich mir nicht sicher ob
> ich das richtig gemacht habe. Könnte da vielleicht nochmal
> jemand drüber gucken?
> Also hier ist mein Beweis:
> Laut Definition ist eine Menge abgeschlossen, wenn für
> jede Folge [mm]x_{n}[/mm] in B mit [mm]x_{n } \to[/mm] x , x [mm]\in[/mm] X gilt x
> [mm]\in[/mm] B
Ist X = [mm] $\IR^2$?
[/mm]
> Annahme: x [mm]\in X\setminus A[/mm]
Ist X \ B gemeint?
Die Annahme müsste etwas ausführlicher sein:
Sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}) [/mm] eine Folge in B mit [mm]x_{n } \to[/mm] x , x [mm]\in[/mm] X und sei $x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] B$.
> Da [mm]X\setminus A[/mm] offen ist gibt es ein
> [mm]\varepsilon[/mm] >0 mit B(x, [mm]\varepsilon) \subseteq X\setminus A,[/mm]
> da die Folge konvergiert, liegen alle Folgeglieder bis auf
> endlich viele in B(x, [mm]\varepsilon) \subseteq X\A[/mm]
> aber da
> ich ja eine abgeschlossene Menge habe ist dies ein
> Wiederspruch und somit der Beweis dafür.
Wolltest du nicht die Abgeschlossenheit von B zeigen?
Dann darfst Du nicht die Abgeschlossenheit von B benutzen.
Aber alle Folgenglieder liegen in B. Daher der Widerspruch zu unendlich
viele Folgenglieder liegen in X \ B. Deshalb x [mm] $\not\in$ [/mm] X \ B.
>
> Bei den anderen Teilaufgeben habe ich mir erst einmal
> bewusst gemacht, welchen Bereich der Zahlen durch [mm]\IZ[/mm] , [mm]\IR[/mm]
> und [mm]\IQ[/mm] beschrieben sind. Und habe mir dann überlegt, ob
> die Mengen endlich oder nicht sind. Und habe festgestellt,
> dass [mm]\IR[/mm] nicht endlich ist, ebenso [mm]\IZ[/mm] und [mm]\IQ.[/mm]
> Und ich weiß, dass [mm]\IR \quad \IZ[/mm] und [mm]\IQ[/mm] beinhaltet und ich so
> die Norm aus [mm]\IR^2[/mm] anwendbar ist.
> Und jetzt fehlt mir eine Idee wie ich weiter vorgehen
> kann.
> Ich hab mir außerdem überlegt, dass wenn E= [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm]
> ist es vielleicht als Häufungspunkt alle x [mm]\in \IZ[/mm] haben
> könnte, aber das sind nur Überlegungen.
Häufungspunkte müssen aus [mm] $\IR^2$ [/mm] sein, nicht nur aus [mm] $\IZ$.
[/mm]
Gibt es in E konvergente Folgen?
Was ist mit [mm] $\IR^2 \setminus [/mm] $ E?
> Vielleicht hat einer noch einen guten Rat für mich.
Hast Du eine Vorstellung wie die Mengen C, D und E "aussehen"?
Dann die Definitionen der gefragten Eigenschaften nachprüfen.
>
> Vielen Dank im voraus.
> teuvo
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Di 23.04.2013 | | Autor: | Teuvo |
> Hallo,
>
> > Guten Morgen,
> >
> > Ich hab mal ein bisschen rumprobiert und versucht einen
> > Beweis zu führen und wollt gern wissen, ob meine Idee auch
> > soweit nachvollziehbar und vor
> > allem richtig sein könnte.
> > Für B= [mm]\{(x_{1},x_{2}): 3x_{1} -5x_{2} =7 \}[/mm]
> > Als
> erstes hab ich die Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] aufgelöst und
> > fest gestellt, das wie mir im Tipp schon gesagt wurde,
> > [mm]x_{1}[/mm] frei wählbar ist und [mm]x_{2}[/mm] sich durch [mm]x_{1}[/mm] ergibt.
> > Dann habe ich B= [mm]\{(x_{1}, -7/5 +3x_{1}/5)\}[/mm]
> >
> Anschließend hab ich mir den Raum dargestellt und fest
> > gestellt, dass ich eine Gerade erhalte.
>
>
> > Und Stefan hat angedeutet, dass B sein eigener Rand ist.
> > Und da hab ich mir die Definition des Randpunktes aus der
> > Vorlesung genommen, und die besagt, dass ein x Randpunkt
> > von B ist, wenn er weder innerer noch äußerer Punkt von D
> Wie ist äußerer Punkt definiert und welche Menge D meinst
> Du?
Oh Entschuldigung hab quasi die Definition aus der Vorlesung übernommen und da war D die Menge, hier wäre es natürlich B.
und ein äußerer Punkt einer Menge ist doch ein x, welches nicht in der Menge liegt, oder hab ich da einen Denkfehler, das passiert mir auch manchmal ;)
>
> > ist. Dies würde ja auf eine Gerade dann zu treffen. Oder
> > reicht das nicht als Argument?
> > Und Stefan hat mir außerdem den Tipp gegeben die
> > Abgeschlossenheit von B über die Konvergenz der Teilfolgen
> > zu begründen.
> > Das hab ich mal probiert, nur bin ich mir nicht sicher
> ob
> > ich das richtig gemacht habe. Könnte da vielleicht nochmal
> > jemand drüber gucken?
> > Also hier ist mein Beweis:
> > Laut Definition ist eine Menge abgeschlossen, wenn für
> > jede Folge [mm]x_{n}[/mm] in B mit [mm]x_{n } \to[/mm] x , x [mm]\in[/mm] X gilt x
> > [mm]\in[/mm] B
> Ist X = [mm]\IR^2[/mm]?
>
> > Annahme: x [mm]\in X\setminus A[/mm]
> Ist X \ B gemeint?
> Die Annahme müsste etwas ausführlicher sein:
> Sei [mm]$(x_n)_{n \in \IN})[/mm] eine Folge in B mit [mm]x_{n } \to[/mm] x ,
> x [mm]\in[/mm] X und sei [mm]x \in X \setminus B[/mm].
>
> > Da [mm]X\setminus B[/mm] offen ist gibt es ein
> > [mm]\varepsilon[/mm] >0 mit B(x, [mm]\varepsilon) \subseteq X\setminus B,[/mm]
> > da die Folge konvergiert, liegen alle Folgeglieder bis auf
> > endlich viele in B(x, [mm]\varepsilon) \subseteq X\B[/mm]
>
>
> > aber da
> > ich ja eine abgeschlossene Menge habe ist dies ein
> > Wiederspruch und somit der Beweis dafür.
> Wolltest du nicht die Abgeschlossenheit von B zeigen?
> Dann darfst Du nicht die Abgeschlossenheit von B
> benutzen.
> Aber alle Folgenglieder liegen in B. Daher der Widerspruch
> zu unendlich
> viele Folgenglieder liegen in X \ B. Deshalb x [mm]\not\in[/mm] X \
> B.
>
Hast du eine Idee, wie ich den Beweis besser darstellen kann? Weil mir fehlt da dann die zündende Idee.
> >
> > Bei den anderen Teilaufgeben habe ich mir erst einmal
> > bewusst gemacht, welchen Bereich der Zahlen durch [mm]\IZ[/mm] , [mm]\IR[/mm]
> > und [mm]\IQ[/mm] beschrieben sind. Und habe mir dann überlegt, ob
> > die Mengen endlich oder nicht sind. Und habe festgestellt,
> > dass [mm]\IR[/mm] nicht endlich ist, ebenso [mm]\IZ[/mm] und [mm]\IQ.[/mm]
> > Und ich weiß, dass [mm]\IR \quad \IZ[/mm] und [mm]\IQ[/mm] beinhaltet
> und ich so
> > die Norm aus [mm]\IR^2[/mm] anwendbar ist.
>
>
> > Und jetzt fehlt mir eine Idee wie ich weiter vorgehen
> > kann.
> > Ich hab mir außerdem überlegt, dass wenn E= [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm]
> > ist es vielleicht als Häufungspunkt alle x [mm]\in \IZ[/mm] haben
> > könnte, aber das sind nur Überlegungen.
> Häufungspunkte müssen aus [mm]\IR^2[/mm] sein, nicht nur aus [mm]\IZ[/mm].
> Gibt es in E konvergente Folgen?
Da bin ich mir nicht so sicher :(
Ich muss ehrlich sagen, dass mir nicht präsent ist, wie ich an die Teilmengen letzten Teilmengen rangehen kann.
> Was ist mit [mm]\IR^2 \setminus[/mm] E?
>
> > Vielleicht hat einer noch einen guten Rat für mich.
> Hast Du eine Vorstellung wie die Mengen C, D und E
> "aussehen"?
> Dann die Definitionen der gefragten Eigenschaften
> nachprüfen.
> >
> > Vielen Dank im voraus.
> > teuvo
>
> Gruß
> meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Mi 24.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
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> > > Und Stefan hat angedeutet, dass B sein eigener Rand ist.
> > > Und da hab ich mir die Definition des Randpunktes aus der
> > > Vorlesung genommen, und die besagt, dass ein x Randpunkt
> > > von B ist, wenn er weder innerer noch äußerer Punkt von D
> > Wie ist äußerer Punkt definiert und welche Menge D meinst
> > Du?
> Oh Entschuldigung hab quasi die Definition aus der
> Vorlesung übernommen und da war D die Menge, hier wäre es
> natürlich B.
> und ein äußerer Punkt einer Menge ist doch ein x,
> welches nicht in der Menge liegt, oder hab ich da einen
> Denkfehler, das passiert mir auch manchmal ;)
Vielleicht meinst Du, ein Punkt ist Randpunkt einer Menge, wenn er nicht
innerer Punkt der Menge und auch nicht innerer Punkt des Komplements
der Menge ist.
Aber äußerer Punkt ist nicht definiert.
> >
...
> > > Also hier ist mein Beweis:
> > > Laut Definition ist eine Menge abgeschlossen, wenn
> für
> > > jede Folge [mm]x_{n}[/mm] in B mit [mm]x_{n } \to[/mm] x , x [mm]\in[/mm] X gilt x
> > > [mm]\in[/mm] B
> > Ist X = [mm]\IR^2[/mm]?
> >
> > > Annahme: x [mm]\in X\setminus A[/mm]
> > Ist X \ B gemeint?
> > Die Annahme müsste etwas ausführlicher sein:
> > Sei [mm]$(x_n)_{n \in \IN})[/mm] eine Folge in B mit [mm]x_{n } \to[/mm]
> x ,
> > x [mm]\in[/mm] X und sei [mm]x \in X \setminus B[/mm].
> >
> > > Da [mm]X\setminus B[/mm] offen ist gibt es ein
> > > [mm]\varepsilon[/mm] >0 mit B(x, [mm]\varepsilon) \subseteq X\setminus B,[/mm]
> > > da die Folge konvergiert, liegen alle Folgeglieder bis auf
> > > endlich viele in B(x, [mm]\varepsilon) \subseteq X\B[/mm]
> >
>
> >
> > > aber da
> > > ich ja eine abgeschlossene Menge habe ist dies ein
> > > Wiederspruch und somit der Beweis dafür.
> > Wolltest du nicht die Abgeschlossenheit von B zeigen?
> > Dann darfst Du nicht die Abgeschlossenheit von B
> > benutzen.
> > Aber alle Folgenglieder liegen in B. Daher der
> Widerspruch
> > zu unendlich
> > viele Folgenglieder liegen in X \ B. Deshalb x [mm]\not\in[/mm] X \
> > B.
> >
> Hast du eine Idee, wie ich den Beweis besser darstellen
> kann? Weil mir fehlt da dann die zündende Idee.
Steht doch jetzt alles da.
Da braucht es keine zündende Idee,
sondern nur etwas Sorgfalt beim Aufschreiben.
...
> > Gibt es in E konvergente Folgen?
> Da bin ich mir nicht so sicher :(
Oh, da ist mir glatt ein gravierender Denkfehler passiert.
Es gibt in E auch konvergente Folgen, nur haben die eine spezielle Form.
> Ich muss ehrlich sagen, dass mir nicht präsent ist, wie
> ich an die Teilmengen letzten Teilmengen rangehen kann.
Beschreib doch mal die Mengen C, D und E.
Oder versuche sie zu zeichnen.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Do 25.04.2013 | | Autor: | Teuvo |
Stimmt. Jetzt wo ich es sehe und drüber nachgedacht habe ist es mir auch aufgefallen :)
und das mit dem Aufzeichnen war eine sehr gute Idee, dadurch wurde mir viel deutlicher wie sich die Mengen darstellen lassen.
Vielen Dank für die Hilfe.
Einen schönen sonnigen Tag und ein erholsames Wochenende.
Teuvo
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