Teleskopreihe für Reih 1/n²-1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mo 17.04.2006 | | Autor: | MaKru |
| Aufgabe | | Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)-1} [/mm] und bestimmen Sie den Reihenwert |
Hallo Forum!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die obige Aufgabe vorliegen und finde in meinem Script eine Lösung für die gleiche Aufgabe mit der Reihe [mm] \summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)}. [/mm] Leider fehlen mir Diskussionspartner, mit denen ich schon für die Beispielaufgabe meine Missverständnisse ausräumen kann. Diese Missverständnisse sind es vermutlich auch, die mich daran hindern, analog zum Beispiel die obige Aufgabe zu lösen.
Deshalb meine Bitte: Ich möchte hier das Beispiel [mm] \summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)} [/mm] vorstellen und kommentieren und zugleich sagen, wie ich diese Lösung für meine Aufgabe verbraten wollen würde. Ich bitte Euch, mir auf die Finger zu schauen und zu sagen, wo ich falsch liege und inwiefern ich richtig übertrage.
Für meine Aufgaben-Reihe [mm] \summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)-1} [/mm] würde ich zunächst versuchen nachzuweisen, dass sie monoton wächst und zwar indem ich zeige, dass stets gilt [mm] a_{n+1}-a_{n}>0. [/mm] Dann würde ich versuchen, eine obere Schranke zu bestimmen (die vermutlich bei 2 liegt) und diese Schranke wäre dann zugleich der gefragte Reihenwert.
Ich möchte mal absehen von der Frage, wie es mir gelingen könnte zu zeigen, dass die Reihe monoton wächst, weil ich es auf dem Papier hier vor mir gerade mal hinbekomme zu zeigen, dass die Folge [mm] \bruch{1}{(i^2)-1} [/mm] eine monton fallende Nullfolge ist.
Für die Reihe [mm] \summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)} [/mm] argumentiert das Script nun, dass für jedes Glied der Betrag keine Rolle spielt und es gilt [mm] |a_{n}| [/mm] = [mm] a_{n}. [/mm] Das kann ich sicher übernehmen und würde auch den nächsten Schritt dreist nachmachen. Der kommende Schritt lautet [mm] a_{n} \le [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=2}^{n} \bruch{1}{i(i-1)}. [/mm] Weshalb das so sein soll, das sehen Verständige vermutlich, ich habe es an zwei Beispielen für die Aufgabe oben nachgerechnet und würde es auch für meine Reihe [mm] \summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)-1} [/mm] so behaupten.
Nun bin ich ja - genau wie das Beispiel im Script - bei der Teleskopreihe 1 + [mm] \summe_{i=2}^{n} (\bruch{1}{(i-1)}-\bruch{1}{i}) [/mm] angekommen und mit dieser beim Ergebnis 2 - [mm] \bruch{1}{n}<2.
[/mm]
Meine Frage zielt wesentlich auf den ersten Schritt, indem ich auch für [mm] \summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)-1} [/mm] behaupte [mm] a_{n} \le [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=2}^{n} \bruch{1}{i(i-1)}. [/mm] Ich bin mir schon im Beispiel aus dem Script nicht sicher, wie diese Behauptung eigentlich gerechtfertigt ist. Sicher sieht da wieder wer was, nur ich eben leider nicht.
Könnt Ihr mir weiterhelfen? Restostergrüße von
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mo 17.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Christian
> Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)-1}[/mm]
> und bestimmen Sie den Reihenwert
> Ich habe die obige Aufgabe vorliegen und finde in meinem
> Script eine Lösung für die gleiche Aufgabe mit der Reihe
> [mm]\summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)}.[/mm]
>
> Deshalb meine Bitte: Ich möchte hier das Beispiel
> [mm]\summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)}[/mm] vorstellen und
> kommentieren und zugleich sagen, wie ich diese Lösung für
> meine Aufgabe verbraten wollen würde. Ich bitte Euch, mir
> auf die Finger zu schauen und zu sagen, wo ich falsch liege
> und inwiefern ich richtig übertrage.
>
> Für meine Aufgaben-Reihe [mm]\summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)-1}[/mm]
kann es nicht sein, dass hier die Summe von 1 anfängt, nicht von 2? sonst wirds weiter hinten unklar!
> würde ich zunächst versuchen nachzuweisen, dass sie monoton
> wächst und zwar indem ich zeige, dass stets gilt
> [mm]a_{n+1}-a_{n}>0.[/mm]
Wenn man Reihen ansieht, ist es üblich die Summanden [mm] a_{i} [/mm] zu nennen, die
Teilsummen bis n dann [mm] S_{n}
[/mm]
Da die Summe nur positive Glieder enthält, wächst die Folge der Teilsummen sicher monoton.also da [mm] S_{n+1}=S_{n}+a{n+1}==S_{n}+1/(i^{2}-1)
[/mm]
Dann würde ich versuchen, eine obere
> Schranke zu bestimmen (die vermutlich bei 2 liegt) und
> diese Schranke wäre dann zugleich der gefragte Reihenwert.
Eine obere Schranke ist i.A. nicht der Reihenwert! Wenn der Reihenwert 2 ist, ist 200 auch ne obere Schranke!
> Ich möchte mal absehen von der Frage, wie es mir gelingen
> könnte zu zeigen, dass die Reihe monoton wächst, weil ich
> es auf dem Papier hier vor mir gerade mal hinbekomme zu
> zeigen, dass die Folge [mm]\bruch{1}{(i^2)-1}[/mm] eine monton
> fallende Nullfolge ist.
Das brauchst du, als notwendige Bedingung für die Konvergenz!
> Für die Reihe [mm]\summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)}[/mm]
> argumentiert das Script nun, dass für jedes Glied der
> Betrag keine Rolle spielt und es gilt [mm]|a_{n}|[/mm] = [mm]a_{n}.[/mm] Das
> kann ich sicher übernehmen
klar, da alle Glieder positiv sind.
< und würde auch den nächsten
> Schritt dreist nachmachen. Der kommende Schritt lautet
> [mm]a_{n} \le[/mm] 1 + [mm]\summe_{i=2}^{n} \bruch{1}{i(i-1)}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Weshalb
> das so sein soll, das sehen Verständige vermutlich,
Wenn die Summe bei 2 anfängt, macht die 1 am Anfang keinen Sinn! wenn die ursprüngliche Summe bei 1 anfängt ist es vernünftig, weil das "Teleskop erst bei 2 anfängt!
1.Wenn man jeden Summanden einer Summe vergrößert, vergrößert man die Summe"
2. Wenn man den Nenner eines Bruches verkleinert, wird der Bruch vergrößert!
deshalb ist \bruch{1}{i*(i-1)>\bruch{1}{i^2}
> habe es an zwei Beispielen für die Aufgabe oben
> nachgerechnet und würde es auch für meine Reihe
> [mm]\summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{(i^2)-1}[/mm] so behaupten.
so enfach geht das nicht! und so ists falsch!
[mm] \bruch{1}{(i^2)-1}= \bruch{1}{(ii-1)*(i+1)}, [/mm] wenn du hier statt i+1 i schreibst verkleinerst du den Bruch!
Weil du ja [mm] \bruch{1}{(i^2)-1}= \bruch{1}{(ii-1)*(i+1)} [/mm] schreiben kannst und [mm] \bruch{1}{(ii-1)*(i+1)}=1/2*( \bruch{1}{(ii-1)}-\bruch{1}{(i+1)}
[/mm]
kannst du deine Teleskopsummen wieder hinkriegen wenn du ein -1/i+1/i dazwischenfügst.
Probiers mal damit, pass auf, ab wo das gilt! du hast dann 2 Teleskopsummen, aber mit verschiedenem Anfang! schreib dir am bsten die ersten paar Glieder auf!
Gruss leduart
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