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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Sa 01.11.2008 | | Autor: | MichaFCC |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei Mengen M und N und eine Abbildung [mm]f : M \rightarrow N[/mm]. Zeigen Sie:
(a) Für jede Teilmenge X von M ist [mm]X \subseteq f^{-1}(f(X))[/mm]
(b) Für jede Teilmenge Y von N ist [mm]f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y[/mm]
(c) Geben Sie Beispiele an, in denen jeweils Ungleichheit gilt.
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ich dachte mir, dass man schreiben kann:
[mm]f^{-1}(f(X))[/mm] = [mm]f^{-1}(Y)[/mm] = [mm]X[/mm] (a)
und:
[mm]f(f^{-1}(Y))[/mm] = [mm]f(X))[/mm] = [mm]Y[/mm] (b)
was ja falsch ist, da z.z. ist , dass es sich eben nicht zwangsläufig um Gleicheit handeln muss. D.h., man muss ein Ungleicheitszeichen in diese Gleichung herein bringen.
Dazu gibt es mMn zwei Varianten:
1.) M [mm] \subseteq f^{-1}(Y) [/mm] , welche entfällt, da man somit beim zweiten Fall nach meinen Überlegungen auf ein falsches Relationszeichen schließt.
2.) N [mm] \subseteq [/mm] f(M) welche dann logischerweise als einzige Alternative übrig bleibt (die daraus folgernden Relationszeichen stimmen nach meinen Überlegungen zudem mit der zu erhaltenden Ungleichung überein)
Somit ist "nur noch" zu zeigen, dass diese Ungleichung gilt (N [mm] \subseteq [/mm] f(M)). Aber wie?
Kann ich sagen, dass durch eine Einschränkung des Wertebereiches nicht mehr alle N aus M dargestellt werden?
Fallunterschediung:
Falls ja: Ist der Beweis somit vollendet und vor allem durchweg schlüssig
Falls nein: ist der komplette ansatz / die komplette Herangehensweise falsch oder nur eine Folgerung zwischendurch?
(falls ja ist das beispiel ja nicht schwer zu finden, man müsste einfach eine Funktion nehmen, die vom Bereich der rellen Zahlen nach den ganzen Zahlen abbildet, was mir allerdings als recht/zu einfach erscheint)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Vorraus für alle Antworten!
grüße MichaFCC
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> Gegeben seien zwei Mengen M und N und eine Abbildung [mm]f : M \rightarrow N[/mm].
> Zeigen Sie:
> (a) Für jede Teilmenge X von M ist [mm]X \subseteq f^{-1}(f(X))[/mm]
>
> (b) Für jede Teilmenge Y von N ist [mm]f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y[/mm]
>
> (c) Geben Sie Beispiele an, in denen jeweils Ungleichheit
> gilt.
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich habe den Eindruck, daß Du noch nicht recht verstanden hast, worum es in der Aufgabe geht.
Zunächst einmal:
Kannst Du aufschreiben, was mit f(X) und [mm] f^{-1}(Y) [/mm] gemeint ist? Wie das also definiert ist?
Mach das unbedingt.
Du sollst hier 2 Teilmengenbeziehungen untersuchen.
(a) Für jede beliebige Teilmenge X des Definitionsbereiches gilt X [mm] \subseteq f^{-1}(f(X)).
[/mm]
Was bedeutet "Teilmenge"? Jedes Element, welches in der linken Menge liegt, liegt auch in der rechten. Das ist zu zeigen, also
[mm] x\in [/mm] X ==> [mm] x\in f^{-1}(f(X)).
[/mm]
zeigen muß man das, indem man konsequent die Definitionen anwendet. Für jeden Schritt mußt Du eine Begründung aus dem Skript parat haben.
zum Beweis:
X [mm] \subseteq [/mm] M, (Das ist eine Vorausaussetzung. Hier gibt's nichts zu erklären.)
Es sei
[mm] x\in [/mm] X
==> es gibt ein [mm] y\in [/mm] N mit f(x)=y (hier ist es wichtig, daß X eine Teilmenge des Definitionsbereiches ist. Sonst könnte man die Funktion f ja gar nicht auf x anwenden.)
==> f(x)= [mm] y\in [/mm] f(X) (Definition des Bildes)
==> [mm] x\in f^{-1}(f(X)) [/mm] ( Definition des Urbildes ).
Es gilt also [mm] x\in [/mm] X==> [mm] x\in f^{-1}(f(X)) [/mm] , also ist X [mm] \subseteq f^{-1}(f(X))
[/mm]
Arbeite dies gründlich durch.
Wenn Du es verstanden hast, kannst Du in ähnlicher Manier die zweite Teilaufgabe untersuchen.
Schreib vorm Beweisen ganz genau auf, was die Voraussetzungen sind und was zu zeigen ist.
Gruß v. Angela
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> [mm]x\in[/mm] X
>
> ==> es gibt ein [mm]y\in[/mm] M mit f(x)=y (hier ist es wichtig,
> daß X eine Teilmenge des Definitionsbereiches ist. Sonst
> könnte man die Funktion f ja gar nicht auf x anwenden.)
is da nicht ein Schreibfehler drin?
Wenn x [mm] \in [/mm] X und y [mm] \in [/mm] M, dann wäre ja x und y [mm] \in [/mm] M...
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> is da nicht ein Schreibfehler drin?
Hallo,
vielen Dank, ich hab's korrigiert.
Gruß v. Angela
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