Tetraeder < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 20.04.2008 | | Autor: | gnom |
Satz: Vier positive reelle Zahlen f0, f1, f2, f3 treten genau dann als Flächen der Seitendreiecke eines Tetraeders auf, wenn gilt
2 max [mm]{f_i} < \summe_{i=0}^{3} f_i [/mm]
Könnte mir bitte jemand folgenden Beweis erklären ich verstehe ihn einfach nicht.
Beweis:
[mm] F_i [/mm] = [mm] \bruch{f_i}{h_i}(H_i [/mm] - [mm] A_i)
[/mm]
Diese erste Zeile kapier ich überhaupt nicht.(?)
[mm] a_i= A_i H_i
[/mm]
Warum wähle ich [mm] a_i= A_i H_i?
[/mm]
Die nächsten drei Zeilen sind mir auch völlig unklar.
[mm] F_0 A_j= \bruch {f_0}{h_i}(H_0-A_0)A_j= f_0h_0=3V
[/mm]
[mm] F_i A_j [/mm] = [mm] \bruch{f_i}{h_i}(H_i [/mm] - [mm] A_i)A_j=0 [/mm]
[mm] i\ne [/mm] j
[mm] F_i A_i [/mm] = [mm] \bruch{f_i}{h_i}(H_i A_i [/mm] - [mm] A_i^2)=-3V
[/mm]
Warum kann man hieraus diese Folgerungen schließen?
Daraus folgt dann [mm] (F_0+ F_1+ F_2 +F_3)A_j= [/mm] 3V-3V=0
Daraus wiederum soll folgen [mm] F_0+ F_1+ F_2 +F_3=0
[/mm]
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hallo
es wäre nett, wenn du die benützten Bezeichnungen (gross bzw. klein geschrieben) erklären würdest.
Al-Ch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 20.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Satz: Vier positive reelle Zahlen f0, f1, f2, f3 treten
> genau dann als Flächen der Seitendreiecke eines Tetraeders
> auf, wenn gilt
>
> 2 max [mm]{f_i} < \summe_{i=0}^{3} f_i [/mm]
>
> Könnte mir bitte jemand folgenden Beweis erklären ich
> verstehe ihn einfach nicht.
Stelle dir doch einfach mal das Netz eines Tetraeders vor:
Du hast eine dreieckige Grundfläche, und an jeder der drei Seiten dieser Grundfläche baumelt ein weiteres Dreieck. Wenn du diese drei Dreiecke "hochklappst", müssen sie sich an der Spitze berühren. Das klappt aber nicht, wenn diese drei Dreiecke so mickrig sind, dass sich ihre Spitzen gar nicht berühren können. Es gibt einen Grenzfall: die drei Dreiecke sind gerade so gross, dass sie das Grunddreieck gerade so zudecken (das "Tetrader" hat die Höhe Null). Für ein echtes Tetraeder muss die Summe von den drei kleineren Flächen also größer sein als die größte Fläche.
Wenn also [mm] A_0 [/mm] die größte der 4 Flächen ist, muss [mm] A_0
Addiert man beide Seiten mit [mm] A_0, [/mm] so erhält man [mm] 2*A_0
Viele Grüße
Abakus
> Beweis:
> [mm]F_i[/mm] = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i[/mm] - [mm]A_i)[/mm]
> Diese erste Zeile kapier ich überhaupt nicht.(?)
>
> [mm]a_i= A_i H_i[/mm]
> Warum wähle ich [mm]a_i= A_i H_i?[/mm]
> Die nächsten
> drei Zeilen sind mir auch völlig unklar.
> [mm]F_0 A_j= \bruch {f_0}{h_i}(H_0-A_0)A_j= f_0h_0=3V[/mm]
> [mm]F_i A_j[/mm]
> = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i[/mm] - [mm]A_i)A_j=0[/mm]
> [mm]i\ne[/mm] j
> [mm]F_i A_i[/mm] = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i A_i[/mm] - [mm]A_i^2)=-3V[/mm]
>
>
> Warum kann man hieraus diese Folgerungen schließen?
> Daraus folgt dann [mm](F_0+ F_1+ F_2 +F_3)A_j=[/mm] 3V-3V=0
> Daraus wiederum soll folgen [mm]F_0+ F_1+ F_2 +F_3=0[/mm]
>
>
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Das "genau dann wenn" erfordert natürlich noch die umgekehrte Beweisrichtung:
falls [mm] f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4} [/mm] (die Seitenflächeninhalte) der bzw. den Ungleichung(en) genügen, dann kann wirklich ein entsprechendes Tetraeder konstruiert werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 20.04.2008 | | Autor: | gnom |
Vielen Dank, die Bedingung:
> > 2 max [mm]{f_i} < \summe_{i=0}^{3} f_i[/mm]
habe ich jetzt kapiert.
Aber der Beweis ist mir immer noch unklar.
[mm][mm] f_i [/mm] Fläche des der Ecke [mm] A_i [/mm] gegenüberliegenden Seitendreiecks
[mm] A_i [/mm] sind die Ecken
[mm] H_i [/mm] ist der Höhenfußpunkt
Vielleicht kann mir jemand sagen war [mm] F_i [/mm] sein soll?
> > Beweis:
> > [mm]F_i[/mm] = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i[/mm] - [mm]A_i)[/mm]
> > Diese erste Zeile kapier ich überhaupt nicht.(?)
> >
> > [mm]a_i= A_i H_i[/mm]
> > Warum wähle ich [mm]a_i= A_i H_i?[/mm]
> > Die
> nächsten
> > drei Zeilen sind mir auch völlig unklar.
> > [mm]F_0 A_j= \bruch {f_0}{h_i}(H_0-A_0)A_j= f_0h_0=3V[/mm]
> >
> [mm]F_i A_j[/mm]
> > = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i[/mm] - [mm]A_i)A_j=0[/mm]
> > [mm]i\ne[/mm] j
> > [mm]F_i A_i[/mm] = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i A_i[/mm] - [mm]A_i^2)=-3V[/mm]
> >
> >
> > Warum kann man hieraus diese Folgerungen schließen?
> > Daraus folgt dann [mm](F_0+ F_1+ F_2 +F_3)A_j=[/mm] 3V-3V=0
> > Daraus wiederum soll folgen [mm]F_0+ F_1+ F_2 +F_3=0[/mm]
> >
> >
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 20.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank, die Bedingung:
> > > 2 max [mm]{f_i} < \summe_{i=0}^{3} f_i[/mm]
> habe ich jetzt
> kapiert.
> Aber der Beweis ist mir immer noch unklar.
> [mm][mm]f_i[/mm] Fläche des der Ecke [mm]A_i[/mm] gegenüberliegenden Seitendreiecks
> [mm]A_i[/mm] sind die Ecken
> [mm]H_i[/mm] ist der Höhenfußpunkt
Welche? Höhe einer Dreiecksfläche oder Körperhöhe?
> Vielleicht kann mir jemand sagen war [mm]F_i[/mm] sein soll?
Keine Ahnung. Vielleicht das Maximum aller [mm] f_i [/mm] ?
> > Beweis:
> > [mm]F_i[/mm] = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i[/mm] - [mm]A_i)[/mm]
Und was soll die Differenz von zwei Punkten? Wenn es die Differenz von den Ortsvektoren der Punkte sein sollte, könnte man diese Differenz ja noch als Vektor (und dessen Betrag als Länge) interpretieren. Tut mir leid. ich habe genauso viele Fragen wie du selbst.
> > Diese erste Zeile kapier ich überhaupt nicht.(?)
> >
> > [mm]a_i= A_i H_i[/mm]
> > Warum wähle ich [mm]a_i= A_i H_i?[/mm]
> > Die
> nächsten
> > drei Zeilen sind mir auch völlig unklar.
> > [mm]F_0 A_j= \bruch {f_0}{h_i}(H_0-A_0)A_j= f_0h_0=3V[/mm]
Das muss mit der Volumenformel für Tetraeder zusammenhängen: [mm] V=\bruch{1}{3}A_G*h [/mm] und damit [mm] 3V=A_G*h
[/mm]
> >
> [mm]F_i A_j[/mm]
> > = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i[/mm] - [mm]A_i)A_j=0[/mm]
> > [mm]i\ne[/mm] j
> > [mm]F_i A_i[/mm] = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i A_i[/mm] - [mm]A_i^2)=-3V[/mm]
> >
> >
> > Warum kann man hieraus diese Folgerungen schließen?
> > Daraus folgt dann [mm](F_0+ F_1+ F_2 +F_3)A_j=[/mm] 3V-3V=0
> > Daraus wiederum soll folgen [mm]F_0+ F_1+ F_2 +F_3=0[/mm]
> >
> >
>
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Hallo abakus und gnom,
ich hab auch ziemliche Schwierigkeiten, den Beweis einigermassen nachzuvollziehen. Eigentlich ist er zu knapp und mit nicht sehr geeigneter Schreibweise notiert. Trotzdem glaube ich nun, ein paar Sachen begriffen zu haben.
> > [mm]f_i[/mm] Fläche des der Ecke [mm]A_i[/mm] gegenüberliegenden Seitendreiecks
> [mm]A_i[/mm] sind die Ecken
> [mm]H_i[/mm] ist der Höhenfußpunkt
Welche? Höhe einer Dreiecksfläche oder Körperhöhe?
[mm]H_i[/mm] muss wohl der Höhenfußpunkt der Körperhöhe sein. Dann ist nämlich $ [mm] a_i= A_i H_i [/mm] $
---> ich würde lieber schreiben $ [mm] \vec a_i= \vec{ A_i H_i} [/mm] = [mm] \vec H_i [/mm] - [mm] \vec A_i$ [/mm] (Vektor, Ortsvektoren!)
> Vielleicht kann mir jemand sagen war [mm]F_i[/mm] sein soll?
Keine Ahnung. Vielleicht das Maximum aller [mm]f_i[/mm] ?
Nein. [mm]F_i[/mm] , ich schreibe lieber [mm]\vec F_i[/mm] , soll offenbar ein zum Körperhöhenvektor paralleler Vektor sein, der aber betragsmässig mit dem Flächeninhalt [mm]f_i[/mm] übereinstimmt.
Ich interpretiere dies mit einer physikalischen Idee, dann kommt es auch dimensionsmässig in Ordnung. Ich stelle mir vor, das Tetraeder sei mit einem Gas unter Druck gefüllt. Dieses drückt mit gleichem Druck [mm]p[/mm] auf alle 4 Seitenwände. Die resultierende Druckkraft auf die Fläche Nr. i ist nun genau so ein Kraftvektor in Richtung normal zur Wand (nach aussen gerichtet) und mit dem Betrag |[mm]\vec F_i[/mm]| = [mm]f_i * p[/mm] , wobei [mm]p[/mm] der Druck ist. Für unsere Zwecke setzen wir einfach [mm]p=1[/mm] .
> > Beweis:
> > [mm]F_i[/mm] = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i[/mm] - [mm]A_i)[/mm]
dies sollte nun klar werden, natürlich sind dies auch Vektoren
Und was soll die Differenz von zwei Punkten? Wenn es die Differenz von den Ortsvektoren der Punkte sein sollte, könnte man diese Differenz ja noch als Vektor (und dessen Betrag als Länge) interpretieren.
Genau !
> > Diese erste Zeile kapier ich überhaupt nicht.(?)
> > [mm]a_i= A_i H_i[/mm]
> > Warum wähle ich [mm]a_i= A_i H_i?[/mm]
Sollte nach obigem auch klar werden: [mm]\vec a_i = \vec{A_i H_i}[/mm] ist ein Körperhöhenvektor
> > Die nächsten drei Zeilen sind mir auch völlig unklar.
> > [mm]F_0 A_j= \bruch {f_0}{h_i}(H_0-A_0)A_j= f_0h_0=3V[/mm]
Da komme ich nun aber auch nicht mehr mit.
$ [mm] F_0 A_j [/mm] $, was soll das nun sein?? [mm] F_0 [/mm] ist ein Vektor, [mm] A_j [/mm] ein Eckpunkt (ev. Ortsvektor), aber das Produkt? ein Skalarprodukt oder Vektorprodukt... ich weiss nicht.
Glücklicherweise hilft mir aber jetzt die physikalische Interpretation weiter: Der mit Gas gefüllte Behälter bleibt trotz Kräfteeinfluss an Ort und Stelle (ausser wenn er explodiert). Die Kräftesumme ist [mm]\vec 0[/mm] !
Damit wird nun sofort klar, dass [mm]\vec F_0+ \vec F_1+ \vec F_2 +\vec F_3= \vec 0[/mm] !
Die folgenden Rechnungen habe ich gar nicht mehr durchgesehen.
Schönen Gruß ! al-Chwarizmi
Das muss mit der Volumenformel für Tetraeder zusammenhängen: [mm]V=\bruch{1}{3}A_G*h[/mm] und damit [mm]3V=A_G*h[/mm]
> >
> [mm]F_i A_j[/mm]
> > = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i[/mm] - [mm]A_i)A_j=0[/mm]
> > [mm]i\ne[/mm] j
> > [mm]F_i A_i[/mm] = [mm]\bruch{f_i}{h_i}(H_i A_i[/mm] - [mm]A_i^2)=-3V[/mm]
> >
> > Warum kann man hieraus diese Folgerungen schließen?
> > Daraus folgt dann [mm](F_0+ F_1+ F_2 +F_3)A_j=[/mm] 3V-3V=0
> > Daraus wiederum soll folgen [mm]F_0+ F_1+ F_2 +F_3=0[/mm]
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Nur noch ein kleiner Tipp, wie man einem geometrischen Beweis (ohne die physikalische Analogie) näher kommen könnte:
Die Vektoren [mm]\vec F_i [/mm], welche senkrecht auf den Dreiecksflächen stehen sollen und deren Beträge der jeweiligen Dreiecksfläche entsprechen, kann man mittels Vektorprodukten hinschreiben.
Der Vektor [mm]\vec F_1 [/mm] beispielsweise, der auf dem Dreieck [mm] A_0 A_2 A_3 [/mm]
senkrecht stehen soll, ist
[mm]\vec F_1 [/mm] = [mm]\bruch{1}{2}( \vec{A_0 A_2}\times \vec{A_0 A_3}) [/mm]
So müsste es möglich sein, mit etwas Algebra der Vektorprodukte durchzukommen.
Al-Ch.
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Hallo gnom / abakus,
nach all dem Aufwand, einen vorliegenden (angeblichen) "Beweis" überhaupt zu verstehen, frage ich mich doch, ob alles nicht viel einfacher gehen sollte, nämlich so wie abakus zuerst vorgeschlagen hat.
Bei jedem Tetraeder ist die grösste Seitenfläche kleiner als die anderen drei zusammen, also ist die "Tetraederungleichung" (analog zur "Dreiecksungleichung" max{a,b,c} < a+b+c) erfüllt.
Nun muss man sich nur noch klar machen dass, falls für 4 positive Zahlen f0,f1,f2,f3 diese Ungleichung gilt, wirklich ein entsprechendes Tetraeder existiert. Da würde ich wieder anschaulich und z.B. mit einer Stetigkeitsüberlegung argumentieren: Legen wir zuerst die grösste Seitenfläche, sagen wir z.B. das Dreieck [mm] A_1 A_2 A_3 [/mm] als Grundfläche auf den Boden. Diese hat den Inhalt [mm] f_0. [/mm] Dann bewegen wir einen Punkt [mm] A_0 [/mm] darüber im Raum auf oder ab, hin und her und betrachten die entstehenden Tetraeder und ihre Seitenflächen. Wenn [mm] A_0 [/mm] auf dem Boden und innerhalb des Grunddreiecks liegt, so ist die Gesamtoberfläche gerade gleich 2 [mm] max_i f_i. [/mm] Wenn ich dagegen die Spitze [mm] A_0 [/mm] sehr hoch anhebe, so kann ich die Oberfläche beliebig gross werden lassen.
Nun kann ich den Punkt [mm] A_0 [/mm] z.B. derart bewegen, dass der Flächeninhalt [mm] f_1 [/mm] des Dreiecks stets seinen vorgeschriebenen Wert behält: der Punkt ist jetzt in einer gewissen Fläche (die ich nicht unbedingt im einzelnen untersuchen muss !) gebunden. Dann wird der nächste Flächeninhalt [mm] f_2 [/mm] ebenfalls fixiert und die Bewegungsfreiheit der Pyramidenspitze wird auf eine Raumkurve eingeschränkt. Wenn die Spitze (d.h. der Punkt [mm] A_0) [/mm] dieser Kurve entlang gleitet, so behalten [mm] f_0, f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] ihre konstanten vorgegebenen Werte, nur [mm] f_3 [/mm] verändert sich noch, und zwar stetig. Dann kann ich sie also wohl genau dahin schieben, wo dann der gewünschte Flächeninhalt [mm] f_3 [/mm] resultiert.
Also: nix komplizierte Formeln, keinerlei Rechnung; nur ein paar anschauliche Stetigkeitsüberlegungen...
Übrigens gnom: woher kam der so kryptische "Beweis" eigentlich ?
Und in welchem fachlichen Zusammenhang wurde die Frage eigentlich gestellt ?
Viele Grüße
al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Mo 21.04.2008 | | Autor: | gnom |
Vielen Dank, für eure Hilfe.
Mein Bruder belegt in der Schule einen Mathe-Plus-Kurs.
Hier beschäftigen sich Schüler mit mathematischen Problemen. Das war eine Aufgabenstellung davon. Ich konnte ihm nicht helfen, da ich selbst keinen Durchblick hatte. Aber jetzt verstehe ich es viel besser dank euch.
Grüße gnom
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