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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mo 14.10.2013 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Seien M und N Mengen und f eine Abbildung von M nach N und A,B [mm] \subset [/mm] M. Zeigen Sie:
A [mm] \subset [/mm] B => f(A) [mm] \subset [/mm] f(B) |
Hallo Leute,
mir ist der Sachverhalt eigentlich klar, nur weiß ich noch nicht, wie ich das in Worte fassen soll. Also mal ein Beispiel:
M=[1,2,3,4]
N=[1,2,3,4,5]
A=[1,2]
B=[1,2,3]
f(1)=4
f(2)=5
f(3)=3
A [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] M
f(A)=[4,5] [mm] \subset [/mm] f(B)=[3,4,5]
Das sehe ich ein, ist auch klar, da ein Element aus M als insbesondere aus A oder B nicht auf zwei verschiedene Elemente in N abgebildet werden kann, da f eine Abbildung ist.
Mein Beweis fällt daher argumentativ aus.
Sei a [mm] \in [/mm] A => a [mm] \in [/mm] B => a [mm] \in [/mm] M. Weiterhin sei f(a)=c [mm] \in [/mm] N. Da aber a sowohl in A und B vorkommt und f eine Abbildung ist, also insbesondere a nicht auf zwei verschiede Elemente abgebildet werden kann folgt daraus, dass c [mm] \in [/mm] f(A) und c [mm] \in [/mm] f(B) => f(A) [mm] \subset [/mm] f(B).
Würdet ihr das als Beweis akzeptieren?
Danke schonmal!
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Hallo,
> Seien M und N Mengen und f eine Abbildung von M nach N und
> A,B [mm]\subset[/mm] M. Zeigen Sie:
>
> A [mm]\subset[/mm] B => f(A) [mm]\subset[/mm] f(B)
> Hallo Leute,
>
> mir ist der Sachverhalt eigentlich klar, nur weiß ich noch
> nicht, wie ich das in Worte fassen soll. Also mal ein
> Beispiel:
>
> M=[1,2,3,4]
> N=[1,2,3,4,5]
> A=[1,2]
> B=[1,2,3]
>
> f(1)=4
> f(2)=5
> f(3)=3
>
> A [mm]\subset[/mm] B [mm]\subset[/mm] M
> f(A)=[4,5] [mm]\subset[/mm] f(B)=[3,4,5]
>
> Das sehe ich ein, ist auch klar, da ein Element aus M als
> insbesondere aus A oder B nicht auf zwei verschiedene
> Elemente in N abgebildet werden kann, da f eine Abbildung
> ist.
>
> Mein Beweis fällt daher argumentativ aus.
>
> Sei a [mm]\in[/mm] A => a [mm]\in[/mm] B => a [mm]\in[/mm] M.
Die letzte Implikation ist hier unnötig, denn das gilt nach Voraussetzung (und es ist für deinen Gedankengang IMO auch nicht notwendig).
> Weiterhin sei f(a)=c [mm]\in[/mm]
> N. Da aber a sowohl in A und B vorkommt und f eine
> Abbildung ist, also insbesondere a nicht auf zwei
> verschiede Elemente abgebildet werden kann folgt daraus,
> dass c [mm]\in[/mm] f(A) und c [mm]\in[/mm] f(B) => f(A) [mm]\subset[/mm] f(B).
>
Ja, ich denke, das ist richtig.
Gruß, Diophant
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Hiho,
du kannst ja noch einmal üben das "direkter" aufzuschreiben.
z.Z: $f(A) [mm] \subset [/mm] f(B)$
fangen wir also an mit:
Sei $f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A$
[mm] $\Rightarrow \ldots$
[/mm]
Mach mal weiter, du brauchst eigentlich nur noch 2 Schritte, dann stehts direkt da.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Mo 14.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> du kannst ja noch einmal üben das "direkter"
> aufzuschreiben.
>
> z.Z: [mm]f(A) \subset f(B)[/mm]
>
> fangen wir also an mit:
>
> Sei [mm]f(x) \in f(A)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x \in A[/mm]
Diese Implikation ist genau genommen falsch.
Daher lieber:
Sei [mm] $y\in [/mm] f(A)$. Dann existiert ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit $f(x)=y$.
> [mm]\Rightarrow \ldots[/mm]
>
> Mach mal weiter, du brauchst eigentlich nur noch 2
> Schritte, dann stehts direkt da.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mo 14.10.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu tobi,
da hast du natürlich recht.
Da wollte ich es direkter machen, als es eigentlich geht.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Mo 14.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo AntonK!
> Beispiel:
>
> M=[1,2,3,4]
> N=[1,2,3,4,5]
> A=[1,2]
> B=[1,2,3]
>
> f(1)=4
> f(2)=5
> f(3)=3
Hier fehlt noch die Angabe von $f(4)$.
> A [mm]\subset[/mm] B [mm]\subset[/mm] M
> f(A)=[4,5] [mm]\subset[/mm] f(B)=[3,4,5]
>
> Das sehe ich ein, ist auch klar, da ein Element aus M als
> insbesondere aus A oder B nicht auf zwei verschiedene
> Elemente in N abgebildet werden kann, da f eine Abbildung
> ist.
Die Begründung verstehe ich nicht.
> Mein Beweis fällt daher argumentativ aus.
>
> Sei a [mm]\in[/mm] A => a [mm]\in[/mm] B => a [mm]\in[/mm] M.
> Weiterhin sei f(a)=c [mm]\in[/mm]
> N. Da aber a sowohl in A und B vorkommt und f eine
> Abbildung ist, also insbesondere a nicht auf zwei
> verschiede Elemente abgebildet werden kann folgt daraus,
> dass c [mm]\in[/mm] f(A)
Wenn $c=f(a)$ für ein [mm] $a\in [/mm] A$ gilt, gilt [mm] $c\in [/mm] f(A)$ nach Definition von $f(A)$.
Der Verweis auf die Tatsache, dass $f$ eine Abbildung ist, erscheint mir hier nicht hilfreich. (Wäre f keine Abbildung, wäre schon die Schreibweise $f(a)$ sinnlos gewesen.)
> und c [mm]\in[/mm] f(B) => f(A) [mm]\subset[/mm] f(B).
Du hast also, wenn ich dich richtig verstehe, ein Element [mm] $c\in [/mm] N$ hergenommen, und unter der Annahme, dass $f(a)=c$ für ein [mm] $a\in [/mm] A$ gilt, [mm] $c\in [/mm] f(A)$ und [mm] $c\in [/mm] f(B)$ hergeleitet.
Wie folgt jetzt [mm] $f(A)\subset [/mm] f(B)$?
> Würdet ihr das als Beweis akzeptieren?
Ich nicht.
Das Entscheidende hat Gono geschrieben (beachte auch meine Mitteilung dazu):
Um eine Teilmengenbeziehung zu zeigen, betrachten wir ein beliebig vorgegebenes Element aus der einen Menge (hier $f(A)$) und zeigen, dass es notwendigerweise auch in der anderen Menge (hier $f(B)$) liegt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 14.10.2013 | | Autor: | AntonK |
Gut also:
Sei y [mm] \in [/mm] f(A), es exstiert also ein x [mm] \in [/mm] A mit f(x)=y. Da A [mm] \subset [/mm] B gilt ebenfalls x [mm] \in [/mm] B. Daraus folgt doch dann aber direkt, dass f(A) [mm] \subset [/mm] f(B) gilt oder sehe ich das falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 14.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Sei y [mm]\in[/mm] f(A), es exstiert also ein x [mm]\in[/mm] A mit f(x)=y. Da
> A [mm]\subset[/mm] B gilt ebenfalls x [mm]\in[/mm] B.
Schön!
> Daraus folgt doch dann
> aber direkt, dass f(A) [mm]\subset[/mm] f(B) gilt oder sehe ich das
> falsch?
Zunächst folgt daraus [mm] $y=f(x)\in [/mm] f(B)$.
Damit ist dann in der Tat [mm] $f(A)\subset [/mm] f(B)$ gezeigt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Mo 14.10.2013 | | Autor: | AntonK |
Super, danke!
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