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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Di 08.11.2005 | | Autor: | Langer |
Guten Abend!
Folgende Aufgabe hab ich zu Lösen, jedoch keinen Lösungsansatz =(!
Gegeben ist ein Tetraeder mit den Punkten
A(1/1/0)
B(1/-1/2)
C(-1/-1/0)
D(-1/1/2)
Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Ebene S, welche die [mm] x_{3}-Achse [/mm] und die Punkte A und C des Tetraeders enthält, eine Symmetrie-Ebene des Tetraeders ist.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Vielen Dank schon mal!
Habe diese Frage auch in keinem anderen Forum gestellt!
MfG Langer
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Hi, Langer,
> Guten Abend!
Dir auch schönen Abend!
> Gegeben ist ein Tetraeder mit den Punkten
> A(1/1/0)
> B(1/-1/2)
> C(-1/-1/0)
> D(-1/1/2)
>
> Aufgabe:
> Zeigen Sie, dass die Ebene S, welche die [mm]x_{3}-Achse[/mm] und
> die Punkte A und C des Tetraeders enthält, eine
> Symmetrie-Ebene des Tetraeders ist.
Also:
(1) Zuerst erstellst Du mal eine Gleichung der Ebene S, und zwar am besten in Normalenform (Koordinatenform).
Zunächst kannst Du aber die Parameterform erstellen: Dazu benutzt Du die Tatsache, dass die [mm] x_{3}-Achse [/mm] drinliegt und folglich der Nullpunkt als Aufpunkt verwendet werden kann sowie [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] als erster Richtungsvektor.
Der zweite Richtungsvektor ist z.B. [mm] \overrightarrow{AC}.
[/mm]
(Mögliches Ergebnis: S: [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 0)
(2) Nun musst Du nur noch zeigen, dass die Punkte B und D bezüglich dieser Ebene S symmetrisch zueinander liegen.
Dies kannst Du z.B. dadurch beweisen, dass Du zeigst, dass der Vektor [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] auf der Ebene S senkrecht steht (also parallel zum Normalenvektor von S) und dass der Mittelpunkt der Strecke [BD] in S drinliegt. (Es gibt natürlich auch andere Möglichkeiten, dies zu zeigen!)
Schaffst Du das alleine?
Sonst frag' noch mal nach!
mfG!
Zwerglein
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