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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 20.12.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und betrachte den teilraum
[mm] W:=\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IK^3|7x-y+8z=0 \}
[/mm]
von [mm] \IK^3. [/mm] Konstruiere einen linearen isomorphismus [mm] \IK^2 \cong [/mm] W |
Ich versteh nicht ganz was der aufgabensteller möchte mit der Aussage "Betrachte den Teilraum".
Also damit ich einen Isom. kostruiere muss die abbildung zu einer anderen linearen abbildung bijektiv sein. Muss ich als erstes nachprüfen ob W linear ist?
Ganz liebe Grüße
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Hallo,
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und betrachte den teilraum
> [mm]W:=\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IK^3|7x-y+8z=0 \}[/mm]
> von
> [mm]\IK^3.[/mm] Konstruiere einen linearen isomorphismus [mm]\IK^2 \cong[/mm]
> W
> Ich versteh nicht ganz was der aufgabensteller möchte mit
> der Aussage "Betrachte den Teilraum".
Du hast den Teilraum als Menge von Vektoren gegeben, die die Gleichung erfüllen.
Es ist ein zweidimensionaler Teilraum (finde zwei lin. unabhängige Lösungen der Gleichungen, diese spannen dann W auf). Du kannst die beiden gefundenen Basisvektoren von W dann auf die Standardbasisvektoren von [mm] \IK^2 [/mm] schicken und erhältst so automatisch einen Isomorphismus.
> Also damit ich einen Isom. kostruiere muss die abbildung
> zu einer anderen linearen abbildung bijektiv sein. Muss ich
> als erstes nachprüfen ob W linear ist?
Wie?
W ist eine Menge und keine Abbildung!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 20.12.2011 | | Autor: | sissile |
hei
> Es ist ein zweidimensionaler Teilraum (finde zwei lin. unabhängige Lösungen der Gleichungen, diese spannen dann W auf).
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Was meinst du genau mit linear unabhängig?
> Du kannst die beiden gefundenen Basisvektoren von W dann auf die Standardbasisvektoren von $ [mm] \IK^2 [/mm] $ schicken und erhältst so automatisch einen Isomorphismus.
Känntest du mir den Teil nochmals erklären? DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Di 20.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Erinnere Dich an Deine Schulzeit !
$ [mm] W:=\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IK^3|7x-y+8z=0 \} [/mm] $ ist im Falle [mm] \IK=\IR [/mm] eine Ebene im Raum.
Finde a,b [mm] \in \IK^3 [/mm] mit:
[mm] $W=\{ta+sb: t,s \in \IK\}$ [/mm] und a,b lin. unabhängig.
Dann definiere [mm] \phi:\IK^2 \to [/mm] W durch
$ [mm] \phi(t,s):= [/mm] ta+sb$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Di 20.12.2011 | | Autor: | sissile |
W = [mm] \{\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} * t + \vektor{0 \\ 8 \\ 1} *s \}
[/mm]
Was stellst das aber jetzt geometrisch in [mm] \IR [/mm] da?
Mir fehlt das Verständnis zu der AUfgabe!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 20.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> W = [mm]\{\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} * t + \vektor{0 \\ 8 \\ 1} *s \}[/mm]
Richtig:
W = [mm]\{t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s* \vektor{0 \\ 8 \\ 1} : t,s \in \IK\}[/mm]
>
> Was stellst das aber jetzt geometrisch in [mm]\IR[/mm] da?
Nichts ! Im Falle [mm] \IK=\IR [/mm] ist W eine Ebene im [mm] \IR^3
[/mm]
>
> Mir fehlt das Verständnis zu der AUfgabe!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 20.12.2011 | | Autor: | sissile |
> > W = [mm]\{\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} * t + \vektor{0 \\ 8 \\ 1} *s \}[/mm]
>
> Richtig:
>
> W = [mm]\{t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s* \vektor{0 \\ 8 \\ 1} : t,s \in \IK\}[/mm]
>
> >
> > Was stellst das aber jetzt geometrisch in [mm]\IR[/mm] da?
>
> Nichts ! Im Falle [mm]\IK=\IR[/mm] ist W eine Ebene im [mm]\IR^3[/mm]
Hallo
Fehlt nicht für die geomstrische Interpretaion als Ebene ein Punkt von dem man ausgeht???
Ja aber wir sollten ja einen Isomorphismus vom [mm] \IK^2 [/mm] in W bilden. Wie sind ja noch immer bei dreidimensionalen vektoren und nicht zweidimensionalen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Di 20.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > W = [mm]\{\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} * t + \vektor{0 \\ 8 \\ 1} *s \}[/mm]
>
> >
> > Richtig:
> >
> > W = [mm]\{t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s* \vektor{0 \\ 8 \\ 1} : t,s \in \IK\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Was stellst das aber jetzt geometrisch in [mm]\IR[/mm] da?
> >
> > Nichts ! Im Falle [mm]\IK=\IR[/mm] ist W eine Ebene im [mm]\IR^3[/mm]
> Hallo
> Fehlt nicht für die geomstrische Interpretaion als Ebene
> ein Punkt von dem man ausgeht???
Gefällts Dir so besser:
W = [mm]\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s* \vektor{0 \\ 8 \\ 1} : t,s \in \IK\}[/mm]
???
Ebene durch den Ursprung !
>
>
> Ja aber wir sollten ja einen Isomorphismus vom [mm]\IK^2[/mm] in W
> bilden. Wie sind ja noch immer bei dreidimensionalen
> vektoren und nicht zweidimensionalen
Was hab ich Dir oben geschrieben:
Dann definiere $ [mm] \phi:\IK^2 \to [/mm] $ W durch
$ [mm] \phi(t,s):= t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] +s* [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 1}$
[/mm]
Vielleicht gefällt Dir das besser:
$ [mm] \phi(\vektor{t \\ s}):= t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] +s* [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 1}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 20.12.2011 | | Autor: | sissile |
AH okay danke.
Ich hoffe du bist nicht genervt, wenn ich dazu noch paar fragen habe ;)
1. Die beiden vektoren müssen ja linear unabhängig sein! Das heißt wenn ich zeige, dass sie kein vielfaches voneinader sind, ist es gezeigt?
2. Du formst ja eigentlich wenn [mm] \IR [/mm] = [mm] \IK, [/mm] eine Ebene in der Normalgleichung in die Parameterform um oder?
3. Muss man nicht nochzeigen, dass die abbildung linear ist und bijektiv???
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> 1. Die beiden vektoren müssen ja linear unabhängig sein!
> Das heißt wenn ich zeige, dass sie kein vielfaches
> voneinader sind, ist es gezeigt?
Hallo,
ja, bei zwei Vektoren geht das so.
> 2. Du formst ja eigentlich wenn [mm]\IR[/mm] = [mm]\IK,[/mm] eine Ebenein
> der Normalgleichung in die Parameterform um oder?
Ja.
> 3. Muss man nicht nochzeigen, dass die abbildung linear
> ist und bijektiv???
Ja, wenn Du keine sonstigen guten Argumente hast, mußt Du das zeigen.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 20.12.2011 | | Autor: | sissile |
Hei.
> Dann definiere $ [mm] \phi:\IK^2 \to [/mm] $ W durch
> $ [mm] \phi(t,s):= t\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s\cdot{} \vektor{0 \\ 8 \\ 1} [/mm] $
Das ist aber keine Abbildung, sondern die Menge W in anderer Schreibweise!?
>> 3. Muss man nicht nochzeigen, dass die abbildung linear
> ist und bijektiv???
> Ja, wenn Du keine sonstigen guten Argumente hast, mußt Du das zeigen.
Ja aber wie soll das funktionieren mit zwei Argumenten????
LG
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> Hei.
> > Dann definiere [mm]\phi:\IK^2 \to[/mm] W durch
>
> > [mm]\phi(t,s):= t\cdot{}\vektor{-1 \\
1 \\
1} +s\cdot{} \vektor{0 \\
8 \\
1}[/mm]
>
> Das ist aber keine Abbildung, sondern die Menge W in
> anderer Schreibweise!?
Hallo,
nein, wie kommst Du denn darauf?
[mm] \phi [/mm] ordnet dem Vektor [mm] \vektor{t,s} [/mm] den Vektor [mm] t\cdot{}\vektor{-1 \\
1 \\
1} +s\cdot{} \vektor{0 \\
8 \\
1} [/mm] zu.
>
>
> >> 3. Muss man nicht nochzeigen, dass die abbildung
> linear
> > ist und bijektiv???
> > Ja, wenn Du keine sonstigen guten Argumente hast, mußt
> Du das zeigen.
> Ja aber wie soll das funktionieren mit zwei Argumenten????
Was ist denn für die Linearität einer Funktion [mm] g:V\to [/mm] W zu zeigen?
Schreib das al genau auf. Mit "für alle " usw.
Gruß v. Angela
P.S.: Gibt es eigentlich einen besonderen Grund dafür, daß Du entgegen den Forenregeln nicht angibst daß du noch anderswo gepostet hast?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 21.12.2011 | | Autor: | sissile |
Hei..
Ich schwör, dasss es nicht mein post ist. Werds aber gleich googlen, vlt ist der ja schon weiter!
> $ [mm] \phi(t,s):= t\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s\cdot{} \vektor{0 \\ 8 \\ 1} [/mm] $
Aber auf der linken Seite steht ein Bildpunkt und auf der rechten Seite steht eine Menge. Eine Abbildung hat eine Quelle und ein Ziel.
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> Hei..
> Ich schwör, dasss es nicht mein post ist. Werds aber
> gleich googlen, vlt ist der ja schon weiter!
> > [mm]\phi(t,s):= t\cdot{}\vektor{-1 \\
1 \\
1} +s\cdot{} \vektor{0 \\
8 \\
1}[/mm]
>
> Aber auf der linken Seite steht ein Bildpunkt und auf der
> rechten Seite steht eine Menge.
Hallo,
nein, wie kommst Du darauf, daß rechts eine Menge steht.
Rechne doch mal ein paar Funktionswerte aus, z.B. [mm] \phi(1,2) [/mm] und [mm] \phi(3,4). [/mm] Da kommt keine Menge raus, sondern ein Vektor des [mm] \IR^3.
[/mm]
Gruß v. Angela
Eine Abbildung hat eine
> Quelle und ein Ziel.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Do 22.12.2011 | | Autor: | sissile |
Quelle und Ziel einer Abbildung müssen aber Vektorräume beschreiben.
LG
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> Quelle und Ziel einer Abbildung müssen aber Vektorräume
> beschreiben.
>
Hallo,
"beschreiben"? Nein. Sein.
Sind sie doch!
[mm] \phi:\IR^2\to [/mm] W (= $ [mm] \{t\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s\cdot{} \vektor{0 \\ 8 \\ 1} : t,s \in \IK\} [/mm] $) mit
[mm] \phi(\vektor{t\\s}):=t\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s\cdot{} \vektor{0 \\ 8 \\ 1}.
[/mm]
Mir geht gerade auf, woran Du dich aufhängst...
Du solltest Dir mal klarmachen, daß
[mm] t\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s\cdot{} \vektor{0 \\ 8 \\ 1},
[/mm]
[mm] \{t\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s\cdot{} \vektor{0 \\ 8 \\ 1}\} [/mm] und
[mm] \{t\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +s\cdot{} \vektor{0 \\ 8 \\ 1}| t,s\in \IR\}
[/mm]
drei völlig (!) verschiedene Sachen sind.
Gruß v. Angela
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