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Hallo,
Angeblich ist der Grundzustand des Bors [mm] 2^2P_{\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Warum ist [mm] J=\bruch{1}{2}? [/mm] Meiner Meinung nach könnte es doch auch [mm] \bruch{3}{2} [/mm] sein oder?
Also: Für alle anderen Elektronen außer dem äußeren (mit l=1) ist l=0, also ist der Betrag des Gesamtdrehimpuls L=1. Sehe ich das richtig, dass, da [mm] m_l [/mm] nicht bekannt ist (weil für alle [mm] m_l [/mm] die energie gleich ist) die Richtung von L (in fett meine ich Vektoren) auch unbekannt ist? Jetzt ist J=L+S. S meint den Gesamtspinvektor, dessen Quantenzahl S=1/2 sein müsste, da die ersten 4 Elektronen ihren Spin gegenseitig aufheben (außerdem ist die multiplizität ja auch als [mm] 2=2*\bruch{1}{2}+1 [/mm] angegeben). Auch die Richtung von S dürfte unbekannt sein, da hier doch wieder Entartung gilt, oder? Aber wie will ich denn jetzt J rausfinden (J ist die Zahl für die gilt [mm] [b]|J|[/b]]=\wurzel{J*(J+1)}*h_{quer}), [/mm] wenn ich noch nicht mal weiß, wie die beiden Vektoren L und S zueineander stehen? Ich meine: Sie könnten doch auch parallen stehen (zB in z-Richtung, wobei z die Quantisierungsachse ist). Dann wäre doch [mm] [b]|J|=|L|+|S|[/b]=(\wurzel{L(L+1)}+\wurzel{S(S+1)})*h_{quer}=h_{quer}*(\wurzel{2}+\wurzel{\bruch{3}{4}})...
[/mm]
naja wie finde ich denn da jetzt J raus? Und warum soll da angeblich 1/2 rauskommen? 1/2 kann da doch eigentlich garnicht rauskommen. Im Buch wird das immer nur für ganz leichte Fälle gemacht mit L=0 oder S=0.
Wäre sehr dankbar für ne kleine Stellungnahme.
edit: tut mir leid, das fettschreiben geht irgendwie nicht immer??
edit(nach den beiden mitteilungen):
Also ich habe das Problem jetzt geklärt, denke ich:
Wikipedia sagt: J=L+S,L+S-1,...,|L-S|, (bei L-S-Kopplung)
das heißt: J=3/2 oder J=1/2
wegen der Mitteilungen ist J=1/2
im übrigen sind mitteilungen jetzt hinfällig
Die Frage, die sich mir jetzt eröffnet:
Warum ist das jetzt so einfach?
Wie kann man sehen, dass das aus der Definition für J [mm] ([b]|J|[/b]=\wurzel{J*(J+1)}) [/mm] folgt?
Und ich würde mich freuen, wenn man kurze meinen Gedanken bestätigen oder auf Fehler hinweisen könnte...(ausgenommen die zweite mitteilung)
lg,
benevonmattheis
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Hallo nochmal,
ich Fortschritt gemacht:
So wie ich das jetzt verstanden habe kann J bei gegebenen L und S k=min{2L+1,2J+1} verschiedene Werte annehmen (wegen den k Feinstrukturkomponenten). Ok.
Im Beispiel des Bors wäre k=2S+1=2 (2L+1=3). Weil ichs im Grundzustand haben will muss das kleinere J genommen werden, dann ist die Energie am geringsten.
Wann wird J am geringsten? Wenn |J| am geringsten wird, also wenn L und S entgegengesetzt gerichtet sind. Soweit ok?
Also wird [mm] [b]|J|=|L|-|S|[/b]=h_{quer}(\wurzel{L(L+1)}-\wurzel{S(S+1)})=h_{quer}*(\wurzel{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2})...
[/mm]
kann man da jetzt feststellen, dass J=1/2 sein muss?
lg,
benevonmattheis
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Hallo noooochmal,
ich glaub ich hab jetzt irgendwie was verstanden^^
L und S kann man garnicht so genau als "parallel" ansehen, außer deren x- und y-Komponente sind konstant null. Sonst sind die ja mehr zufallsgrößen mit Erwartungswert 0, so dass der Vektor auf so nem kreis rotiert...nicht rotiert aber einstellmöglichkeiten auf dem kreis hat. Stimmts soweit?
Also so wie ich das jetzt abgeleitet hab, das steht nirgendwo explizit so, gilt jetzt folgendes: Wenn für ich nur k=2 Feinstrukturkomponenten hab (also S=1/2, L>0) dann kann J nur L-1/2 oder L+1/2... Im Grundzustand müsste für Bor dann J=L-1/2=1-1/2=1/2 sein....
Wenn das stimmt, was passiert dann bei drei Einstellmöglichkeiten?
lg,
benevonmattheis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 So 15.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Angeblich ist der Grundzustand des Bors
> [mm]2^2P_{\bruch{1}{2}}.[/mm]
> Warum ist [mm]J=\bruch{1}{2}?[/mm] Meiner Meinung nach könnte es
> doch auch [mm]\bruch{3}{2}[/mm] sein oder?
> Also: Für alle anderen Elektronen außer dem äußeren (mit
> l=1) ist l=0, also ist der Betrag des Gesamtdrehimpuls L=1.
> Sehe ich das richtig, dass, da [mm]m_l[/mm] nicht bekannt ist (weil
> für alle [mm]m_l[/mm] die energie gleich ist) die Richtung von L (in
> fett meine ich Vektoren) auch unbekannt ist? Jetzt ist
> J=L+S. S meint den Gesamtspinvektor, dessen Quantenzahl
> S=1/2 sein müsste, da die ersten 4 Elektronen ihren Spin
> gegenseitig aufheben (außerdem ist die multiplizität ja
> auch als [mm]2=2*\bruch{1}{2}+1[/mm] angegeben). Auch die Richtung
> von S dürfte unbekannt sein, da hier doch wieder Entartung
> gilt, oder? Aber wie will ich denn jetzt J rausfinden (J
> ist die Zahl für die gilt [mm][b]|J|[/b]]=\wurzel{J*(J+1)}*h_{quer}),[/mm]
> wenn ich noch nicht mal weiß, wie die beiden Vektoren L und
> S zueineander stehen? Ich meine: Sie könnten doch auch
> parallen stehen (zB in z-Richtung, wobei z die
> Quantisierungsachse ist). Dann wäre doch
> [mm][b]|J|=|L|+|S|[/b]=(\wurzel{L(L+1)}+\wurzel{S(S+1)})*h_{quer}=h_{quer}*(\wurzel{2}+\wurzel{\bruch{3}{4}})...[/mm]
> naja wie finde ich denn da jetzt J raus? Und warum soll da
> angeblich 1/2 rauskommen? 1/2 kann da doch eigentlich
> garnicht rauskommen. Im Buch wird das immer nur für ganz
> leichte Fälle gemacht mit L=0 oder S=0.
> Wäre sehr dankbar für ne kleine Stellungnahme.
>
>
> edit: tut mir leid, das fettschreiben geht irgendwie nicht
> immer??
Mit [b]...[/b] geht es nur im Text, in Formeln musst du \mathbf{J} schreiben.
>
>
> edit(nach den beiden mitteilungen):
> Also ich habe das Problem jetzt geklärt, denke ich:
> Wikipedia sagt: J=L+S,L+S-1,...,|L-S|, (bei L-S-Kopplung)
> das heißt: J=3/2 oder J=1/2
> wegen der Mitteilungen ist J=1/2
> im übrigen sind mitteilungen jetzt hinfällig
> Die Frage, die sich mir jetzt eröffnet:
> Warum ist das jetzt so einfach?
> Wie kann man sehen, dass das aus der Definition für J
> [mm]([b]|J|[/b]=\wurzel{J*(J+1)})[/mm] folgt?
Dazu musst du dir die anschauen, was die einzelnen Komponenten des Drehimpulsoperators, angewandt auf die Eigenfunktionen ergeben. ![[]](/images/popup.gif) Hier findest du eine sehr knappe Darstellung; jedes gute QM-Buch behandelt das Thema ausführlich.
> Und ich würde mich freuen, wenn man kurze meinen Gedanken
> bestätigen oder auf Fehler hinweisen könnte...(ausgenommen
> die zweite mitteilung)
Mir fällt es schwer zu verfolgen, was du als falsch erkannt hast. Ganz kurz: die möglichen Werte des Gesamtdrehimpulses J sind bei LS-Kopplung L+S,L+S-1,...,|L-S|, also in diesem Fall 3/2 oder 1/2. Die einzige Frage ist also, welcher der beiden Drehimpulswerte zum Zustand kleinerer Energie gehört.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
sorry, das war wirklich ziemlich unübersishtlich^^
aber danke, das reicht mir eigentlich für den moment schon.
lg,
benevonmattheis
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