Teilmengen von R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
mir wurde folgende Aufgabe gestellt:
Skizzieren sie folgenden Teilmengen von [mm] \IR^{2}
[/mm]
a) [mm] M_{1}=\left\{x\in\IR^{2}:|x-3|^{2}\le9\right\}
[/mm]
b) [mm] M_{2}= \bigcup_{k=1}^{4}((\IR\times{k})\cup({k}\cup[0,5]))
[/mm]
c) ...
d) ...
Also ich hatte mir dazu schon einiges überlegt, zumal ich die erste Menge erst einmal ganz normal mit Fallunterscheidung auflösen würde. Doch mein großes Problem dabei ist, dass ich mir nicht vorstellen kann wie man dabei auf [mm] \IR^{2} [/mm] rechnet. Denn wir haben hier ja nicht nur das normale x, sondern [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}}, [/mm] doch wie berechne ich damit eine normale Ungleichung?
Es wäre nett wenn man mir das erklären könnte.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hiho,
> Doch mein großes Problem dabei ist, dass ich mir nicht vorstellen kann wie man dabei auf [mm]\IR^{2}[/mm] rechnet.
Brauchst du auch nicht, die Aufgabe macht nämlich gar keinen Sinn!
Ein Ausdruck wie "x-3" ist für [mm] $x\in\IR^2$ [/mm] gar nicht definiert.
Bist du sicher, dass das so da steht?
Oder steht da viel mehr $(|x| - [mm] 3)^2$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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Ja, du hast Recht, heute wurde eine verbesserte Version hochgeladen und nun steht in der Aufgabe statt 3 das Tupel (3,3), nun bringt mich das meiner Antwort schon ein Stück näher, doch wie kann ein Vektor <= 9 sein, ohne dass es auch (9,9) ist?
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Hallo,
bitte Fragen auch als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen!
> Ja, du hast Recht, heute wurde eine verbesserte Version
> hochgeladen und nun steht in der Aufgabe statt 3 das Tupel
> (3,3), nun bringt mich das meiner Antwort schon ein Stück
> näher, doch wie kann ein Vektor <= 9 sein,
Da steht doch kein Vektor, sondern seine Länge (Da stehen doch dicke fette Beträge (Normstriche) drum) !!
Deutlicher:
[mm]M_1=\left\{x=\vektor{x_1\\x_2}\in\IR^2:\left|\vektor{x_1\\x_2}-\vektor{3\\3}\right|\le 9\right\}[/mm]
> ohne dass es
> auch (9,9) ist?
Gruß
schachuzipus
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Ja das mit dem Frange/Antworten/Mitteilungsshema versuche ich hier noch etwas zu durchblicken :)
Also ich habe dann ja:
[mm]M_1=\left\{x=\vektor{x_1\\x_2}\in\IR^2:\left|\vektor{x_1\\x_2}-\vektor{3\\3}\right|^{2}\le 9\right\}[/mm]
Wenn ich das jetzt also wie einen Abstand aus der Schule betrachte rechne ich ja quasi:
| [mm] (x_{1}-3)^{2} [/mm] + [mm] (x_{2}-3)^{2} [/mm] | [mm] \le [/mm] 9
Auf die Gefahr hin, dass ich etwas Begriffsstutzig klinge, weiß ich immernoch nicht so recht was ich nun machen soll, um etwas über die Menge zu erfahren um sie skizzieren zu können. Nach einer unbekannten Variable auflösen oder einfach rumprobieren und einsetzten oder kann ich die Ungleichung auch weiter auflösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja das mit dem Frange/Antworten/Mitteilungsshema versuche
> ich hier noch etwas zu durchblicken :)
>
> Also ich habe dann ja:
>
> [mm]M_1=\left\{x=\vektor{x_1\\x_2}\in\IR^2:\left|\vektor{x_1\\x_2}-\vektor{3\\3}\right|^{2}\le 9\right\}[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt also wie einen Abstand aus der Schule
> betrachte rechne ich ja quasi:
>
> | [mm](x_{1}-3)^{2}[/mm] + [mm](x_{2}-3)^{2}[/mm] | [mm]\le[/mm] 9
da kannst Du auch einfach direkt
[mm] $$(x_1-3)^2+(x_2-3)^2 \le [/mm] 9$$
schreiben.
> Auf die Gefahr hin, dass ich etwas Begriffsstutzig klinge,
> weiß ich immernoch nicht so recht was ich nun machen soll,
Vielleicht hilft ja
das hier (klick!)
Hinweis: Zeichne Dir mal eine Kreislinie um den Punkt $(3,3) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit Radius
[mm] $3=\sqrt{9}\,.$ [/mm] Denke an den Satz des Pythagoras, um alle Punkte dieser Kreislinie
zu beschreiben. (Oder nimm' direkt die "Abstands-Definition" und überlege
Dir, was der Abstand zwischen "einem Punkt der Kreislinie zum Mittelpunkt"
mit dem Satz des Pythagoras zu tun hat.)
Du hast also oben eine "abgeschlossene Kreisscheibe mit Mittelpunkt ... und
Radius ..." (ergänze die ..., das ist nun keine große Kunst mehr!)
> um etwas über die Menge zu erfahren um sie skizzieren zu
> können. Nach einer unbekannten Variable auflösen oder
> einfach rumprobieren und einsetzten oder kann ich die
> Ungleichung auch weiter auflösen?
S.o.; zumindest, was diese Menge hier betrifft! (Du könntest oben auch
noch mit
[mm] $$\sqrt{{(x_1-3)}^2+{(x_2-3)}^2} \le [/mm] 3$$
alle Punkte aus [mm] $M_1$ [/mm] charakterisieren, dabei hättest Du aber nicht viel bzw.
eigentlich gar nichts gewonnen...)
Gruß,
Marcel
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Okay, schon einmal dank für deine Hilfe. Ich würde ja jetzt einfach sagen der Mittelpunkt ist (3,3) und der Radius ist auch 3 und es wäre dann eine Kreisscheibe zwischen den Achsen bei der der Rand dazu gehört. Jedoch verstehe ich nicht ganz was du mit dem Pythagoras meinst. Also man könnte in dem ganzen Kreis rechtwinklig Dreiecke bilden mit fäder Hypothenuse 3, die den ganzen Kreisrand abdecken. Jedoch steht in der Definition in deinem Link
[mm] K_{1}={(x,y)\in\IR^{2}:(x,x_{M})^{2}+(y,y^{M})^{2}-\le\IR^{2}}
[/mm]
geschrieben. Nun haben wir ja jetzt aber eine Wurzel können wir die nich einfach wegfallen lassen und dann haben wir den Radius 9 oder soll das [mm] \IR^{2} [/mm] implizieren das dort immer die Wurzel stehen soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, schon einmal dank für deine Hilfe. Ich würde ja
> jetzt einfach sagen der Mittelpunkt ist (3,3) und der
> Radius ist auch 3 und es wäre dann eine Kreisscheibe
> zwischen den Achsen bei der der Rand dazu gehört.
das solltest Du auch so sagen!
> Jedoch
> verstehe ich nicht ganz was du mit dem Pythagoras meinst.
Kennst Du den (trigonometrischen) Pythagoras am Einheitskreis? Das, was
ich meine, ist reine Analogie dazu!
> Also man könnte in dem ganzen Kreis rechtwinklig Dreiecke
> bilden mit fäder Hypothenuse 3, die den ganzen Kreisrand
> abdecken. Jedoch steht in der Definition in deinem Link
> [mm]K_{1}={(x,y)\in\IR^{2}:(x,x_{M})^{2}+(y,y^{M})^{2}-\le\IR^{2}}[/mm]
> geschrieben.
Nein, da steht
[mm] $$K_{1}=\{(x,y)\in\IR^{2}:(x\red{\text{ -- }}x_{M})^{2}+(y\red{\text{ -- }}y_{M})^{2} \le \red{R}^{2}\}\,.$$
[/mm]
> Nun haben wir ja jetzt aber eine Wurzel
> können wir die nich einfach wegfallen lassen und dann
> haben wir den Radius 9 oder soll das [mm]\IR^{2}[/mm]
Da steht [mm] $\red{R}^2$!
[/mm]
> implizieren
> das dort immer die Wurzel stehen soll?
Für $c [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
[mm] $$a^2+b^2=c^2 \iff \sqrt{a^2+b^2}=c\,.$$
[/mm]
Eine abgeschlossene Kreisscheibe des [mm] $\IR^2$ [/mm] mit Mittelpunkt [mm] $(x_M,y_M)$ [/mm] und
Radius $R [mm] \ge [/mm] 0$ wird beschrieben durch
[mm] $$\{(x,y)\in\IR^{2}:(x\red{\text{ -- }}x_{M})^{2}+(y\red{\text{ -- }}y_{M})^{2} \le \red{R\,}^{2}\}=\{(x,y)\in\IR^{2}:\sqrt{(x\red{\text{ -- }}x_{M})^{2}+(y\red{\text{ -- }}y_{M})^{2}} \le \red{R}\}\,.$$
[/mm]
Mach' Dir mal 'ne Skizze, verbinde einen Punkt der Kreislinie mit dem
Mittelpunkt und schau' dort, wo der Satz des Pythagoras dort zu finden
ist! Die euklidische Metrik des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist die Metrik, die durch die euklidische
Norm des [mm] $\IR^2$ [/mm] induziert wird. Das ist quasi die Anschauungsgeometrie,
die Du aus der Schule kennst...
Gruß,
Marcel
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Okay, das habe ich verstanden, habe mich vorhin auf dem Handy mit dem Radius und den reellen Zahlen etwas vertan. Danke für deine ausführliche Erklärung.
Nur was das nicht die einzige Teilmenge, die ich zeichnen sollte.
Ich habe die anderen mal versucht, bin mir jedoch teilweise echt unsicher.
b) [mm] M_{2}=\bigcup_{k=1}^{4} ((\IR\times{k})\cup({k}\times[0,5]))
[/mm]
Bei der Aufgabe habe ich mir gedacht, dass die Menge aus dem Tupel [mm] (\IR,k) [/mm] für k=1,2,3,4,5 besteht also den Vereinigungen, die mit [mm] \{(1,x)|\in\IR:0\lex\le5\} [/mm] vereinigt ist.
Das stelle ich mir skizziert so vor, dass es 4 Geraden gibt die von [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0}, \vektor{3 \\ 0}, \vektor{4 \\ 0} [/mm] bis [mm] \vektor{1 \\ 5}, \vektor{2 \\ 5}, \vektor{3 \\ 5}, \vektor{4 \\ 5} [/mm] laufen und 4 Geraden, die durch [mm] \vektor{0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 2}, \vektor{0 \\ 3}, \vektor{0 \\ 4} [/mm] gehen und parallel zur [mm] x_{1}-Achse [/mm] unendlich laufen, also die ganzen reellen Zahlen entlang. Das würde bildlich dann aussehen wie ein Gitter. Habe ich da einen richtigen Gedanken, oder mir Blödsinn zusammengereimt?
d) [mm] M_{4}= [1,2]\times{3,4}
[/mm]
Hier wäre meine Idee [mm] \{(x,3)|\in\IR:1\lex\le2\} [/mm] und [mm] \{(x,4)|\in\IR:1\lex\le2\}, [/mm] dass wären jedoch nur 2 kurze Geraden in meinem Koordinatensystem, die erste von [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] bis [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] und die zweite von [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] bis [mm] \vektor{4 \\ 2}, [/mm] also zwei Parallelen. Das kommt mir jedoch etwas zu einfach vor.
g) [mm] M_{7}=\{(x^{2},x^{3}):x\in[-1,1]\}
[/mm]
Bei dieser Menge ist mir nicht genau bewusst, was von mir verlangt ist. Meine Grundidee war eine Funktion 2. Grades und eine Funktion 3. Grades in dem Intervall von [-1,1] zu zeichnen. Jedoch wäre das, das gleiche wie im normalen [mm] \IR? [/mm] Ich hab keine Idee, wie die Menge auf dem [mm] \IR^{2} [/mm] aussehen könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Di 14.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, das habe ich verstanden, habe mich vorhin auf dem
> Handy mit dem Radius und den reellen Zahlen etwas vertan.
> Danke für deine ausführliche Erklärung.
>
> Nur was das nicht die einzige Teilmenge, die ich zeichnen
> sollte.
> Ich habe die anderen mal versucht, bin mir jedoch
> teilweise echt unsicher.
>
> b) [mm]M_{2}=\bigcup_{k=1}^{4} ((\IR\times{k})\cup({k}\times[0,5]))[/mm]
schreibe doch bitte Mengenklammern [mm] $\{\}$ [/mm] so: $\{\}$
> Bei der Aufgabe habe ich mir gedacht, dass die Menge aus
> dem Tupel [mm](\IR,k)[/mm] für k=1,2,3,4,5 besteht also den
> Vereinigungen, die mit [mm]\{(1,x)|\in\IR:0\lex\le5\}[/mm] vereinigt
> ist.
?? Da stehen keine Tupel [mm] ($\IR$,k) [/mm] - in dieser Notation ist die erste Komponente
eines solchen Paars doch stets [mm] $=\IR\,,$ [/mm] und nicht ein Element von [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Du könntest sowas schreiben (das ist auch das, was Du meinst):
[mm] $\bigcup_{r \in \IR}\{(r,k)\}=\{(r,k):\;\;r \in \IR\}\,.$ [/mm]
> Das stelle ich mir skizziert so vor, dass es 4 Geraden
> gibt die von [mm]\vektor{1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0}, \vektor{3 \\ 0}, \vektor{4 \\ 0}[/mm]
> bis [mm]\vektor{1 \\ 5}, \vektor{2 \\ 5}, \vektor{3 \\ 5}, \vektor{4 \\ 5}[/mm]
> laufen und 4 Geraden, die durch [mm]\vektor{0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 2}, \vektor{0 \\ 3}, \vektor{0 \\ 4}[/mm]
> gehen und parallel zur [mm]x_{1}-Achse[/mm] unendlich laufen, also
> die ganzen reellen Zahlen entlang. Das würde bildlich dann
> aussehen wie ein Gitter. Habe ich da einen richtigen
> Gedanken, oder mir Blödsinn zusammengereimt?
Na, es ist bei
[mm] $M_2=\red{\Big(}(\IR \times \{1\}) \cup (\IR \times \{2\}) \cup (\IR \times \{3\}) \cup (\IR \times \{4\})\red{\Big)} \cup \blue{\Big((\{1\}\times [0,5]) \cup (\{2\}\times [0,5]) \cup(\{3\}\times [0,5]) \cup(\{4\}\times [0,5])}\blue{\Big)}$
[/mm]
Innerhalb der roten Klammern ist in der Tat [mm] $\IR \times \{j\}=\{(x,j) \in \IR^2:\;\;x \in \IR\}$
[/mm]
eine Gerade des [mm] $\IR^2$: [/mm] Sie ist parallel zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] und wird in der
Geradengleichungsschreibweise einfach mit [mm] $y=y(x)=j\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] beschrieben!
(Genauer: [mm] $\IR \times \{j\}$ [/mm] ist der Graph der Funktion $y [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $y(x):=j\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,.$)
[/mm]
Eine Menge
[mm] $S_j:=\{j\} \times [/mm] [0,5]$ für [mm] $j\in \{1,2,3,4\}$
[/mm]
ist nichts anderes als
[mm] $S_j\{(j,y) \in \IR^2:\;\;0 \le y \le 5\}\,.$
[/mm]
[mm] $S_j$ [/mm] ist also eine Strecke parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] - diese Strecke hat die
beiden Endpunkte $(j,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und [mm] $(j,5)\in \IR^2\,$ [/mm] (beachte, dass [mm] $j\,$ [/mm] fest ist).
(Nebenbei: Benutze die Bezeichnung "Gerade" nicht im Sinne von "Geradenstück"
bzw. "Strecke" - und falls Du mal "eine Gerade mit einem Endpunkt" hast:
Das Ding nennt sich "Strahl"!)
Irgendwie kamst Du da mit der Koordinatenreihenfolge durcheinander...
So, Lust, nun das Ergebnis von [mm] $M_2$ [/mm] zu skizzieren und es zu zeigen?
Und sei mir nicht böse, aber lieber die Aufgaben einzeln behandeln...
Aber gut, machen wir weiter:
> d) [mm]M_{4}= [1,2]\times{3,4}[/mm]
Wie gesagt: Mengenklammern bitte auch sichtbar schreiben:
[mm] $M_{4}= [1,2]\times\{3,4\}$
[/mm]
> Hier wäre meine Idee [mm]\{(x,3)|\in\IR:1\lex\le2\}[/mm] und
> [mm]\{(x,4)|\in\IR:1\lex\le2\},[/mm] dass wären jedoch nur 2 kurze
> Geraden
Also Strecken (so heißen diese Dinge, die Du beschreibst)! Diese beiden
Strecken werden vereinigt! Das heißt, Du zeichnest die, und alles, was Du
siehst, gehört zu [mm] $M_4\,.$
[/mm]
> in meinem Koordinatensystem, die erste von
> [mm]\vektor{3 \\ 1}[/mm] bis [mm]\vektor{3 \\ 2}[/mm] und die zweite von
> [mm]\vektor{4 \\ 1}[/mm] bis [mm]\vektor{4 \\ 2},[/mm] also zwei Parallelen.
> Das kommt mir jedoch etwas zu einfach vor.
Die erste Strecke hat die Endpunkte [mm] $(1,3)\,$ [/mm] und [mm] $(2,3)\,$ [/mm] (und ist parallel zur [mm] $x\,$-Achse).
[/mm]
Die zweite Strecke hat die Endpunkte [mm] $(1,4)\,$ [/mm] und [mm] $(2,4)\,$ [/mm] (und ist parallel zur [mm] $x\,$-Achse).
[/mm]
Üblicherweise gilt: Ein Punkt $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] korrespondiert mit dem Vektor [mm] $\vektor{x\\y}$ [/mm] -
Du benutzt immer eine Notation, wo ein solcher mit dem [mm] $\vektor{y\\x}$ [/mm] korrespondiert.
Das wäre generell genau so möglich, ist aber unüblich und verwirrend!
> g) [mm]M_{7}=\{(x^{2},x^{3}):x\in[-1,1]\}[/mm]
>
> Bei dieser Menge ist mir nicht genau bewusst, was von mir
> verlangt ist. Meine Grundidee war eine Funktion 2. Grades
> und eine Funktion 3. Grades in dem Intervall von [-1,1] zu
> zeichnen. Jedoch wäre das, das gleiche wie im normalen
> [mm]\IR?[/mm]
??
> Ich hab keine Idee, wie die Menge auf dem [mm]\IR^{2}[/mm]
> aussehen könnte.
Ist doch gut: Betrachte [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] auf [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] und [mm] $g(x):=x^3$ [/mm] auf [mm] $[-1,1]\,.$ [/mm]
Beweise: [mm] $f([-1,1])=[0,1]\,$ [/mm] und [mm] $g([-1,1])=[-1,1]\,.$
[/mm]
Damit gilt
[mm] $M_7=\{(f(x),g(x)):\;\;x \in [-1,1]\}=\{(r,s):\;\; r \in f([-1,1]) \text{ und }s \in g([-1,1])\}=...$
[/mm]
Kurz: Du kannst damit
[mm] $M_7=[-1,1] \times [/mm] [0,1]$
beweisen. Das ist ein (abgeschlossenes) Rechteck mit den Eckpunkten...?
Gruß,
Marcel
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Okay, also ich habe mir mal aufgeschrieben, was du zu den einzelnen Mengen erzählt hast und irgendwie habe ich das Gefühl, dass wir beide das gleiche meinten und ich es nur nicht gut in Worte packen konnte.
Zu b), dein j ist ja quasi {1,2,3,4} und dann hast du ja auch jeweils 4 Strecken/Geraden/Streckenstücke/Parallelen. Dazu sähe meine Skizze so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Di 14.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, also ich habe mir mal aufgeschrieben, was du zu den
> einzelnen Mengen erzählt hast und irgendwie habe ich das
> Gefühl, dass wir beide das gleiche meinten und ich es nur
> nicht gut in Worte packen konnte.
Du hast es schon gut beschrieben, nur hast Du in einem Vektor [mm] $\vektor{a\\b}$
[/mm]
halt mit [mm] $a\,$ [/mm] die [mm] $y\,$-Koordinate [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] halt die [mm] $x\,$-Koordinate [/mm] bezeichnet:
[mm] $\vektor{y\\x}$ [/mm] quasi. Üblich ist aber die Reihenfolge [mm] $\vektor{x\\y}\,.$ [/mm] Tragisch ist
das nicht, zumal die Abbildung [mm] $\phi \colon \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] mit [mm] $\phi((x,y)):=(y,x)^T$
[/mm]
eine bijektive lineare Abbildung des [mm] $\IR^2$ [/mm] in sich ist. Der Beweis ist
schnell erbracht, das erkennt man alles schnell vermittels
[mm] $$\phi((x,y))=\pmat{0&1\\1&0}*(x,y)^T=\pmat{0&1\\1&0}*\vektor{x\\y}\,.$$ [/mm]
> Zu b), dein j ist ja quasi {1,2,3,4}
Mein [mm] $j\,$ [/mm] nimmt quasi nach und nach die Werte [mm] $1,2,3,4\,$ [/mm] an bzw. [mm] $j\,$ [/mm] durchläuft
quasi [mm] $\{1,2,3,4\}\,.$ [/mm] Du meinst das richtig, sagst es aber nicht gerade besonders
'sauber': [mm] "$j\,$ [/mm] ist quasi [mm] $\{1,2,3,4\}$" [/mm] würden die meisten erstmal lesen als
"Es ist [mm] $j=\{1,2,3,4\}$." [/mm] Das meinst Du nicht. Achte bitte darauf, wenn Du manches
etwas lasch sagen willst, dass die Bedeutung davon immer noch relativ
schnell klar ist bzw. dass man nicht durch probieren raten muss, welche
der möglichen Bedeutungen Du meinst, weil man sieht, dass das, was Du
sagst, so sicher nicht gemeint sein kann. Am Besten übst Du sowas
tatsächlich, indem Du Dich (etwa in einer Lerngruppe) mit anderen austauschst!
> und dann hast du ja
> auch jeweils 4 Strecken/Geraden/Streckenstücke/Parallelen.
> Dazu sähe meine Skizze so aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr schön! (Vor allem gut, dass Du bei den Strecken auch gekennzeichnet
hast, dass die Endpunkte dazugehören!)
Gruß,
Marcel
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