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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mo 10.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.
i) Die Teilmenge M [mm] \subset [/mm] V sei linear unabhängig. Ist dann auch jede Teilmenge M' [mm] \subset [/mm] M linear unabhängig? Beweis oder Gegenbeispiel!
ii) Beweisen Sie: enthält eine Familie von Vektoren von V eine linear abhängige Unterfamilie, so ist sie selbst linear abhängig. |
Moin!
zu i)
hier würde ich sagen, wenn eine Teilmenge des Vektorraums linear unabhängig ist (also aus linear unabhängigen Vektoren besteht), dann muss auch eine Teilmenge der Teilmenge linear unabhängig sein.
Aber wie soll ich / kann ich das beweisen???
zu ii) Was ist eine Familie bzw. eine Unterfamilie?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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> Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.
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> i) Die Teilmenge M [mm]\subset[/mm] V sei linear unabhängig. Ist
> dann auch jede Teilmenge M' [mm]\subset[/mm] M linear unabhängig?
> Beweis oder Gegenbeispiel!
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> ii) Beweisen Sie: enthält eine Familie von Vektoren von V
> eine linear abhängige Unterfamilie, so ist sie selbst
> linear abhängig.
> Moin!
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> zu i)
> hier würde ich sagen, wenn eine Teilmenge des Vektorraums
> linear unabhängig ist (also aus linear unabhängigen
> Vektoren besteht), dann muss auch eine Teilmenge der
> Teilmenge linear unabhängig sein.
>
> Aber wie soll ich / kann ich das beweisen???
Hallo,
der Schlüssel ist hier die Definition der linearen Unabhängigkeit.
Schau nach, wie das definiert ist und beachte, daß Du es hier mit Mengen zu tun hast, die nicht notwendigerweis endlich sind.
Du brauchst also die Def. der linearen Unabhängigkeit, die auch unendliche Mengen v. Vektoren umfaßt.
Statt der Behauptung dürfte es viel einfacher sein, ihre Kontraposition zu beweisen, der Beweis purzelt fast aus der Definition der Unabhängigkeit.
Die Behauptung lautet ja:
M linear unabhängig ==> jede Teilmenge v. M ist linear unabhängig
Kontraposition:
Es gibt eine linear abhängige Teilmenge v. M ==> M ist linear abhängig.
> zu ii) Was ist eine Familie bzw. eine Unterfamilie?
So etwas ähnliches wie eine Menge.
Da man später mit Basen und Koordinaten arbeitet, ist es jedoch oft sinnig, den Vektoren solcher Mengen eine feste Reihenfolge zu geben.
Du mußt mal schauen, wie Ihr das definiert habt.
Eine Familie v. Vektoren ist ein Tupel von Vektoren (also abzählbar), eine geordnete Menge, eine Unterfamilie eine (geordnete) Teilmenge davon.
Möglicherweise sind bei Euch Familien auch endlich - wäre denkbar.
Für die vorliegende Aufgabe kannst Du Familie = Menge nehmen. Wenn ich es mir recht überlege, ist es dasselbe wie bei i).
Gruß v. Angela
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