Tensoralgebra frei < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 16.12.2007 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
ich habe das Problem, dass ich zeigen soll, dass die Tensoralgebra eine freie Algebra ist.
Definition Tensoralgebra:
Sei V ein K-Vektorraum, dann ist die Tensoralgebra definiert durch:
[mm] T(V):=\oplus_{i\in\IN_{0}}V^{\otimes i}
[/mm]
Angeblich, soll es jetzt einfach sein, zu zeigen, dass die Tensoralgebra frei ist, aber ich komme einfach nicht darauf wie.
Könnt ihr mir bitte helfen?
Vielen Dank schon im Voraus
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 So 16.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> ich habe das Problem, dass ich zeigen soll, dass die
> Tensoralgebra eine freie Algebra ist.
>
> Definition Tensoralgebra:
> Sei V ein K-Vektorraum, dann ist die Tensoralgebra
> definiert durch:
> [mm]T(V):=\oplus_{i\in\IN_{0}}V^{\otimes i}[/mm]
>
> Angeblich, soll es jetzt einfach sein, zu zeigen, dass die
> Tensoralgebra frei ist, aber ich komme einfach nicht darauf
> wie.
Was eine freie Algebra ist, weisst du ja jetzt.
Erstmal musst du eine `Basis' von $T(V)$ finden. Dazu nimmst du eine Basis [mm] $\{ e_i \mid i \in I \}$ [/mm] (die darf auch ruhig unendlich sein) von $V$. Die Idee ist, dass nun [mm] $\{ e_i \mid i \in I \}$ [/mm] ebenfalls eine Basis von $T(V)$ als $K$-Algebra ist, also dass du jedes Element aus $T(V)$ eindeutig als polynomiellen Ausdruck in den [mm] $\{ e_i \mid i \in I \}$ [/mm] schreiben kannst.
Nun nimmst du dir eine beliebige andere $K$-Algebra $S$ und eine Funktion $f : I [mm] \to [/mm] S$. Du musst jetzt zeigen, dass es genau einen $K$-Algebra-Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : T(V) [mm] \to [/mm] S$ gibt mit [mm] $\varphi(e_i) [/mm] = f(i)$.
Wie der aussehen soll ist nicht so schwer. Du musst dann jedoch zeigen, dass es wirklich einer ist und dass es genau einer ist. (Zeige zuerst die Eindeutigkeit, dann die Existenz als $K$-Vektorraum-Homomorphismus, indem du ihn konkret angibst, und dann schliesslich zeige dass es ein $K$-Algebra-Homomorphismus ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mo 17.12.2007 | | Autor: | AnnaM |
Hallo Felix,
> Was eine freie Algebra ist,
> weisst du ja jetzt.
>
> Erstmal musst du eine 'Basis' von [mm]T(V)[/mm] finden. Dazu nimmst
> du eine Basis [mm]\{ e_i \mid i \in I \}[/mm] (die darf auch ruhig
> unendlich sein) von [mm]V[/mm]. Die Idee ist, dass nun [mm]\{ e_i \mid i \in I \}[/mm]
> ebenfalls eine Basis von [mm]T(V)[/mm] als [mm]K[/mm]-Algebra ist, also dass
> du jedes Element aus [mm]T(V)[/mm] eindeutig als polynomiellen
> Ausdruck in den [mm]\{ e_i \mid i \in I \}[/mm] schreiben kannst.
Ok, Das habe ich verstanden denke ich. 
> Nun nimmst du dir eine beliebige andere [mm]K[/mm]-Algebra [mm]S[/mm] und
> eine Funktion [mm]f : I \to S[/mm].
Warum von [mm]I[/mm] aus und nicht [mm]f : \{ e_i \mid i \in I \} \to S[/mm] ?
> Du musst jetzt zeigen, dass es
> genau einen [mm]K[/mm]-Algebra-Homomorphismus [mm]\varphi : T(V) \to S[/mm]
> gibt mit [mm]\varphi(e_i) = f(i)[/mm].
>
> Wie der aussehen soll ist nicht so schwer. Du musst dann
> jedoch zeigen, dass es wirklich einer ist und dass es genau
> einer ist. (Zeige zuerst die Eindeutigkeit, dann die
> Existenz als [mm]K[/mm]-Vektorraum-Homomorphismus, indem du ihn
> konkret angibst, und dann schliesslich zeige dass es ein
> [mm]K[/mm]-Algebra-Homomorphismus ist.)
Kann ich hier nicht einfach sagen, dass die Basiselemente genauso abgebildet werden müssen, wie f es tut (da das ja übereinstimmen muss) und die Abbildungen der restlichen Elemente sich ja schon daraus ergeben, dass es ein Homomorphismus ist? Ich meine, dann ist ja klar, dass es nur diesen einen geben kann.
Das würde aber ja auch bedeuten, dass jede [mm]K[/mm]-Algebra, die eine Basis hat frei ist.
Stimmt das so oder habe ich jetzt einen absoluten Knoten im Hirn?
Irgendwie habe ich gerade das Gefühl, dass ich hier totalen Mumpiz hingeschrieben habe..... :-(
Bitte hilf mir noch einmal.
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Mo 17.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> > Nun nimmst du dir eine beliebige andere [mm]K[/mm]-Algebra [mm]S[/mm] und
> > eine Funktion [mm]f : I \to S[/mm].
> Warum von [mm]I[/mm] aus und nicht [mm]f : \{ e_i \mid i \in I \} \to S[/mm]
> ?
Das ist im Endeffekt egal; laut Definition von freier Algebra muesste sie von [mm] $\{ e_i \mid i \in I \}$ [/mm] losgehen, da hast du recht, aber $I$ ist etwas kuerzer zu tippen und es laeuft auf's gleiche hinaus
> > Du musst jetzt zeigen, dass es
> > genau einen [mm]K[/mm]-Algebra-Homomorphismus [mm]\varphi : T(V) \to S[/mm]
> > gibt mit [mm]\varphi(e_i) = f(i)[/mm].
> >
> > Wie der aussehen soll ist nicht so schwer. Du musst dann
> > jedoch zeigen, dass es wirklich einer ist und dass es genau
> > einer ist. (Zeige zuerst die Eindeutigkeit, dann die
> > Existenz als [mm]K[/mm]-Vektorraum-Homomorphismus, indem du ihn
> > konkret angibst, und dann schliesslich zeige dass es ein
> > [mm]K[/mm]-Algebra-Homomorphismus ist.)
>
> Kann ich hier nicht einfach sagen, dass die Basiselemente
> genauso abgebildet werden müssen, wie f es tut (da das ja
> übereinstimmen muss) und die Abbildungen der restlichen
> Elemente sich ja schon daraus ergeben, dass es ein
> Homomorphismus ist?
Im Prinzip ja :) Dazu kommt ja noch, dass die Elemente aus $K$ durch die Identitaet abgebildet werden muessen (da es ein $K$-Algebra-Homomorphismus ist).
> Ich meine, dann ist ja klar, dass es
> nur diesen einen geben kann.
Genau.
> Das würde aber ja auch bedeuten, dass jede [mm]K[/mm]-Algebra, die
> eine Basis hat frei ist.
Exakt. Eine Basis zu haben (in dem obigen Sinne, also dass sich jedes Element eindeutig mit einem polynomiellen Ausdruck von Basiselementen darstellen laesst) ist sogar aequivalent dazu, dass eine $K$-Algebra frei ist.
> Stimmt das so oder habe ich jetzt einen absoluten Knoten im
> Hirn?
> Irgendwie habe ich gerade das Gefühl, dass ich hier
> totalen Mumpiz hingeschrieben habe..... :-(
Nein, hast du nicht!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Mo 17.12.2007 | | Autor: | AnnaM |
Hi Felix,
super! Vielen Dank!
Ich habe mir auch noch überlegt, dass zwei freie [mm]K[/mm]-Algebren bei denen die eine in der anderen enthalten ist, isomorph zueinander sind.
Kannst du mir vielleicht sagen, ob das stimmt?
Schöne Grüße Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Mo 17.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> super! Vielen Dank!
:)
> Ich habe mir auch noch überlegt, dass zwei freie [mm]K[/mm]-Algebren
> bei denen die eine in der anderen enthalten ist, isomorph
> zueinander sind.
> Kannst du mir vielleicht sagen, ob das stimmt?
Das stimmt so erstmal nicht: wenn z.B. $U [mm] \subseteq [/mm] V$ ein Untervektorraum ist, dann ist $T(U) [mm] \subseteq [/mm] T(V)$ eine Unter-$K$-Algebra (und ebenso frei). Isomorph sind sie aber nur dann, wenn [mm] $\dim [/mm] U = [mm] \dim [/mm] V$ (wobei man das bei unendlichen Dimensionen genau definieren muss) ist.
Bzw. allgemeiner: zwei freie $K$-Algebren sind genau dann isomorph, wenn ihre Basen die gleiche Laenge haben, also es eine Bijektion von einer Basis der einen auf eine Basis der anderen $K$-Algebra gibt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 13.05.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hallo Felix, (natürlich auch alle anderen )
ich habe noch eine Frage zu diesem Thema.
Ich habe gehört, dass jede freie Algebra A isomorph zu einer Tensoralgebra T(V) ist. Stimmt das so?
Wenn nein, gibt es denn eine ähnlich Aussage?
Wenn ja, wie kann man das denn dann zeigen?
Ich habe mir folgendes überlegt:
Ich nehme eine K-ALgebren Basis B von A (die habe ich ja, da A frei ist) und nenne den von B erzeugten Vektorraum V. Dann ist B doch auch eine K-Algbren Basis von T(V) und somit ist A isomorph zu T(V).
Stimmt das so oder ist das Quatsch?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
Schöne Grüße Anna.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Di 13.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna,
> ich habe noch eine Frage zu diesem Thema.
> Ich habe gehört, dass jede freie Algebra A isomorph zu
> einer Tensoralgebra T(V) ist. Stimmt das so?
da deine Algebren nicht notwendigerweise kommutativ sein muessen: ja.
(Wenn du nur kommutative Algebren betrachten wuerdest, so waeren die freien gerade die Polynomringe (in $|B|$ Unbestimmten). Im nicht-kommutativen Fall brauchst du sozusagen nicht-kommutative Polynomringe, und diese sind halt die Tensoralgebren.)
> Wenn nein, gibt es denn eine ähnlich Aussage?
> Wenn ja, wie kann man das denn dann zeigen?
>
> Ich habe mir folgendes überlegt:
> Ich nehme eine K-ALgebren Basis B von A (die habe ich ja,
> da A frei ist) und nenne den von B erzeugten Vektorraum V.
> Dann ist B doch auch eine K-Algbren Basis von T(V) und
> somit ist A isomorph zu T(V).
> Stimmt das so oder ist das Quatsch?
Das stimmt!
Allgemeiner gilt: Sind $A$ und $A'$ zwei freie $K$-Algebren mit Basen $B$ bzw. $B'$, so sind $A$ und $A'$ als $K$-Algebren genau dann isomorph, wenn $|B| = |B'|$ ist, d.h. wenn es eine bijektive Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : B [mm] \to [/mm] B'$ gibt.
(Dazu brauchst du im prinzip die Eigenschaft, dass die Algebren frei sind: die bijektive Abbildung $B [mm] \to [/mm] B'$ induziert dann einen Algebrenhomomorphismus $A [mm] \to [/mm] A'$, der sich eingeschraenkt auf $B$ wie [mm] $\varphi$ [/mm] verhaelt; ebenso erhaelt man durch [mm] $\varphi^{-1}$ [/mm] einen Algebrenhomomorphismus, der sich eingeschraenkt auf $B'$ wie [mm] $\varphi^{-1}$ [/mm] verhaelt; und die Verkettung von beiden verhaelt sich jeweils wie die Identitaet auf $B$ bzw. $B'$, muss also bereits die Identitaet auf $A$ bzw. $A'$ sein, wegen der Eindeutigkeit.)
Wenn du zu einer gegebenen freien $K$-Algebra $A$ mit Basis $B$ einfach einen Vektorraum $V$ nimmst mit Basis $B'$, wobei es eine bijektive Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : B [mm] \to [/mm] B'$ gibt, so ist $T(V)$ dann als $K$-Algebra isomorph zu $A$. In deinem Fall hast du einfach $V$ als den von $B$ erzeugten $K$-Untervektorraum von $A$ genommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 28.05.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
ich bin immer noch mit freien Algebren und Tensoralgebren beschäftigt. Jetzt möchte ich zeigen, dass die Tensoralgebra T(V) über jeden Vektorraum W [mm] \subseteq [/mm] T(V) frei ist.
Im folgenden sei S eine beliebige K-ALgebra mit Einselement 1 und f: W [mm] \to [/mm] S eine lineare Funktion. Mit [mm] \varphi [/mm] bezeichne ich den K-Vektorraumhomomorphismus von T(V) nach S, für den gilt: [mm] \varphi|_{W}=f.
[/mm]
Ist W [mm] \subseteq [/mm] V, so kann ich doch einfach [mm] g(v):=\begin{cases} f(v), & \mbox{falls } v \in W \\ 0, & \mbox{falls } v \in V\backslash W \end{cases}
[/mm]
und [mm] \varphi(v_{1} \otimes \ldots \otimes v_{r}):=g(v_{1}) \dots g(v_{r}) [/mm] und [mm] \varphi(\lambda):=\lambda \cdot [/mm] 1, [mm] v_{i} \in [/mm] V definieren.
Das [mm] \varphi [/mm] der gesuchte Homomorphismus ist sieht man sofort.
Stimmt das so?
Wie muss ich das machen, wenn V [mm] \subset [/mm] W ist?
Vielen Dank für Hilfe.
Schöne Grüße Anna.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mi 28.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> ich bin immer noch mit freien Algebren und Tensoralgebren
> beschäftigt. Jetzt möchte ich zeigen, dass die
> Tensoralgebra T(V) über jeden Vektorraum W [mm]\subseteq[/mm] T(V)
> frei ist.
Ich muss dich leider enttaeuschen, fuer die meisten Vektorraeume $W$ ist das schlichtweg falsch. Meinst du vielleicht $W [mm] \subseteq [/mm] V$? In dem Fall ist es immer noch falsch, da dann immer ein [mm] $\varphi$ [/mm] existiert, aber nur eindeutig ist wenn $W = V$ ist (oder wenn die Zielalgebra nur aus einem Element besteht) (falls $W [mm] \subsetneqq [/mm] V$ ist, hast du ein Element aus $V$ welches l.u. zu $W$ ist, und dessen Ziel kannst du frei waehlen).
> Im folgenden sei S eine beliebige K-ALgebra mit Einselement
> 1 und f: W [mm]\to[/mm] S eine lineare Funktion. Mit [mm]\varphi[/mm]
> bezeichne ich den K-Vektorraumhomomorphismus von T(V) nach
> S, für den gilt: [mm]\varphi|_{W}=f.[/mm]
>
> Ist W [mm]\subseteq[/mm] V, so kann ich doch einfach
> [mm]g(v):=\begin{cases} f(v), & \mbox{falls } v \in W \\ 0, & \mbox{falls } v \in V\backslash W \end{cases}[/mm]
Nicht ganz, das 0 passt nicht umbedingt. Du musst $f$ fortsetzen zu einer linearen Abbildung $V [mm] \to [/mm] S$ (irgendwie, etwa durch 0 auf den weiteren Basisvektoren), aber dann kommt nicht das obige heraus.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 28.05.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hmmm, schade!
Geht das denn wenn ich statt des K-Vektorraums W eine K-ALgebra nehme?
Mir wurde nämlich gesagt, dass frei über jeden Vektorraum der eine Teilmenge der Algebra ist (oder vielleicht war's doch jede Algebra) gleichbedeutend zu frei sein soll.
Kennst Du irgendwie so was ähnliches?
Liebe Grüße Anna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mi 28.05.2008 | | Autor: | AnnaM |
Oder kann es sein, dass ich da was durcheinander gebracht habe und das gemeint war, dass eine Algebra A genau dann frei ist, wenn sie frei über einem Vektorraum ist?
Denn ist A frei (also frei über einer Basis B), so kann ich [mm] f:B\to [/mm] S linear fortsetzen zu [mm] f':V\to [/mm] S, wobei V der von B erzeugte Vektorraum ist. Da [mm] \varphi :A\to [/mm] S Hom. mit [mm] \varphi|_{B}=f [/mm] ist, ist [mm] \varphi|_{V}=f'. [/mm]
Und damit ist A auch frei über V.
Umgekehrt ist A frei über einem Vektorraum V, so kann ich doch das [mm] f:V\to [/mm] S einschränken auf eine Basis B von V mit [mm] f|_{B}=f' [/mm] . Damit ist dann [mm] \varphi|_{B}=f|_{B}=f'. [/mm] Da [mm] \varphi [/mm] eindeutig bestimmter Homomorphismus mit [mm] \varphi|_{V}=f, [/mm] ist [mm] \varphi [/mm] auch eindeutig bestimmter Homomorphismus mit [mm] \varphi|_{B}=f'.
[/mm]
Und damit ist A frei.
Stimmt das denn so oder habe ich schon wieder nur Mumpitz geschrieben?
Schöne Grüße Anna.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Do 29.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Oder kann es sein, dass ich da was durcheinander gebracht
> habe und das gemeint war, dass eine Algebra A genau dann
> frei ist, wenn sie frei über einem Vektorraum ist?
Ja, das war sicher gemeint! Und der Vektorraum ist einfach der $K$-Spann der Basis von $A$, bzw. umgekehrt ist jede $K$-Vektorraum-Basis von $V$ eine $K$-Algebra-Basis von $A$.
> Denn ist A frei (also frei über einer Basis B), so kann ich
> [mm]f:B\to[/mm] S linear fortsetzen zu [mm]f':V\to[/mm] S, wobei V der von B
> erzeugte Vektorraum ist. Da [mm]\varphi :A\to[/mm] S Hom. mit
> [mm]\varphi|_{B}=f[/mm] ist, ist [mm]\varphi|_{V}=f'.[/mm]
> Und damit ist A auch frei über V.
Exakt.
> Umgekehrt ist A frei über einem Vektorraum V, so kann ich
> doch das [mm]f:V\to[/mm] S einschränken auf eine Basis B von V mit
> [mm]f|_{B}=f'[/mm] . Damit ist dann [mm]\varphi|_{B}=f|_{B}=f'.[/mm] Da
> [mm]\varphi[/mm] eindeutig bestimmter Homomorphismus mit
> [mm]\varphi|_{V}=f,[/mm] ist [mm]\varphi[/mm] auch eindeutig bestimmter
> Homomorphismus mit [mm]\varphi|_{B}=f'.[/mm]
> Und damit ist A frei.
Genau!
> Stimmt das denn so oder habe ich schon wieder nur Mumpitz
> geschrieben?
Nein, diesmal ist's perfekt :)
Ich hab die andere Frage mal auch auf beantwortet gestellt, da sich die dann wohl miterledigt hat, oder?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Do 29.05.2008 | | Autor: | AnnaM |
Ja klar hat sich die auch erledigt.
Vielen Dank und bis bald
Anna.
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