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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Tensorprodukt
Tensorprodukt < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Tensorprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Mi 19.06.2013
Autor: rollroll

Aufgabe
Auf dem [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] \IC \otimes_{\IR} \IC [/mm] kann man eine Multiplikation definieren, für die
[mm] (z_1 \otimes z_2) [/mm] * [mm] (z_1' \otimes z_2') [/mm] = [mm] (z_1 z_1') \otimes (z_2 z_2') [/mm]
für alle [mm] z_1, z_1', z_2, z_2' \in \IC [/mm] gilt. Zeigen sie, dass [mm] \IC \otimes_{\IR} \IC [/mm] mit dieser Multiplikation zwar eine [mm] \IR-Algebra, [/mm] aber kein Körper ist.

Hallo.

Mein erstes Problem liegt darin, dass mir der Unterschied zwischen einer [mm] \IR-Algebra [/mm] und einem [mm] \IR [/mm] Vektorraum nicht ganz klar ist. Was fehlt dem einer [mm] \IR [/mm] Algebra zu einem [mm] \IR [/mm] Vektorraum? Ist es nur die Tatsache 1 * x = x?
Denn davon hängt ja ab, was ich noch alles an Eigenschaften zeigen muss. Wie beweise ich, dass es sich nicht um einen Körper handelt? Kann ich z.B. zeigen, dass diese Multiplikation nicht abelsch ist oder so?

Danke schonmal.
Gruß

        
Bezug
Tensorprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Mi 19.06.2013
Autor: Schadowmaster

Hallo rollroll,

eine [mm] $\IR-$Algebra [/mm] ist nicht nur ein [mm] $\IR-$Vektorraum, [/mm] sondern auch noch ein Ring. Darüber hinaus sind die Multiplikation im Ring und die Skalarmultiplikation verträglich miteinander, für genaue Definitionen konsultiere am besten dein Skript bzw. das Buch, aus dem die Aufgabe stammt.

Du weißt sicher, wie man zeigen kann, dass ein Ring kein Körper ist, oder?
(Überlege dir zB, warum [mm] $\IZ$ [/mm] kein Körper ist, wie du das begründen würdest)


lg

Schadow

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Tensorprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Mi 19.06.2013
Autor: rollroll

Naja, weil es in Z keine multiplikativen inversen gibt. Aber wie zeige ich das bzgl dieses tensorprodukts?

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Tensorprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:46 Do 20.06.2013
Autor: felixf

Moin!

> Naja, weil es in Z keine multiplikativen inversen gibt.
> Aber wie zeige ich das bzgl dieses tensorprodukts?

Na, dazu musst du dir das Tensorprodukt erstmal genauer anschauen. Gib eine Basis davon an und schau dir an, wie das Produkt je zweier Basisvektoren aussieht.

Wenn du die Basisvektoren geschickt waehlst, wirst du uebrigens sehen, dass das Ergebnis isomorph zum Ring der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen ueber [mm] $\IR$ [/mm] ist.

LG Felix


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Tensorprodukt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:13 Do 20.06.2013
Autor: rollroll

Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie man von einem tensorprodukt eine Basis bestimmt.  Habe das bisher noch nie gemacht. Wäre deshalb dankbar über eure Hilfe.

Bezug
                                        
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Tensorprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:15 Fr 21.06.2013
Autor: felixf

Moin!

> Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie man von einem
> tensorprodukt eine Basis bestimmt.  Habe das bisher noch
> nie gemacht. Wäre deshalb dankbar über eure Hilfe.  

Verrat uns doch mal, was du ueber das Tensorprodukt weisst. Irgendwas werdet ihr ja schon dazu gemacht haben?

Wenn [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] eine $K$-Basis von $V$ und [mm] $w_1, \dots, w_m$ [/mm] eine $K$-Basis von $W$ ist, dann kann man eine $K$-Basis von $V [mm] \otimes_K [/mm] W$ recht einfach angeben. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das bei euch nie vorkam.

LG Felix


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Tensorprodukt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Sa 22.06.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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