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| Aufgabe | Berechnen Sie die Reihensumme
[mm]\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{9}{9k^{2}+3k-2}[/mm]
Verwenden Sie die Teleskop-Methode. |
Hallo Leute,
Ich habe bereits in den Mathebüchern, die ich vorliegen habe, und in google nach der Teleskopmethode gesucht, aber leider nichts gefunden. Zumindest nichts, was ich auf Anhieb verstanden habe.
Es kann wohl nix wirklich kompliziertes sein. Ich habe die Musterlösung vorliegen (ganze 3 Zeilen), wüsste nur gerne, wie man das macht und wozu das gut sein soll.
Hier die Musterlösung:
[mm] \bruch{9}{9k^{2}+3k-2}=\bruch{9}{(3n-1)(3n+2)}=\bruch{1}{(n-\bruch{1}{3})(n+\bruch{2}{3})}=\bruch{1}{n-\bruch{1}{3}}-\bruch{1}{n+\bruch{2}{3}}
[/mm]
Vielen Dank.
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Hallo Serhat,
du musst eine Partialbruchzerlegung des Nenners machen.
Dazu bestimme die Nullstellen des Nenners - wie in der Musterlösung:
[mm] $\frac{9}{9k^2+3k-2}=\frac{9}{(3k-1)(3k+2)}$
[/mm]
Hier kannst du auch direkt die PBZ ansetzen mit [mm] $\frac{9}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{A}{3k-1}+\frac{B}{3k+2}$
[/mm]
In der Musterlösung wurde zuerst noch im Nenner aus den Klammern jeweils 3 ausgeklammert und gegen die 9 im Zähler gekürzt.
Das gibt dann den Ansatz [mm] $\frac{1}{\left(k-\frac{1}{3}\right)\left(k+\frac{2}{3}\right)}=\frac{A}{k-\frac{1}{3}}+\frac{B}{k+\frac{2}{3}}$
[/mm]
Wenn du hier mal die Koeffizienten $A$ und $B$ berechnest, kommst du auf $A=1, B=-1$
Du hast also die Darstellung
[mm] $\sum\limits_{k=4}^{\infty}\frac{9}{9k^2+3k-2}=\sum\limits_{k=4}^{\infty}\left(\frac{1}{k-\frac{1}{3}}-\frac{1}{k+\frac{2}{3}}\right)$
[/mm]
Nun ist der Reihenwert der GW der Partialsummen, also [mm] $\sum\limits_{k=4}^{\infty}\frac{9}{9k^2+3k-2}=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{k=4}^{N}\frac{9}{9k^2+3k-2}$
[/mm]
Mit der PBZ also [mm] $\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{k=4}^{N}\left(\frac{1}{k-\frac{1}{3}}-\frac{1}{k+\frac{2}{3}}\right)$
[/mm]
Dann schreibe dir mal eine solche $N-te$ Patrialsumme [mm] $S_N$ [/mm] hin
[mm] $S_N=\sum\limits_{k=4}^{N}\left(\frac{1}{k-\frac{1}{3}}-\frac{1}{k+\frac{2}{3}}\right)=\left(\frac{1}{4-\frac{1}{3}}-\frac{1}{4+\frac{2}{3}}\right)+\left(\frac{1}{5-\frac{1}{3}}-\frac{1}{5+\frac{2}{3}}\right)+....+\left(\frac{1}{(N-1)-\frac{1}{3}}-\frac{1}{(N-1)+\frac{2}{3}}\right)+\left(\frac{1}{N-\frac{1}{3}}-\frac{1}{N+\frac{2}{3}}\right)$
[/mm]
Das schreibe mal selbst noch ein bisschen aus und du wirst sehen, dies ist eine wunderbare Teleskopsumme, in der sich fast alle Summanden wegheben.
Es bleiben lediglich der erste und der letzte übrig, also
[mm] $S_N=\frac{1}{\frac{11}{3}}-\frac{1}{\frac{3N+2}{3}}=\frac{3}{11}-\frac{3}{3N+2}$
[/mm]
und das strebt für [mm] $N\to\infty$ [/mm] gegen ...
Das ist dann dein Reihenwert
LG
schachuzipus
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Danke sehr.
Jetzt verstehe ich es.
Ich konnte such auch selbst nachrechnen.
LG Serhat
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