Tensorprodukte Kategorientheo < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Man kann die multilinearen Abbildungen aus einer gegebenen Menge von Moduln [mm] E_1,...,E_n [/mm] als Objekte einer Kategorie betrachten. Falls [mm] f:E_1\times...\times E_n \to [/mm] F, [mm] g:E_1\times...\times E_n \to [/mm] G multilinear sind, definieren wir einen Morphismus [mm] f\to [/mm] g als Homomorphismus h: F [mm] \to [/mm] G sodass [mm] h\circ [/mm] f=g. |
Laut Kategorieaxiomen sollen die Morphismen von A nach B und die Morphismen von A' nach B' gleich sein falls A=A' und B=B' oder disjunkt sonst. Aber wenn ich einen Morphismus h: [mm] A\to [/mm] B habe dann finde ich doch sicher zwei verschiedene f, g und f', g' sodass [mm] h\circ [/mm] f=g und [mm] h\circ [/mm] f'=g'?
Oder unterscheiden wir die h in diesem Fall (-> h, h'), auch wenn sie effektiv die gleiche Abbildung bezeichnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:40 Sa 27.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Annika,
leider bin ich kein Experte in Kategorientheorie. Daher lasse ich deine Frage als nur teilweise beantwortet markiert. Vielleicht findet sich ja noch jemand, der sich besser auskennt.
1. Ich denke, dein Einwand ist völlig berechtigt!
2. Der Teil der Definition einer Kategorie, dass die Morphismenmengen paarweise disjunkt sein sollen, erscheint mir eigentlich überflüssig. Ich wüsste zumindest keinen Zweck, für den man das benötigt. (Die Experten in Kategorientheorie mögen mich eines besseren belehren!)
3. Jede "Kategorie" [mm] $\mathcal{C}$, [/mm] in der die Morphismenmengen nicht notwendig paarweise disjunkt sind, lässt sich leicht durch eine leicht abgeänderte Kategorie [mm] $\mathcal{C}'$ [/mm] ersetzen, in der die Morphismenmengen sehr wohl paarweise disjunkt sind:
Man nehme als Objekte von [mm] $\mathcal{C}'$ [/mm] die Objekte von [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] und als [mm] $\mathcal{C}'$-Morphismen [/mm] von $A$ nach $B$ genau die Tripel der Form $(A,B,f)$ mit $f$ ein [mm] $\mathcal{C}$-Morphismus [/mm] von $A$ nach $B$. Offensichtlich sind die [mm] $\mathcal{C}'$-Morphismen [/mm] paarweise disjunkt. Die Verkettung von [mm] $\mathcal{C}'$-Morphismen [/mm] $(B,C,g)$ und $(A,B,f)$ sei natürlich [mm] $(A,C,g\circ [/mm] f)$, wobei mit [mm] $g\circ [/mm] f$ die Verkettung in [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] gemeint ist.
So kann man insbesondere die "Kategorie" der multilinearen Abbildungen von [mm] $E_1,\ldots,E_n$ [/mm] zu einer "richtigen Kategorie" machen.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 29.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
