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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Do 01.12.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen sind Teilräume von [mm] \IR^2
[/mm]
{ [mm] \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \in \IR^2 [/mm] : 2x + 3y = 7 } |
Hallo, schönen erstes Dezember!
Def.: Eine nicht leere Teilmenge W [mm] \subseteq [/mm] V ist genau dann ein Teilraum von V, wenn die folgende beiden Bedingungen erfüllt
a) [mm] \forall w_1, w_2 \in [/mm] W : [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 \in [/mm] W
b) [mm] \forall \lambda \in \IK \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W : [mm] \lambda [/mm] * w [mm] \in [/mm] W
> nicht leere Teilmenge
Kann ich sagen es ist nicht leer, weil z.B x= 2 und y=1 der Glg entspricht?
2 * 2 + 3 * 1 = 7
aber 0 ist keine Lösung -> muss dass nicht bei einen Teilraum sein?
wie ich a und b zeige, weiß ich nicht genau !
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Hallo quasimo,
> Welche der folgenden Teilmengen sind Teilräume von [mm]\IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> { [mm]\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \in \IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: 2x + 3y =
> 7 }
>
> Hallo, schönen erstes Dezember!
>
> Def.: Eine nicht leere Teilmenge W [mm]\subseteq[/mm] V ist genau
> dann ein Teilraum von V, wenn die folgende beiden
> Bedingungen erfüllt
> a) [mm]\forall w_1, w_2 \in[/mm] W : [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2 \in[/mm] W
> b) [mm]\forall \lambda \in \IK \forall[/mm] w [mm]\in[/mm] W : [mm]\lambda[/mm] * w
> [mm]\in[/mm] W
>
> > nicht leere Teilmenge
> Kann ich sagen es ist nicht leer, weil z.B x= 2 und y=1
> der Glg entspricht?
> 2 * 2 + 3 * 1 = 7
> aber 0 ist keine Lösung -> muss dass nicht bei einen
> Teilraum sein?
>
Richtig, die 0 muss auch in dem Teilraum liegen.
> wie ich a und b zeige, weiß ich nicht genau !
Da schon 0 nicht in dem Teilraum liegt,
brauchst Du die anderen Bedingungen nicht mehr prüfen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 01.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Und da schreibt man einfach
0 [mm] \not\in [/mm] { [mm] \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \in \IR^2 [/mm] : 2x + 3y = 7}
-> kein teilraum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Do 01.12.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | { [mm] \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \IR^2 [/mm] : x [mm] \le [/mm] y} |
Hier ist 0 offensichtlich enthalten.
0 [mm] \le [/mm] 0
da 0=0
Wie beweise ich nun a) und b) ?
a)
v= [mm] \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}
[/mm]
w= [mm] \begin{pmatrix} w_1\\w_2 \end{pmatrix}
[/mm]
v+w = [mm] \begin{pmatrix} v_1+w_1\\v_2+w_2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] v_1 \le v_2
[/mm]
[mm] w_1 \le w_2
[/mm]
Zu zeigen: [mm] v_1+w_1 \le v_2+w_2
[/mm]
muss ich hier eine vollständige Induktion machen?
b) v= [mm] \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] * v = [mm] \begin{pmatrix} \lambda* v_1\\\lambda * v_2 \end{pmatrix}
[/mm]
ZuZeigen: [mm] \lambda [/mm] * [mm] v_1 \le \lambda [/mm] * [mm] v_2 [/mm]
/: [mm] \lambda
[/mm]
[mm] v_1 \le v_2
[/mm]
>stimmt laut vorrausetzung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> { [mm]\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \IR^2[/mm] : x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y}
>
>
>
>
> Hier ist 0 offensichtlich enthalten.
> 0 [mm]\le[/mm] 0
> da 0=0
> Wie beweise ich nun a) und b) ?
> a)
> v= [mm]\begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}[/mm]
> w=
> [mm]\begin{pmatrix} w_1\\w_2 \end{pmatrix}[/mm]
> v+w =
> [mm]\begin{pmatrix} v_1+w_1\\v_2+w_2 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]v_1 \le v_2[/mm]
>
> [mm]w_1 \le w_2[/mm]
> Zu zeigen: [mm]v_1+w_1 \le v_2+w_2[/mm]
> muss ich hier
> eine vollständige Induktion machen?
Nein.
Aus [mm]v_1 \le v_2[/mm] und [mm]w_1 \le w_2[/mm] folgt doch sofort: [mm]v_1+w_1 \le v_2+w_2[/mm].
Wo ist da das Problem ?
>
> b) v= [mm]\begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] * v =
> [mm]\begin{pmatrix} \lambda* v_1\\\lambda * v_2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ZuZeigen: [mm]\lambda[/mm] * [mm]v_1 \le \lambda[/mm] * [mm]v_2[/mm]
> /: [mm]\lambda[/mm]
> [mm]v_1 \le v_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >stimmt laut vorrausetzung
Aha !!!! Und was machst Du wenn \lambda<0 ist. Da ist der Knackpunkt !
Es ist \vektor{0\\ 1} \in \{ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \IR^2 $ : x $ \le $ y\}}.
Aber was ist mit (-1)* \vektor{0\\ 1} ???
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:56 Fr 02.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Aber was ist mit (-1)* [mm] \vektor{0\\1} [/mm] ???
0 [mm] \le [/mm] -1
was falsch ist.
Also kann ich es mit Hilfe eines Gegenbeispiels wiederlegen?
ABer aus x [mm] \le [/mm] y
wenn ich es mit (-1) multipliziere komme ich doch auf
x [mm] \ge [/mm] y, was dann ja stimmen würde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Aber was ist mit (-1)* [mm]\vektor{0\\1}[/mm] ???
> 0 [mm]\le[/mm] -1
> was falsch ist.
> Also kann ich es mit Hilfe eines Gegenbeispiels
> wiederlegen?
Ja
FRED
> Gut danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Fr 02.12.2011 | | Autor: | quasimo |
ABer aus x $ [mm] \le [/mm] $ y
wenn ich es mit (-1) multipliziere komme ich doch auf
x $ [mm] \ge [/mm] $ y, was dann ja stimmen würde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> ABer aus x [mm]\le[/mm] y
> wenn ich es mit (-1) multipliziere komme ich doch auf
> x [mm]\ge[/mm] y
nein, Du kommst auf
-x [mm]\ge[/mm]- y
FRED
> , was dann ja stimmen würde
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:24 Fr 02.12.2011 | | Autor: | quasimo |
- x [mm] \ge [/mm] -y
0 [mm] \ge [/mm] - 1
aber
0 [mm] \ge [/mm] 1
aso also das ist egal, es stimmt so oder so nicht
DANKE
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> - x [mm]\ge[/mm] -y
>
>
> 0 [mm]\ge[/mm] - 1
> aber
> 0 [mm]\ge[/mm] 1
> aso also das ist egal, es stimmt so oder so nicht
> DANKE
Hallo,
Du hast hier eine Frage gepostet. (roter Kasten)
Ich würde gerne helfen.
Bloß erkenne ich die Frage nicht,
und aus dem Gestammel oben werde ich auch nicht so recht schlau.
Jedenfalls ist 0 nicht größer als 1, soviel kann ich schonmal sagen.
Falls Du also noch Hilfe benötigst, solltest Du nochmal klar und deutlich sagen, worum es geht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Fr 02.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Aufgabe
$ [mm] \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \IR^2 [/mm] $ : x $ [mm] \le [/mm] $ y
Ein Teilraum?
Hier ist 0 offensichtlich enthalten.
0 $ [mm] \le [/mm] $ 0
da 0=0
a)
v= $ [mm] \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix} [/mm] $
w= $ [mm] \begin{pmatrix} w_1\\w_2 \end{pmatrix} [/mm] $
v+w = $ [mm] \begin{pmatrix} v_1+w_1\\v_2+w_2 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] v_1 \le v_2 [/mm] $
$ [mm] w_1 \le w_2 [/mm] $
Zu zeigen: $ [mm] v_1+w_1 \le v_2+w_2 [/mm] $
gilt
b) v= $ [mm] \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] \lambda [/mm] $ * v = $ [mm] \begin{pmatrix} \lambda\cdot{} v_1\\\lambda \cdot{} v_2 \end{pmatrix} [/mm] $
ZuZeigen: $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] v_1 \le \lambda [/mm] $ * $ [mm] v_2 [/mm] $
wenn [mm] \lambda [/mm] > 0
$ [mm] v_1 \le v_2 [/mm] $
>stimmt laut vorrausetzung
wenn aber [mm] \lambda [/mm] < 0
->>>> Reicht hier nur ein Gegenbeispiel aus, oder schreibt man das anders an?
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Hallo,
> Aufgabe
> [mm]\begin{pmatrix} x\\
y \end{pmatrix} \in \IR^2[/mm] : x [mm]\le[/mm] y
> Ein Teilraum?
>
> Hier ist 0 offensichtlich enthalten.
> 0 [mm]\le[/mm] 0
> da 0=0
>
> a)
> v= [mm]\begin{pmatrix} v_1\\
v_2 \end{pmatrix}[/mm]
> w=
> [mm]\begin{pmatrix} w_1\\
w_2 \end{pmatrix}[/mm]
> v+w =
> [mm]\begin{pmatrix} v_1+w_1\\
v_2+w_2 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]v_1 \le v_2[/mm]
>
> [mm]w_1 \le w_2[/mm]
> Zu zeigen: [mm]v_1+w_1 \le v_2+w_2[/mm]
> gilt
Das ist unnötig, weil b) nicht gilt!
Aber immerhin eine gute Übung 
>
> b) v= [mm]\begin{pmatrix} v_1\\
v_2 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] * v =
> [mm]\begin{pmatrix} \lambda\cdot{} v_1\\
\lambda \cdot{} v_2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ZuZeigen: [mm]\lambda[/mm] * [mm]v_1 \le \lambda[/mm] * [mm]v_2[/mm]
> wenn [mm]\lambda[/mm] > 0
> [mm]v_1 \le v_2[/mm]
> >stimmt laut vorrausetzung
Es heißt Voraussetzung - mit einem "r" und großem "V" !!!
> wenn aber [mm]\lambda[/mm] < 0
> ->>>> Reicht hier nur ein Gegenbeispiel aus, oder schreibt
> man das anders an?
Gib ein konkretes Gegenbsp. an, etwa [mm]\vektor{1\\
2}[/mm] und [mm]\lambda=...[/mm]
Dann ist zwar [mm]1\le 2[/mm], aber [mm]\lambda\cdot{}1=...\not\le\lambda\cdot{}2=...[/mm]
Gib ein passendes [mm]\lambda[/mm] an.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Fr 02.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Gib ein konkretes Gegenbsp. an, etwa $ [mm] \vektor{1\\ 2} [/mm] $ und $ [mm] \lambda=... [/mm] $
> Dann ist zwar $ [mm] 1\le [/mm] 2 $, aber $ [mm] \lambda\cdot{}1=...\not\le\lambda\cdot{}2=... [/mm] $
> Gib ein passendes $ [mm] \lambda [/mm] $ an.
[mm] \lambda [/mm] = -1
(-1) * [mm] 1=-1\not\le(-1)\cdot{}2=-2
[/mm]
SO? Und dass Ungleichheitszeichen dreht sich nicht um, bei Multiplikation mit -1?
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Hallo nochmal,
> > Gib ein konkretes Gegenbsp. an, etwa [mm]\vektor{1\\
2}[/mm] und
> [mm]\lambda=...[/mm]
>
> > Dann ist zwar [mm]1\le 2 [/mm], aber
> [mm]\lambda\cdot{}1=...\not\le\lambda\cdot{}2=...[/mm]
>
> > Gib ein passendes [mm]\lambda[/mm] an.
> [mm]\lambda[/mm] = -1
> (-1) * [mm]1=-1\not\le(-1)\cdot{}2=-2[/mm]
>
> SO? Und dass Ungleichheitszeichen dreht sich nicht um, bei
> Multiplikation mit -1?
Doch, das tut es. Darum hatte ich das [mm] $\le$ [/mm] ja durchgestrichen ...
Es ist [mm]1\le 2[/mm], aber
[mm](-1)\cdot{}1=-1\ge -2=(-1)\cdot{}2[/mm]
Nur noch sauber aufschreiben, dann hast du's !
Etwa so: Für [mm]\vektor{1\\
2}\in U[/mm] und [mm]\lambda=-1[/mm] ist [mm]\lambda\cdot{}\vektor{1\\
2}\not\in U[/mm] wegen ...
Das hatten wir ja gerade
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 02.12.2011 | | Autor: | quasimo |
danke. Gut erklärt!
LG
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Hallo quasimo,
> Und da schreibt man einfach
> 0 [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \in \IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:
> 2x + 3y = 7}
> -> kein teilraum
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Do 01.12.2011 | | Autor: | quasimo |
DANKE!!
Und zu obigen Frage, hast du da einen Tipp?
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