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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Di 07.02.2012 | | Autor: | Ronjaaa |
| Aufgabe | Der Mittelstürmer Lothar des FCL behauptet, dass er einen Elfmeter mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 75% verwandelt.
a) Der Trainer des FCL akzeptiert diese Behauptung, wenn Lothar von 30 Elfmetern mindestens 24 verwandelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Trefferquote irrtümlich für höher als 75% gehalten?
b) Die Nullhypothese H0:p [mm] \le [/mm] 0,75 soll auf einem Signifikanzniveau von 5% bei einem Stichprobenumfang von 30 Elfmetern getestet werden. Finden Sie eine Entscheidungsregel. |
Hallo,
und zwar komme ich mit dieser Aufgabe nicht wirklich zurecht. Ich hätte nun folgendes gemeint:
a) [mm] P_{0,75}_ [/mm] (Z>23) ~ 15,96%
allerdings denke ich, dass dieser Rechenweg wohl nicht stimmen wird, da ich mir nicht sicher bin, ob es richtig ist, mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% zu rechnen.
b) P (Z [mm] \le [/mm] 0,75) < 0,05
1-P(Z>0,75) < 0,05
P (Z > 0,75) > 0,95
--> Z >26
Könnte vielleicht jemand kurz drüberschauen, ob meine Ergebnisse stimmen und mir gegebenfalls helfen, wie man diese Aufgabe löst?
Vielen Dank im Voraus,
LG Ronjaaa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Di 07.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Kurze Nachfrage:
Hast Du bei (b) einen t-Test gemacht?
Und wenn nicht: Woher weißt Du die Varianz?
Bist Du von normalverteilten Stichproben ausgegangen?
Edit: Ich stelle diese Fragen, weil ich selbst gerade das Thema "Testen von Hypothesen" lerne und die Aufgabe auch versuche zu lösen. Ich frage mich
1.) Wie Du auf (a) kommst bzw., was Du da gemacht hast.
2.) Wie Du auf die Daten bei (b) kommst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Di 07.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich würde meinen, daß man hier den Fehler 1. Art berechnen soll, der ja maximal das Signifikanzniveau ist. Man muss also das Signifikanzniveau bestimmen.
Also der Ablehnbereich ist
[mm] $\left\{24,25,26,27,28,29,30\right\}$
[/mm]
Wenn der Spieler mindestens 24 Treffer haben muss, muss er also 80 Prozent oder mehr der 30 Schüsse versenken.
Kann man daraus jetzt igendwie auf das Signifikanzniveau schließen, das der Trainer benutzt?...
[Sind nur meine Ideen...]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Di 07.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Gesucht ist doch diese Wahrscheinlichkeit:
[mm] $P(\text{Nullhypothese abgelehnt}|\mu\leq [/mm] 0,75)$
Der Trainer lehnt die Nullhypothese ab, wenn
mehr als 23 Treffer (von 30) erzielt werden.
Also ist obige Wahrscheinlichkeit nach meiner Idee schlicht und einfach
[mm] $1-P(X\leq [/mm] 23)=0,2333$
Das Signifikanzniveau ist also ziemlich hoch!
Deswegen wohl Aufgabe b), wo man lieber mit 5 % rechnen soll.
Das wäre mein Vorschlag.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Di 07.02.2012 | | Autor: | Ronjaaa |
Ich war mir nicht sicher, welche Nullhypothese bzw. Alternative man da nehmen soll. Ich hab mir dann gedacht, die Nullhypothese wäre, dass die Wahrscheinlichkeit unter 75% liegen müsste und die Alternativhypthese wäre dann, dass die Wahrscheinlichkeit über 75% liegen müsste.
Und bei a) dachte ich, es müsste heißen, dass er zwar nicht mit einer Wahrscheinlichkeit von über 75% jeden Elfmeter verwandelt, aber in dem Fall er trotzdem mind. 24 verwandelt. Deshalb hab ich P(Z>23) gemacht. Allerdings wusste ich dann nicht, welche Wahrscheinlichkeit ich nehmen muss, also hab ich einfach mal nur 75% genommen, da sie ja nicht über 75% liegen darf. Aber wie gesagt, ich bezweifel sehr, dass mein Ansatz richtig ist.
Und zu b) Was ist denn ein t-Test? Hab den Begriff noch nie gehört. Ich hatte nur gedacht, dass man da eben ein Z finden muss, bei dem die Fehlerwahrscheinlichkeit unter 5% liegen muss und deshalb dachte ich, ginge das so. Aber wahrscheinlich auch falsch ;)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Di 07.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Wenn die Stichproben unabhängig und identisch normalverteilt sind, und man die Varianz kennt, nimmt man den Gauß-Test.
Unter den gleichen Voraussetzungen, aber Varianz unbekannt, nimmt man den t-Test, da liegt dann die t-Studentsche Verteilung zu Grunde.
Allerdings merke ich gerade, daß hier die Stichprobe relativ groß ist, i.d.R. sagt man ab 30 kann man wegen des Zentralen Grenzwertsatzes ruhig davon ausgehen, daß normalverteilte Stichproben vorliegen, also müsste man hier (da die Varianz nirgends angegeben ist) wohl den t-Test nehmen. Damit ist m.E. die Frage, welche Verteilung den Zufallsvariablen zu Grunde liegt, eigentlich egal. Man kann von Normalverteilung ausgehen.
Allerdings weiß ich nicht, wo man die Daten jetzt hernehmen soll, um die Varianz zu schätzen, was man hier müsste...
Am besten wir warten, bis jemand Kompetenteres helfen kann. 
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Bei (a) ist das für mein Verständnis die Frage, wie groß der Fehler 1. Art ist.
Aber auch da weiß ich gerade nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie man auf das Signifikanzniveau kommen kann.
Auch hier muss ich leider sagen: Hoffentlich schaltet sich ein Dritter ein und löst die Verwirrung auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Di 07.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Sorry, daß ich Dir deinen Thread so zubombe. Deswegen schreibe ich auch nur Mitteilungen.
Ich hab nochmal nachgedacht.
Die 30 Schüsse sind bernouilliveteilt, dann ist die Summe binomialverteilt zu $B(30,0.5)$. Du kannst den Binomialtest anwenden! Exakt oder approximativ.
Bei (a) komme ich auf eine W. von 0.0007.
Bei (b) komme ich damit darauf, daß bei mehr als 19 Treffern die Nullhypothese abzulehnen ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Ronjaa,
> Der Mittelstürmer Lothar des FCL behauptet, dass er einen
> Elfmeter mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 75%
> verwandelt.
> a) Der Trainer des FCL akzeptiert diese Behauptung, wenn
> Lothar von 30 Elfmetern mindestens 24 verwandelt. Mit
> welcher Wahrscheinlichkeit wird die Trefferquote
> irrtümlich für höher als 75% gehalten?
> b) Die Nullhypothese H0:p [mm]\le[/mm] 0,75 soll auf einem
> Signifikanzniveau von 5% bei einem Stichprobenumfang von 30
> Elfmetern getestet werden. Finden Sie eine
> Entscheidungsregel.
> Hallo,
>
> und zwar komme ich mit dieser Aufgabe nicht wirklich
> zurecht. Ich hätte nun folgendes gemeint:
>
> a) [mm]P_{0,75}_[/mm] (Z>23) ~ 15,96%
> allerdings denke ich, dass dieser Rechenweg wohl nicht
> stimmen wird, da ich mir nicht sicher bin, ob es richtig
> ist, mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% zu rechnen.
Hm, in der Aufgabe ist zunächst nicht eindeutig formuliert, was die Nullhypothese sein soll, aber schauen wir mal auf den Bereich, den der Trainer vorgibt. 24 oder mehr von 30 entsprechen mindestens 80% Trefferquote. Der Trainer ist also nicht grade leicht, von der Behauptung
(mehr als 75% Trefferquote) zu überzeugen. Man muß also erheblich mehr (signifikant mehr) bringen, um ihn von seinem Standpunkt, dass es weniger als 75% TQ sind loszulösen. Das ist auch in seinem Interesse, denn er möchte auf keinen Fall einen untauglichen Stürmer kaufen, der nichts bringt. Er wird also die Hypothese
[mm] H_0: p\le [/mm] 0,75 vertreten und nur davon abweichen, wenn der "deutliche" (signifikannte) Signale erkennt. Damit verringert er den Fehler 1. Art. Wie groß ist der im ungünstigsten Fall?
Sei X: Anzahl der Treffer, bei 30 Elfmetern
[mm] P_{p=p_0}(X\ge [/mm] 24) ist umso grösser, je näher [mm] p_0 [/mm] an 0,75 liegt. Also rechnet man auch mit p=0,75, deine Intuition war also richtig. X ist, wie Dennis ja schon gesagt hat, binomialverteilt mit n=30 , aber p=0,75 nicht 0,5. Ich erhalte aber [mm] P_{p=0,75}(X\ge 24)=1-P_{p=0,75}(X\le [/mm] 23)=1-0,652=0,348. Da hast du falsch abgelesen oder evtl. nicht die kumulierte Tabelle genommen. Der Fehler 1.Art ist also schon noch recht groß.
> b) P (Z [mm]\le[/mm] 0,75) < 0,05
> 1-P(Z>0,75) < 0,05
> P (Z > 0,75) > 0,95
> --> Z >26
Ich hätte es anders aufgeschrieben und komme auf [mm] \{26,\ldots,30\} [/mm] als Ablehnungsbereich, nicht auf 27, wie du. Hast du mit der Normalverteilung approximiert? Das wird hier zu ungenau, weil n*p*(1-p)>9 nicht erfüllt ist. Evtl. liegt daran auch oben der Fehler.
>
> Könnte vielleicht jemand kurz drüberschauen, ob meine
> Ergebnisse stimmen und mir gegebenfalls helfen, wie man
> diese Aufgabe löst?
>
> Vielen Dank im Voraus,
> LG Ronjaaa
LG walde
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