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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Seien V,W zwei endlichdimensionale [mm] $\IC$-Vektorräume [/mm] und $ f [mm] \in [/mm] End(v), g [mm] \in [/mm] End(W)$.
Besimmen Sie die Eigenwerte von
$f [mm] \otimes [/mm] g: V [mm] \otimes [/mm] W [mm] \to [/mm] V [mm] \otimes [/mm] W, v [mm] \otimes [/mm] w [mm] \mapsto [/mm] f(v) [mm] \otimes [/mm] g(w)$
in Abhängigkeit derer von f und g. |
Hallo,
ich denke ich kann die Eigenwerte von $f [mm] \otimes [/mm] g$ in Abhängigkeit derer von $f$ und $g$ angeben, schaffe es aber nicht zu zeigen, dass es keine weiteren geben kann. Meine Überelgungen, soweit wie ich gekommen bin:
Seien [mm] $\alpha, \beta \in \IC$ [/mm] Eigenwerte von f bzw. g.
[mm] $\Rightarrow \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V, w [mm] \in [/mm] W: f(v) = [mm] \alpha [/mm] v, g(w) = [mm] \beta [/mm] w$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] für $v [mm] \otimes [/mm] w [mm] \in [/mm] V [mm] \otimes [/mm] W$ gilt dann: $(f [mm] \otimes [/mm] g)(v [mm] \otimes [/mm] w) = f(v) [mm] \otimes [/mm] g(w) = [mm] (\alpha [/mm] v) [mm] \otimes (\beta [/mm] w) = [mm] \alpha \beta [/mm] (v [mm] \otimes [/mm] w)$
[mm] $\Rightarrow \alpha\beta$ [/mm] ist Eigenwert von $f [mm] \otimes [/mm] g$, denn $(v [mm] \otimes [/mm] w)$ ist nicht der Nullvektor und somit Eigenvektor von $f [mm] \otimes [/mm] g$ zum Eigenwert [mm] $\alpha\beta$.
[/mm]
Stimmt das soweit? Bin leider sehr unsicher mit dem Tensorprodukt.
Wie kann ich nun zeigen, dass es außer den aus den Eigenwerten von f und g hergeleiteten, keine weiteren Eigenwerte geben kann?
Was ich noch nicht explizit gebraucht habe ist die Endlichdimensionalität der Vektorräume V und W (oder fließt das oben irgendwo ein?). D.h. ich kann Basen angeben und so auch in Anbhängigkeit dieser Basen eine Basis von $V [mm] \otimes [/mm] W$ konstruieren. Hilft mir das vielleicht weiter?
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Do 25.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien V,W zwei endlichdimensionale [mm]\IC[/mm]-Vektorräume und [mm]f \in End(v), g \in End(W)[/mm].
>
> Besimmen Sie die Eigenwerte von
> [mm]f \otimes g: V \otimes W \to V \otimes W, v \otimes w \mapsto f(v) \otimes g(w)[/mm]
>
> in Abhängigkeit derer von f und g.
>
> ich denke ich kann die Eigenwerte von [mm]f \otimes g[/mm] in
> Abhängigkeit derer von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] angeben, schaffe es aber
> nicht zu zeigen, dass es keine weiteren geben kann.
Das ist spontan gesagt auch das schwierigste daran 
> Meine Überelgungen, soweit wie ich gekommen bin:
>
> Seien [mm]\alpha, \beta \in \IC[/mm] Eigenwerte von f bzw. g.
> [mm]\Rightarrow \exists v \in V, w \in W: f(v) = \alpha v, g(w) = \beta w[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für [mm]v \otimes w \in V \otimes W[/mm] gilt dann: [mm](f \otimes g)(v \otimes w) = f(v) \otimes g(w) = (\alpha v) \otimes (\beta w) = \alpha \beta (v \otimes w)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \alpha\beta[/mm] ist Eigenwert von [mm]f \otimes g[/mm], denn
> [mm](v \otimes w)[/mm] ist nicht der Nullvektor und somit
> Eigenvektor von [mm]f \otimes g[/mm] zum Eigenwert [mm]\alpha\beta[/mm].
> Stimmt das soweit? Bin leider sehr unsicher mit dem
> Tensorprodukt.
Ja, das stimmt alles.
> Wie kann ich nun zeigen, dass es außer den aus den
> Eigenwerten von f und g hergeleiteten, keine weiteren
> Eigenwerte geben kann?
> Was ich noch nicht explizit gebraucht habe ist die
> Endlichdimensionalität der Vektorräume V und W (oder
> fließt das oben irgendwo ein?).
Die Endlichdimensionalitaet ist wichtig.
> D.h. ich kann Basen
> angeben und so auch in Anbhängigkeit dieser Basen eine
> Basis von [mm]V \otimes W[/mm] konstruieren. Hilft mir das
> vielleicht weiter?
Ja, damit kann man es recht schnell sehen.
Und zwar kannst du ueber [mm] $\IC$ [/mm] ja ![[]](/images/popup.gif) trigonalisieren.
Also waehl Basen $v = [mm] (v_1, \dots, v_n)$ [/mm] von $V$ und $w = [mm] (w_1, \dots, w_m)$ [/mm] von $W$ so, dass $f$ bzgl $v$ durch eine obere Dreiecksmatrix und $g$ bzgl $w$ durch eine obere Dreiecksmatrix repraesentiert wird.
Die Eigenwerte von $f$ und $g$ stehen dann auf der Diagonalen.
Wenn du jetzt die Basis [mm] $v_i \otimes w_j$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$, $1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] m$ von $V [mm] \otimes [/mm] W$ anschaust, ist die Matrix von $f [mm] \otimes [/mm] g$ gegeben durch das Kroneckerprodukt der Matrizen von $f$ und $g$.
Und das Kroneckerprodukt von zwei oberen Dreiecksmatrizen ist wieder eine obere Dreiecksmatrix, und auf der Diagonalen stehen genau [mm] $\lambda_i \cdot \mu_j$, [/mm] falls [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ [/mm] die Diagonalelemente der Matrix von $f$ und [mm] $\mu_1, \dots, \mu_m$ [/mm] die Diagonalelemente der Matrix von $g$ sind.
Wenn du das genau ausformulierst, hast du somit alles auf einmal gezeigt 
LG Felix
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