Teilmengen und Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Do 03.12.2009 | | Autor: | Goth |
| Aufgabe | Es seien [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] Teilmengen eines Vektorraumes V. Zeigen Sie:
a) [mm] = [/mm] + [mm]
[/mm]
b) [mm] [/mm] ⊆ [mm] [/mm] ∩ [mm]
[/mm]
c) Für einen Untervektorraum U des Vektorraumes V mit U [mm] \not= [/mm] V gilt: [mm] (V\U) [/mm] = V.
Geben Sie in b) ein Beispiel an, das zeigt, dass nicht immer Gleichheit besteht. |
Hallo,
ich weiß nicht, wie man das zeigen kann - völlig überfragt :-(
Danke schon mal für eure Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] Teilmengen eines Vektorraumes V.
> Zeigen Sie:
> a) [mm]= [/mm] + [mm][/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß nicht, wie man das zeigen kann - völlig
> überfragt :-(
Hallo,
das gibt uns wenig Hinweise darauf, wie man Dir helfen kann.
Man muß schon wissen, ob die Bezeichnungen unklar sind, die Aussage, oder ob ein eingeschlagener Weg in eine Sackgasse führte.
Schildere also Dein problem konkret.
> a) [mm]= [/mm] + [mm][/mm]
Machen wir zum Warmwerden mal ein Beispiel: nehmen wir mal als VR den [mm] \IR^4,
[/mm]
[mm] M_1:=\{\vektor{1\\2\\3\\4}, \vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{3\\4\\5\\6}\},
[/mm]
[mm] M_2:=\{ \vektor{2\\2\\2\\2}, \vektor{1\\0\\0\\0}\}.
[/mm]
Was ist [mm] M_1\cup M_2,
[/mm]
[mm] ,
[/mm]
[mm] ,
[/mm]
[mm] ,
[/mm]
[mm] + [/mm] ?
Stimmt die Aussage?
Zunächst nur kurz zum Beweis:
Ich würde die beiden Teilmengenbeziehungen [mm] \subseteq [/mm] und [mm] \supseteq [/mm] zu zeigen versuchen.
Dabei kann man verwenden, daß [mm] M_1[/mm] [/mm] ∪ [mm]M_2 eine Basis von [/mm] enthält,
für die [mm] M_i [/mm] und [mm] [/mm] entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Do 03.12.2009 | | Autor: | Goth |
War wohl noch etwas früh heute morgen.
Also mein Problem beginnt schon damit, dass ich nicht recht weiß, was ich mir unter ein [mm] "M_1+M_2" [/mm] vorstellen soll.
Die Vereinigung von [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] speziell für dieses Beispiel wäre ja:
$ [mm] M_1 \cup M_2:=\{\vektor{1\\2\\3\\4}, \vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{3\\4\\5\\6}\, \vektor{2\\2\\2\\2}, \vektor{1\\0\\0\\0}\}, [/mm] $
[mm] M_1+M_2 [/mm] müsste dann an sich ebenfalls eine 6-elementige Menge sein, wo jeder Vektor aus der einen Menge mit dem Vektor aus der anderen Menge addiert wird.
$ [mm] M_1 [/mm] + [mm] M_2:=\{\vektor{3\\4\\5\\6}, \vektor{3\\3\\3\\3}, \vektor{5\\6\\7\\8}\, \vektor{2\\3\\4\\5}, \vektor{2\\1\\1\\1}\, \vektor{4\\4\\5\\6}\}, [/mm] $
Wäre dann nicht das gleiche.
Mit dem Beweisvorschlag für Teil b) hilft mir vorerst nur bedingt, aber der Hinweis mit der Basis werde ich noch mal verfolgen. 
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> weiß, was ich mir unter ein [mm]"M_1+M_2"[/mm] vorstellen soll.
Hallo,
hier muß man gar nicht die Vorstellung bemühen, sondern die Definitionen.
Ich bin mir ziemlich sicher, daß Ihr diese Summe für Untervektorräume Vektorräume U und W von V definiert habt, und zwar so:
U+W:={u+w| [mm] u\in [/mm] U, [mm] w\in W\}.
[/mm]
In Worten: da sind alle Vektoren drin, die man als Summe von einem Vektor aus U und einem aus V schreiben kann, und man kann zeigen, daß U+W wieder ein UVR ist
[mm] M_1, M_2 [/mm] sind aber n.V. Mengen und nicht VRe, und so können wir nicht davon ausgehen, daß ihre Summe überhaupt definiert ist.
(Es sei denn, Ihr hättet die Summe für beliebige Teilmengen von VRen definiert, dann hättest Du [mm] M_1+M_2 [/mm] es unten richtig aufgeschrieben. Jedoch...)
Aber es ist in Deiner Aufgabe nicht die Rede von [mm] M_1+M_2, [/mm] sondern von [mm] +. [/mm]
Und hier paßt's dann, denn die [mm] [/mm] sind Unterräume von V.
> Die Vereinigung von [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] speziell für dieses
> Beispiel wäre ja:
> [mm]M_1 \cup M_2:=\{\vektor{1\\2\\3\\4}, \vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{3\\4\\5\\6}\, \vektor{2\\2\\2\\2}, \vektor{1\\0\\0\\0}\},[/mm]
Genau, einfach zusammengeschüttet.
>
> [mm]M_1+M_2[/mm] müsste dann an sich ebenfalls eine 6-elementige
> Menge sein, wo jeder Vektor aus der einen Menge mit dem
> Vektor aus der anderen Menge addiert wird.
>
> [mm]M_1 + M_2:=\{\vektor{3\\4\\5\\6}, \vektor{3\\3\\3\\3}, \vektor{5\\6\\7\\8}\, \vektor{2\\3\\4\\5}, \vektor{2\\1\\1\\1}\, \vektor{4\\4\\5\\6}\},[/mm]
In der Aufgabe geht#s nun aber nicht um [mm] M_1+M_2 [/mm] und [mm] M_1\cup M_2 [/mm] sondern daraum, daß
[mm] =+ .
[/mm]
Und hierzu mußt Du Dich mit den spitzen Klammern beschäftigen.
<A> ist das Erzeugnis(=lineare Hülle =Span) von A, also die Menge aller Vektoren, die man als Linearkombination von Vektoren aus A schreiben kann.
Und nun folgt Teil 2 unserer kleinen Meditation:
denke drüber nach, wie die Elemente aussehen, die in [mm] , , , + [/mm] sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 06.12.2009 | | Autor: | Goth |
Ich habe mir mal ein Beispiel zusammengebastelt.
[mm] M_1 [/mm] = [mm] \{\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}\}
[/mm]
[mm] M_2= \{\vektor{0\\2}, \vektor{1\\2}\}
[/mm]
[mm] [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] = [mm] det(\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}) [/mm] = 1*1 - 0*1 = 1
[mm] [/mm] = [mm] \vmat{ 0 & 2 \\ 1 & 2 } [/mm] = [mm] det(\vektor{0\\2}, \vektor{1\\2}) [/mm] = 1*2 - 2*0 = 2
Also [mm] + [/mm] = 3
[mm] [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2} [/mm] = det [mm] (\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}, \vektor{0\\2}, \vektor{1\\2}) [/mm] = 1*1 + 1*2 +0*2 - 0*1 - 1*0 - 2*1 = 1+2+0-0-0-2 = 1
Damit wäre das schon ein Gegenbeispiel für [mm] [/mm] = [mm] +, [/mm] weil gilt hier ja offensichtlich nicht?!
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> Ich habe mir mal ein Beispiel zusammengebastelt.
>
> [mm]M_1[/mm] = [mm]\{\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}\}[/mm]
> [mm]M_2= \{\vektor{0\\2}, \vektor{1\\2}\}[/mm]
>
> [mm][/mm] = [mm]\vmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }[/mm] = [mm]det(\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1})[/mm]
> = 1*1 - 0*1 = 1
>
> [mm][/mm] = [mm]\vmat{ 0 & 2 \\ 1 & 2 }[/mm] = [mm]det(\vektor{0\\2}, \vektor{1\\2})[/mm]
> = 1*2 - 2*0 = 2
Hallo,
wo hast Du denn diesen Quatsch her?
Die spitzen Klammern stehen für den von der Menge (hier: [mm] M_i) [/mm] erzeugten Raum.
Der erzeugte Raum ist die Menge aller Linearkombinationen, die manaus den erzeugenden Vektoren bilden kann.
Hier also: [mm] =\{r\vektor{1\\0}+s \vektor{1\\1}| r,s\in \IR\}.
[/mm]
Der Determinante kannst Du jeweils entnehmen, daß die beiden Vektoren linear unabhängig sind, die [mm] [/mm] also die Dimension 2 haben.
>
> Also [mm]+[/mm] = 3
Unsinn.
Gruß v. Angela
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