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| Aufgabe | Aufgabe 9.3
Durch die Punkte A(1, 4, 5), B(−3,−2, 1), C(2, 0,−4) und D(−1, 0, 8) ist ein Tetraeder
gegeben. Berechnen Sie die Oberfl¨ache F, das Volumen V und die H¨ohe h des Tetraeders
¨uber der Tetraederseite ABC. |
Es geht um die oben geschriebene Aufgabe. An sich eigentlich nicht schwer.
Habe erstmal die Ebene E(ABC) bestimmt mit
-19x+20y-11z+5=0 als HNF
um den Abstand zu Punkt P zu berechnen (bei mir ca. 1,99 LE).
Nun wollte ich die Tetraeder-Grundseite berechnen um dann mit der Höhe das Volumen auszurechnen, nur bin ich bei bei Seitenlängen auf 3 unterschiedlich gekommen > sprich unregelmäßiger Tetraeder.
Wie kann ich von so einem Tetraeder das Volumen (und dann auch die Oberfläche) berechnen?
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Habe erstmal die Ebene E(ABC) bestimmt mit
> -19x+20y-11z+5=0 als HNF
prüfe das nochmals nach, ich bekomme einen anderen Normalenvektor.
Dein Weg, die Höhe zu ermitteln, passt aber. Alles weitere hängt jetzt davon ab, ob dir das Kreuzprodukt bekannt ist oder nicht. Kennst du es, so bekommst du Dreiecksflächen mit
[mm]A_{Dreieck}=\bruch{1}{2}*|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|[/mm]
wobei a, b Seitenvektoren des Dreiecks sind. Und Tetraedervolumen bestimmt man mit dem sog. Spatprodukt:
[mm]V_{Tetraeder}=\bruch{1}{6}*|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{c}|[/mm]
mit a, b, c: drei Kantenvektoren, die das Tetraeder aufspannen.
Kennst du das Kreuzprodukt jedoch nicht, so helfen dir die entsprechenden Formeln aus der Elementargeometrie. Die dreieckige Grundfläche musst du dann bestimmen, indem du zunächst eine Seitenlänge und dann die zugehörige Seitenhöhe als Abstand Punkt-Gerade berechnest. D.h., du musst noch die Gleichung derjenigen Geraden auftsellen, auf der die betreffende Dreieckseite liegt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Kristian91 |
Okay, dann muss ich nochmal schauen mit der Ebenenform
Kreuzprodukt/Spatprodukt an sich ist mir bekannt, war halt nur etwas verwundert, dass die Grundseiten nicht gleich lang waren.
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