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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:58 Fr 22.10.2004 | | Autor: | xantic_22 |
Hallo!
Ich habe heute meinen neuen Übungszettel bekommen und sitze bis jetzt völlig ahnungslos am Schreibtisch. Ich weiß nicht, wie ich diese Aufgaben angehen soll:
Aufgabe 1:
Es sei f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung zwischen Mengen. Für Teilmengen [mm] M_{1}, M_{2} \subset [/mm] X und [mm] N_{1}, N_{2} \subset [/mm] Y zeige:
(i) [mm] f(M_{1} \cup M_{2}) [/mm] = [mm] f(M_{1}) \cup f(M_{2})
[/mm]
(ii) [mm] f(M_{1} \cap M_{2}) \subset f(M_{1}) \cap f(M_{2})
[/mm]
(iii) [mm] f^{-1}(N_{1} \cup N_{2}) [/mm] = [mm] f^{-1}(N_{1}) \cup f^{-1}(N_{2})
[/mm]
(iv) [mm] f^{-1}(N_{1} \cap N_{2}) [/mm] = [mm] f^{-1}(N_{1}) \cap f^{-1}(N_{2})
[/mm]
Gilt in (ii) Gleichheit? Beweis oder Gegenbeispiel.
Aufgabe 2:
Geben Sie die Matrixdarstellung des linearen Gleichungssystemes
3x + 4y + 2z = [mm] b_{1}
[/mm]
2x + 8y = [mm] b_{2}
[/mm]
x + z = [mm] b_{3}
[/mm]
an.
Bestimme alle Vektoren b = [mm] \vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}} \in \IR^{3}, [/mm] für welche es lösbar ist. Bestimme die Lösungsmenge im Fall b = [mm] \vektor{{0} \\ {0} \\ {0}}.
[/mm]
Aufgabe 3:
Es sei [mm] M_{n \times n} (\IR) [/mm] die Menge aller n [mm] \times [/mm] n -Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IR.
[/mm]
a) Zeige, dass [mm] M_{n \times n} (\IR) [/mm] eine Gruppe (für die Matrizenaddition) ist.
b) Für eine Matrix A = [mm] (a_{ij})_{ij} \in M_{n \times n}(\IR) [/mm] sei [mm] A^{t} [/mm] = [mm] (a_{ij})_{ij}, [/mm] die transponierte Matrix. A heißt symmetrisch , falls A = [mm] A^{t} [/mm] gilt.
Zeige, dass die Menge aller symmetrischen Matrizen eine Gruppe (für die Matrizenaddition) ist.
c) Zeige, dass die Abbildung [mm] \delta [/mm] : [mm] M_{n \times n}(\IR) \to M_{n \times n}(\IR), [/mm] A [mm] \mapsto [/mm] A + [mm] A^{t} [/mm]
ein Gruppenhomomorphismus ist, d.h. es gilt [mm] \delta [/mm] (A + B) = [mm] \delta [/mm] (A) + [mm] \delta [/mm] (B) für alle A,B [mm] \in M_{n \times n}(\IR). [/mm] Bestimme das Bild von [mm] \delta.
[/mm]
Aufgabe 4:
Sei X eine Menge. Zeige, dass S(X) eine Gruppe ist. Zeige, dass S(X) nicht kommutativ ist, falls X mindestens drei Elemente hat.
Weshalb ist die Menge aller Abbildungen X [mm] \to [/mm] X eine Gruppe, falls X mindestes zwei Elemente hat?
Ich hoffe ihr könnt mir bei meinen Problemen helfen. Für Tipps, Lösungsansätze und Lösungen bin ich sehr dankbar. Sollte ich inzwischen selber etwas herausbekommen haben, werde ich es hier posten.
Mit freundlichen Grüßen
Henning
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Hallo!
Du scheinst wohl gerade mit dem Mathestudium angefangen zu haben - solche Aufgaben hatten wir damals auch. Mal sehen, was ich davon noch behalten habe...
Aber als erstes mal ein Tipp: tu dich doch mit ein paar Leuten zusammen - irgendwer versteht immer irgendwas, und zusammen macht es manchmal richtig Spaß und man kommt bestimmt auf eine Lösung. 
> Aufgabe 1:
> Es sei f : X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung zwischen Mengen. Für
> Teilmengen [mm]M_{1}, M_{2} \subset[/mm] X und [mm]N_{1}, N_{2} \subset[/mm]
> Y zeige:
>
> (i) [mm]f(M_{1} \cup M_{2})[/mm] = [mm]f(M_{1}) \cup f(M_{2})
[/mm]
> (ii)
> [mm]f(M_{1} \cap M_{2}) \subset f(M_{1}) \cap f(M_{2})
[/mm]
> (iii)
> [mm]f^{-1}(N_{1} \cup N_{2})[/mm] = [mm]f^{-1}(N_{1}) \cup f^{-1}(N_{2})
[/mm]
>
> (iv) [mm]f^{-1}(N_{1} \cap N_{2})[/mm] = [mm]f^{-1}(N_{1}) \cap f^{-1}(N_{2})
[/mm]
>
>
> Gilt in (ii) Gleichheit? Beweis oder Gegenbeispiel.
Bei diesen Aufgaben musst du dir in der Regel ein beliebiges x suchen, dass in der gegebenen Menge (also, wenn du von links nach rechts gehen willst, in der linken Menge) liegt, musst dann daraus einiges folgern, sodass du dann auf die rechte Seite schließen kannst. Da du ein beliebiges x gewählt hast, ist die Aussage somit für die ganze Menge, in der das x liegt, gültig, da du ja keine anderen Voraussetzungen für das x hast.
Ich hab' die erste leider auf die Schnelle nicht hinbekommen, aber die zweite müsste so aussehen:
$x [mm] \in (M_1 \cap M_2) \gdw [/mm] x [mm] \in M_1 [/mm] \ [mm] \red{\wedge}\ [/mm] x [mm] \in M_2 \red{\Rightarrow} [/mm] f(x) [mm] \in f(M_1) [/mm] \ [mm] \red{\wedge}\ [/mm] f(x) [mm] \in f(M_2) \gdw [/mm] f(x) [mm] \in f(M_1) [/mm] \ [mm] \red{\wedge}\ \red{f(x) \in} f(M_2) \gdw [/mm] f(x) [mm] \in \red{f(M_1) \cap f(M_2)}$
[/mm]
(Die roten Stellen habe ich (Stefan) editiert, sie waren offenbar falsch.)
(Ich hoffe, ich habe nichts falsch gemacht, ist schon ne Weile her, als ich so ne Aufgabe das letzte Mal gemacht habe...)
Ich schätze mal, dass die Gleichheit nicht gilt (ist so ne typische Aufgabe, für so was ein Gegenbeispiel zu finden). Probier' mal ein paar Mengen aus - zeichnen der Mengen hilft auch oft, ist aber kein Beweis! kann höchstens zur Veranschaulichung dienen!, dann müsstest du was finden. Wenn ich nachher noch Zeit habe, überlege ich vielleicht nochmal.
>
> Aufgabe 2:
> Geben Sie die Matrixdarstellung des linearen
> Gleichungssystemes
> 3x + 4y + 2z = [mm]b_{1}
[/mm]
> 2x + 8y = [mm]b_{2}
[/mm]
> x + z = [mm]b_{3}
[/mm]
> an.
> Bestimme alle Vektoren b = [mm]\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}} \in \IR^{3},[/mm]
> für welche es lösbar ist. Bestimme die Lösungsmenge im Fall
> b = [mm]\vektor{{0} \\ {0} \\ {0}}.
[/mm]
Hier weiß ich nicht so ganz, wo dein Problem liegt, so etwas macht man doch eigentlich in der Schule, oder? 
Also, wenn man ein lineares Gleichungssystem gegeben hat, dann ist die Matrixdarstellung davon nur eine andere Schreibweise. Man muss mit dem Gleichungssystem gar nichts machen, sondern es einfach in eine Matrix schreiben. Sieh es dir an - ich denke, du wirst verstehen, wie ich es gemacht habe:
[mm] \pmat{3&4&2\\2&8&0\\1&0&1} \vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{b_1\\b_2\\b_3}
[/mm]
(Multipliziere einfach die Matrix mit dem Vektor, und du erhältst die Darstellung von vorher.)
Dieses Gleichungssystem kann man nun auf verschiedenen Weise lösen, z. B. nach der Einsetzungsmethode aus der Schule (man löst eine Gleichung nach einer Varialben auf, ersetzt diese Variable dann in einer anderen Gleichung, löst diese wiederum nach einer Variablen auf usw.). Wenn du es aber schon in Matriwschreibweise umwandeln solltest, kann man es auch nach dem Gaußverfahren machen, das ist im Prinzip genau dasselbe, man schreibt es nur anders - aber das müsstet ihr dann eigentlich in der Vorlesung gemacht haben (obwohl man das auch teilweise auf der Schule lernt).
Wenn alle b_is = Null sind, geht das Ganze genauso (oh, ich bin mir gerade gar nicht sicher, ob das Gaußverfahren funktioniert, wenn sie nicht Null sind - sorry), dann heißt das Gleichungssystem übrigens homogen, ansonsten inhomogen.
Probier's doch mal.
> Aufgabe 3:
> Es sei [mm]M_{n \times n} (\IR)[/mm] die Menge aller n [mm]\times[/mm] n
> -Matrizen mit Einträgen aus [mm]\IR.
[/mm]
>
> a) Zeige, dass [mm]M_{n \times n} (\IR)[/mm] eine Gruppe (für die
> Matrizenaddition) ist.
>
> b) Für eine Matrix A = [mm](a_{ij})_{ij} \in M_{n \times n}(\IR)[/mm]
> sei [mm]A^{t}[/mm] = [mm](a_{ij})_{ij},[/mm] die transponierte Matrix. A
> heißt symmetrisch , falls A = [mm]A^{t}[/mm] gilt.
> Zeige, dass die Menge aller symmetrischen Matrizen eine
> Gruppe (für die Matrizenaddition) ist.
>
> c) Zeige, dass die Abbildung [mm]\delta[/mm] : [mm]M_{n \times n}(\IR) \to M_{n \times n}(\IR),[/mm]
> A [mm]\mapsto[/mm] A + [mm]A^{t}[/mm]
> ein Gruppenhomomorphismus ist, d.h. es gilt [mm]\delta[/mm] (A + B)
> = [mm]\delta[/mm] (A) + [mm]\delta[/mm] (B) für alle A,B [mm]\in M_{n \times n}(\IR).[/mm]
> Bestimme das Bild von [mm]\delta.
[/mm]
Hierbei musst du in der Regel nur die Gruppenaxiome bzw. was bei einem Homomorphismus gilt nachweisen, das müsst ihr ja gehabt haben. Fang mal an, und sag dann, wo dein Problem liegt.
> Aufgabe 4:
> Sei X eine Menge. Zeige, dass S(X) eine Gruppe ist. Zeige,
> dass S(X) nicht kommutativ ist, falls X mindestens drei
> Elemente hat.
> Weshalb ist die Menge aller Abbildungen X [mm]\to[/mm] X eine
> Gruppe, falls X mindestes zwei Elemente hat?
Mit S(X) ist wahrscheinlich die symmetrische Gruppe gemeint, das solltest du aber angeben. Die Aufgabe habe ich glaube ich vorhin schon mal hier gelesen, da hatte auch jemand eine meiner Meinung nach sehr verständliche Antwort drauf geschrieben. Guck mal nach.
So, ich denke, jetzt bist du erstmal beschäftigt !
Viel Spaß beim "Rechnen"
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