Tensorprodukt adjungierter Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Markus |
Hallo
Hab da schon wieder ne Aufgabe, die für mich ein Rätsel darstellt. Wäre dankbar wenn mir einer weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Es seinen (V,f), (W,g) unitäre Vektorräume endlicher Dimension. Auf V [mm] \otimes [/mm] W werde durch
[mm] F(x_1 \otimes y_1 [/mm] , [mm] x_2 \otimes y_2) [/mm] := [mm] f(x_1,x_2)g(y_1,y_2)
[/mm]
für zerfallende Tensoren eine Abbildung in [mm] \IC [/mm] definiert.
Für die lineare Abbildungen [mm] \alpha \in [/mm] Hom(V,V) und [mm] \beta \in [/mm] Hom(W,W) ist zu zeigen:
a) [mm] (\alpha \otimes \beta)^* [/mm] = [mm] \alpha^* \otimes \beta^*
[/mm]
b) Wenn [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] normal sind, dann auch [mm] \alpha \otimes \beta.
[/mm]
Gruß. Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Di 13.07.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Markus!
Wegen der Bilinearität genügt es
[mm] $F((\alpha \otimes \beta)(x_1 \otimes y_1), x_2 \otimes y_2) [/mm] = [mm] F(x_1 \otimes y_1, (\alpha^{\*} \otimes \beta^{\*})(x_2 \otimes y_2))$
[/mm]
für alle [mm] $x_1 \otimes y_1, \, x_2 \otimes y_2$ [/mm] zu zeigen.
Dies folgt aber sofort aus der Definition von $F$:
[mm] $F((\alpha \otimes \beta)(x_1 \otimes y_1), x_2 \otimes y_2)$
[/mm]
$= [mm] f(\alpha(x_1),x_2) \cdot g(\beta(y_1),y_2)$
[/mm]
$= [mm] f(x_1,\alpha^{\*}(x_2)) \cdot g(y_1,\beta^{\*}(y_2))$
[/mm]
$= [mm] F(x_1 \otimes y_1, (\alpha^{\*} \otimes \beta^{\*})(x_2 \otimes y_2))$.
[/mm]
Aufgabenteil b) folgt sofort aus a) wegen
[mm] $(\alpha \otimes \beta)^{\*} \circ (\alpha \otimes \beta) =(\alpha^{\*} \otimes \beta^{\*}) \circ (\alpha \otimes \beta) [/mm] = [mm] (\alpha^{\*} \circ \alpha) \otimes (\beta^{\*} \circ \beta) [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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