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| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper, [mm] X_i [/mm] und [mm] Y_i [/mm] $K-VR$, sodass die Summe [mm] $\bigoplus X_i$ [/mm] eine (endliche) direkte Summe ist.
Ist dann auch die Summe [mm] $\sum X_i \otimes Y_i$ [/mm] direkt? |
moin,
die obige Aussage stört mich grad ein wenig, da ich sie weder bewiesen noch widerlegt kriege.
Ich vermute einfach mal das geht am besten ganz theoretisch mit Eigenschaften des Tensorprodukts, aber ich weiß leider grad nicht wie.^^
Mir würde die Aussage für [mm] $X_i, Y_i$ [/mm] endlichdimensional und $K = [mm] \IF_2$ [/mm] vollkommen ausreichen, aber selbst da kriege ich sie leider nicht gezeigt.
Über Tipps und Hilfe oder zumindest ein "ja gilt" oder "nein, gilt i.A. nicht" würde ich mich freuen.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:11 Mo 27.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Schadowmaster,
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]X_i[/mm] und [mm]Y_i[/mm] [mm]K-VR[/mm], sodass die Summe
> [mm]\bigoplus X_i[/mm] eine (endliche) direkte Summe ist.
> Ist dann auch die Summe [mm]\sum X_i \otimes Y_i[/mm] direkt?
Du sprichst davon, dass die Summe der [mm] $X_i$ [/mm] direkt sei. Also sind offenbar alle [mm] $X_i$ [/mm] Unterräume von einem gemeinsamen Vektorraum $X$, sonst macht diese Aussage keinen Sinn.
Ebenso gehe ich davon aus, dass alle [mm] $Y_i$ [/mm] Unterräume eines gemeinsamen Raumes $Y$ sein sollen.
Dann gibt es für jedes [mm] $i\in [/mm] I$ einen kanonischen Monomorphismus
[mm] $X_i\otimes Y_i\to X\otimes Y,\quad x_i\otimes y_i\mapsto x_i\otimes y_i$.
[/mm]
Bezüglich dieser Monomorphismen lassen sich die [mm] $X_i\otimes Y_i$ [/mm] als Unterräume von [mm] $X\otimes [/mm] Y$ auffassen.
Erst in diesem Sinne macht es Sinn, die Frage nach der Direktheit der Summe der [mm] $X_i\otimes Y_i$ [/mm] zu stellen.
In der Tat: Diese Summe ist direkt.
Vielleicht gibt es einen eleganteren Weg, aber mithilfe von Basen lässt sich wie folgt argumentieren:
Sei für jedes [mm] $i\in [/mm] I$ das System [mm] $(e_{ij})_{j\in J_i}$ [/mm] eine Basis von [mm] $X_i$.
[/mm]
Da die Summe der [mm] $X_i$ [/mm] direkt ist, ist dann das System [mm] $(e_{ij})_{\substack{i\in i\\j\in J_i}}$ [/mm] linear unabhängig.
Sei [mm] $(f_k)_{k\in K}$ [/mm] eine Basis von $Y$.
Dann ist [mm] $(e_{ij}\otimes f_k)_{\substack{i\in I\\j\in J_i\\k\in K}}$ [/mm] linear unabhängig in [mm] $X\otimes [/mm] Y$.
Zeige, dass Elemente von [mm] $z\in X_i\otimes Y_i$ [/mm] als Elemente von [mm] $X\otimes [/mm] Y$ aufgefasst sich in der Form
[mm] $z=\sum_{\substack{j\in J_i\\k\in K}}a_{jk}(e_{ij}\otimes f_k)$
[/mm]
mit [mm] $a_{jk}\in [/mm] K$ schreiben lassen.
Sei nun [mm] $\sum_{i\in I}z_i=0$ [/mm] in [mm] $X\otimes [/mm] Y$ für gewisse [mm] $z_i\in X_i\otimes Y_i$, [/mm] etwa [mm] $z_i=\sum_{\substack{j\in J_i\\k\in K}}a_{ijk}(e_{ij}\otimes f_k)$.
[/mm]
Also
[mm] $\sum_{i\in I}\sum_{\substack{j\in J_i\\k\in K}}a_{ijk}(e_{ij}\otimes f_k)=0$.
[/mm]
Somit sind alle [mm] $a_{ijk}$ [/mm] =0 und damit alle [mm] $z_i=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Danke. :)
Der Professor hat das heute im Vortrag zum Glück als "ja, das ist klar, müssen Sie nicht zeigen" durchgehen lassen.^^
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