Teilungsverhältnis mit Vektor < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Di 30.09.2008 | | Autor: | inuma |
| Aufgabe | Ein Dreieck ABC wird durch die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannt. M ist die Mitte der Strecke AB. T teil die Strecke CM im verhältniss 3:1. Die Strecke BD verläuft durch T. In welchem Verhältniss wird diese Strecje durch T geteilt?
[Dateianhang nicht öffentlich] |
So also ich verzweifel langsam bei deiser Aufgabe, da mein Lehrer es uns nicht erlaub hat. Die Punkte mit Korodinaten zu bennen. Er möchte, dass wir mit diesen abstrackten Vektoren arbeiten.
Ich habe jetzt versucht T über einen Vektorzug zu ermitteln
CT = [mm] \bruch{3}{4} \overrightarrow{CM}
[/mm]
CM = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \overrightarrow{BA}
[/mm]
BA = [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}
[/mm]
CT = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} (\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a})
[/mm]
CT = [mm] \bruch{5}{4} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} (\vec{a})
[/mm]
CT = 3*TM
TM = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \overrightarrow{CM}
[/mm]
aus den Ergebnisse von oben kann man ermittel, dass
TM = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} (\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a})
[/mm]
TM = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \vec{a}
[/mm]
In beiden steckt jetzt T, kann ich jetzt noch was machen. Bitte ich brauche wirklich ein paar gute ideen.
Danke schon mal
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Di 30.09.2008 | | Autor: | inuma |
Ok ich habe jetzt ein paar probleme mit dem Ausdruck Koeffizienten. Meinst du damit r und s oder [mm] \vec [/mm] a und [mm] \vec [/mm] b ?
Wenn du r uns s meinst komme ich auf folgendes
$ [mm] \overrightarrow{BT} [/mm] + [mm] \overrightarrow{TM} [/mm] + [mm] \overrightarrow{MB} [/mm] = [mm] \vec [/mm] 0 $
[mm] r*(\vec{-b} [/mm] + [mm] s\vec{a}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] (\vec{b} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} (\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a})) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} (\vec{a} -\vec{b}) [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
das Auflösen ergibt
[mm] \vec{a}(sr-\bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] + [mm] \vec{b}(-r+ \bruch{1}{8} [/mm] -1) = [mm] \vec [/mm] {o}
=> wenn man die koeffizienten null stetzt
[mm] \bruch{3}{8} [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \bruch{5}{8} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Wie komme ich jetzt weiter?
Danke bis hier hin
LG
inuma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Di 30.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo inuma,
> Ok ich habe jetzt ein paar probleme mit dem Ausdruck
> Koeffizienten. Meinst du damit r und s oder [mm]\vec[/mm] a und
> [mm]\vec[/mm] b ?
>
> Wenn du r uns s meinst komme ich auf folgendes
>
> [mm]\overrightarrow{BT} + \overrightarrow{TM} + \overrightarrow{MB} = \vec 0[/mm]
>
> [mm]r*(\vec{-b}[/mm] + [mm]s\vec{a})[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm](\vec{b}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2} (\vec{b}[/mm] - [mm]\vec{a}))[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} (\vec{a} -\vec{b})[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm]
ein kleiner aber folgenreicher Fehler. Du hast nicht immer auf die Richtung geachtet. Es muss heißen:
[mm]r*(\vec{-b}[/mm] + [mm]s\vec{a})[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm](\vec{b}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} (\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}))[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} (\vec{b} -\vec{a})[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
> das Auflösen ergibt
>
> [mm]\vec{a}(sr-\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2})[/mm] + [mm]\vec{b}(-r+ \bruch{1}{8}[/mm] -1) = [mm]\vec[/mm] {o}
Entsprechend korrigiert (wenn ich mich in der Schnelle nicht vertan habe. Bitte nachrechnen):
[mm]\vec{a}(sr-\bruch{3}{8}) + \vec{b}(-r+ \bruch{5}{8})
= \vec{o} [/mm]
Lineare Unabhängikeit von $ [mm] \vec [/mm] a $ und $ [mm] \vec [/mm] b $, dass der Nullvektor nur in der Form
[mm] 0\ \vec{a} + 0\ \vec{b} = \vec{o} [/mm]
dargestellt werden kann, also die Koeffizienten gleich 0 setzen:
$ [mm] sr-\bruch{3}{8} [/mm] = 0 $ und $ -r+ [mm] \bruch{5}{8} [/mm] = 0$
Daraus kannst Du jetzt r und damit das Teilungsverhältnis ausrechnen.
Gruß
Sigrid
>
> => wenn man die koeffizienten null stetzt
>
> [mm]\bruch{3}{8}[/mm] * [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\bruch{5}{8}[/mm] * [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
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> Wie komme ich jetzt weiter?
>
> Danke bis hier hin
>
> LG
> inuma
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Di 30.09.2008 | | Autor: | inuma |
Toll, einfach toll!!!
ICh möchte mich auf das herzlichste bei dir bedanken.
Alles ist logisch und sehr gut nachzuvollziehen!
Der Schritt über die lineare Unabhänigkeit der Vektoren zu gehen war genial, denn die einzige Bedingung, dass 2 Vektoren linear abhäniging, (Kollinearität) ist ja nicht erfüllt. Eine klasse Idee
Liebe Grüße und die besten Wünsche
inuma (Markus)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
wegen der Fehler oben.
