Textaufgabe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mo 30.03.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Das Produkt P von drei ganzen Zahlen ist sechsmal so groß wie die Summe dieser Zahlen. Finden Sie alle Werte, die P annehmen kann. |
Hallo Zusammen,
also a,b,c [mm] \in \IZ, [/mm] aus der Vorgabe erhalte ich zwei Gleichungen:
1: a [mm] \cdot{} [/mm] b [mm] \cdot{} [/mm] c = P
2: 6(a+b+c) = P
Wenn ich nun noch P einsetze erhalte ich:
6(a+b+c) = a [mm] \cdot{} [/mm] b [mm] \cdot{} [/mm] c
[mm] \bruch{a \cdot{} b \cdot{} c}{a+b+c} [/mm] = 6
Es fällt mir aber nichts mehr sinnvolles ein, ich habe doch 3 Unbekannte a, b und c, jedoch nur zwei Gleichungen, also unterbestimmt. Ich habe auch probiert einfach für b einen Zahlenwert einzusetzen, bringt mich aber nicht weiter.
Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar,
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mo 30.03.2009 | | Autor: | chrisno |
Es gibt ja offensichtlich mehrere Lösungen. Ich denke, dass hier erst einmal Probieren angesagt ist. Fang also an, Werte für a, b und c einzusetzen.
a = 1, b = 1, c = 1 passt nicht.
Da ist 6 mal 3 größer als 1
....
a = 6, b = 6, c = 6
Dann hast Du 6 mal 18 = 108 und das ist kleiner als 216.
Dazwischen wird also etwas zu finden sein.
Dann kommen noch die negativen Zahlen und die Null dazu.
Nun kann man versuchen, etwas bessere Ideen ins Spiel zu bringen. Das Produkt von a, b und c muss in seiner Primfaktorzerlegung 2 und 3 enthalten, also müssen die 2 und 3 als Primfaktoren mindestens einmal in a, b und c vorkommen.
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Hallo itse,
alles andere als eine leichte Aufgabe, zumal im Rahmen der Mittelstufenmathematik.
chrisnos Hinweise sollten Dir eigentlich ein bisschen weiterhelfen, aber vielleicht nützt Dir auch ein wenig Anschauungsmaterial.
Die Variablen sind ja untereinander gleichberechtigt und austauschbar, so dass jede der folgenden Lösungen nur die eindeutig (betragsweise aufsteigend) angeordnete Notation von "eigentlich" je drei oder sechs verschiedenen Lösungen ist, je nachdem, welcher Zahl welche Variable zugeordnet wird.
Hier also einige Lösungen für a,b,c:
1,3,-8
2,2,-12
2,4,18
2,6,8
3,3,12
3,4,7
...
Viel Erfolg!
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Sa 04.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten, jedoch bin ich noch nicht so recht vorangekommen.
Ich habe mir eine Tabelle aufgestellt und die möglichen Lösungen betrachtet und die Ergebnisse enthalten immer als Primfaktorzerlegung die 2 und 3, somit müssen diese auch im Produkt aus a,b und c vorkommen. Wenn ich nun zum Beispiel 2, 6 und 18, habe ich als Primfaktoren 2 und 3 im Produkt enthalten. Ich erhalte einmal 216 und dann 156, somit keine Lösung des Systems.
Welchen Zusammenhang gibt es denn noch?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Sa 04.04.2009 | | Autor: | chrisno |
Hallo itse,
wenn Du auf der Suche nach der "fehlenden Gleichung" bist, dann wirst Du meiner Einschätzung nach nicht weiter kommen.
Es handelt sich um eine Fragestellung in ganzen Zahlen, die Disziplin dafür ist die Zahlentheorie. Die typischen Gleichungen, mit denen Du beginnst, berücksichtigen nicht, dass nur ganze Zahlen als Lösung gesucht sind. Noch eine Anmerkung zu den Gleichungen: Du hast es schon hingeschieben, es ist nur eine einzige.
Diese Aufgabe ist, im Gegensatz zu dem, was hier meistens anliegt, eine richtige mathematische Fragestellung. Da ich nur mal in die Anfangsgünde der Zahlentheorie geschaut habe und das lange her ist, weiss ich nicht, ob es da eine fertige Lösung gibt.
Nun versuche ich ohne Zahlentheorie das Problem einzukreisen.
1.) gibt es überhaupt eine Lösung? ... ja .. siehe oben
2.) gibt es endlich viele oder unendlich viele Lösungen?
Da geht es schon los. Das Denken überlasse ich nun Dir und anderen. Meine Idee ist, Zahlentripel zu suchen, ab denen sichergestellt ist, dass das Produkt immer größer (kleiner) als die sechsfache Summe ist. Da sind die negativen Zahlen lästig. (Nebenbei: wenn alle drei negativ sind, hat man den gleichen Fall, wie den, wenn alle drei positiv sind. Ähnliches gilt für eine / zwei negative Zahlen.)
3.) Je nachdem, wie 2. ausgegangen ist, geht die Untersuchung weiter.
3a) Wenn es endlich viele Tripel sind, würde ich ein Programm schreiben, dass sie mir sucht. Das ist natürlich nicht die Art eines echten Mathematikers.
3b) Wenn es unendlich viele sind, ist die Frage, ob es eine Formel gibt, die alle produziert. Dazu würde ich erst mal etliche Tripel suchen und dann sehen, ob ich einen Zusammenhang finde.
Wenn ich die Zeit dafür übrig hätte, wäre das ein netter Zeitvertreib.
Wenn Du eine gute Lösung brauchst, dann frage einen Zahlentheoretiker. So jemanden findest Du eher im Forum Hochschulmathematik. In Klasse 8-10 finde ich diese Aufgabe nicht richtig eingeordnet. Es kann natürlich sein, dass ich etwas ganz einfaches übersehen habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 So 05.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Das Produkt P von drei ganzen Zahlen ist sechsmal so groß wie die Summe dieser Zahlen. Finden Sie alle Werte, die P annehmen kann. |
Hallo Zusammen,
ich hatte diese Frage schon in diesem Forenstrang: 532315 gestellt.
Nun frage ich in der Hoffnung, ob es dafür eine exakte mathematische Lösung gibt.
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 So 05.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Das Produkt P von drei ganzen Zahlen ist sechsmal so groß
> wie die Summe dieser Zahlen. Finden Sie alle Werte, die P
> annehmen kann.
> Hallo Zusammen,
>
> ich hatte diese Frage schon in diesem Forenstrang:
> 532315 gestellt.
>
> Nun frage ich in der Hoffnung, ob es dafür eine exakte
> mathematische Lösung gibt.
>
Hallo, allein für a=0 gibt es unendlich viele Lösungen (alle Tripel (0;b;-b)).
Für a=1 gilt bc=6*(1+b+c) und damit
b(c-6)=6(c+1)
[mm] b=\bruch{6c+6}{c-6}=\bruch{6c+-36+42}{c-6}=6+\bruch{42}{c-6}
[/mm]
Ganzzahlige Lösungen für b ergeben sich in allen Fällen, in denen c-6 ein (positiver oder negativer) Teiler von 42 ist.
Gruß Abakus
Hallo, musste vorhin weg und konnte den Gedanken nicht weiterführen.
Jetzt ein neuer Versuch.
Es gilt abc=6(a+b+c)
Umstellen nach a liefert
[mm] a=\bruch{6(b+c)}{bc-6}
[/mm]
Beidseitige Multiplikation mit bc liefert links das gesuchte Produkt P=abc, also
[mm] P=abc=\bruch{6bc(b+c)}{bc-6}=\bruch{6(bc-6+6)(b+c)}{bc-6}=\bruch{6(bc-6)(b+c)+36(b+c)}{bc-6}=6(b+c)+\bruch{36(b+c)}{bc-6}
[/mm]
Nun musst du alle Paare (b,c) finden, für die der Bruch [mm] \bruch{36(b+c)}{bc-6} [/mm] eine ganze Zahl ergibt.
Gruß Abakus
> Gruß
> itse
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Fr 10.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Das Produkt P von drei natürlichen Zahlen ist sechsmal so groß wie die Summe dieser Zahlen. Und eine der drei Zahlen ist die Summe der anderen beiden. Finden Sie alle Werte, die P annehmen kann. |
Hallo Zuammen,
geänderte Spielbedingungen, nun ist es auf die Menge der natürlichen Zahlen begrenzt und eine der drei Zahlen ist die Summe der anderen beiden. Somit ergibt sich:
1: a [mm] \cdot{} [/mm] b [mm] \cdot{} [/mm] c = P
2: 6(a+b+c) = P
nun sei a = b+c:
(b+c) [mm] \cdot{} [/mm] b [mm] \cdot{} [/mm] c = P
6((b+c)+b+c) = P -> 12(b+c) = P
nun war gefordert, dass a = b+c ist, also folgt daraus: P = 12a, dies nun in 1 eingesetzt ergibt:
a [mm] \cdot{} [/mm] b [mm] \cdot{} [/mm] c = 12 a -> bc = 12
Somit muss das Produkt aus b und c den Wert 12 ergeben, folgende Zahlen erfüllen die Bedingung: (1,12), (3,4), (2,6)
wenn ich dies nun jeweils in die Gleichungen einsetzte erhalte ich:
(1+12) [mm] \cdot{} [/mm] 1 [mm] \cdot{} [/mm] 12 = 156
12(12+1) = 156
(3+4) [mm] \cdot{} [/mm] 3 [mm] \cdot{} [/mm] 4 = 84
12(3+4) = 84
(2+6) [mm] \cdot{} [/mm] 2 [mm] \cdot{} [/mm] 6 = 96
12(2+6) = 96
Somit kann P folgende Werte annehmen: 156, 84 und 96. Würde diese Lösung stimmen? Sind dies alle Werte die P annehmen kann? Ich habe bis jetzt keine anderen Werte gefunden.
Vielen Dank
itse
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> Und eine der drei Zahlen ist die Summe der anderen beiden.
>
> Somit kann P folgende Werte annehmen: 156, 84 und 96.
Das haut aber nicht hin !!!
Ich habe raus: 1, 12, 13
Und zwar nicht durch "Probieren". Es gibt einen schönen Rechenweg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Fr 10.04.2009 | | Autor: | abakus |
> > Und eine der drei Zahlen ist die Summe der anderen beiden.
> >
> > Somit kann P folgende Werte annehmen: 156, 84 und 96.
>
> Das haut aber nicht hin !!!
>
>
> Ich habe raus: 1, 12, 13
Gesucht waren die möglichen Produkte. Eine Eigenschaft dieser Produkte war, dass sie sechsmal so groß waren wie ...
Damit scheidet ein Produkt 1 bzw. 13 wohl aus.
Gruß Abakus
> Und zwar nicht durch "Probieren". Es gibt einen schönen
> Rechenweg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Fr 10.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Damit scheidet ein Produkt 1 bzw. 13 wohl aus.
Verstehe ich nicht.
1 * 12 * 13 = 6 * ( 1 + 12 + 13 )
Weitere Lösungen sind :
2 * 6 * 8 = 6 * ( 2 + 6 + 8 )
3 * 4 * 7 = 6 * ( 3 + 4 + 7 )
Außer Konkurrenz kommt auch die 5 vor:
5 * 2.4 * 7.4 = 6 * ( 5 + 2.4 + 7.4)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Fr 10.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Damit scheidet ein Produkt 1 bzw. 13 wohl aus.
>
> Verstehe ich nicht.
>
> 1 * 12 * 13 = 6 * ( 1 + 12 + 13 )
Ich glaub ihr habt aneinander vorbei geredet: du (rabilein) meintest $(a, b, c) = (1, 12, 13)$, und abakus dachte du meintest dass $P$ die Werte 1, 12, 13 annehmen kann.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Fr 10.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich glaub ihr habt aneinander vorbei geredet: du (rabilein)
> meintest [mm](a, b, c) = (1, 12, 13)[/mm], und abakus dachte du
> meintest dass [mm]P[/mm] die Werte 1, 12, 13 annehmen kann.
Ja. Stimmt.
Dann ist der gesamte Thread seit "Geänderte Spielbedingungen" überflüssig. (Eigentlich war auch die Frage überflüssig)
Weil: Da stand ja bereits die Antwort drin.
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Hallo itse,
das ist alles richtig.
Wenn Du Deine Gedanken mal systematisch ordnest, wirst Du feststellen, dass Du bereits alles Material zusammen hast, um zu zeigen, dass es nur diese positiven Lösungen für P gibt. Sind negative Lösungen nach wie vor erlaubt? Dann ist der Weg auch nicht mehr weit...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Sa 11.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Hallo itse,
>
> das ist alles richtig.
>
> Wenn Du Deine Gedanken mal systematisch ordnest, wirst Du
> feststellen, dass Du bereits alles Material zusammen hast,
> um zu zeigen, dass es nur diese positiven Lösungen für P
> gibt. Sind negative Lösungen nach wie vor erlaubt? Dann ist
> der Weg auch nicht mehr weit...
>
> Grüße
> reverend
Ich habe doch schon gezeigt, dass es nur diese positiven Lösungen gibt, oder? Fehlt noch da noch etwas?
Wenn negative Lösungen erlaubt sind, ergibt sich doch für die Werte (-1,-12,-13), (-2,-6,-8) und (-3,-4,-7)
Gruß
itse
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Hallo itse,
genau: das sind dann alle.
Du hast es nur noch nicht sauber aufgeschrieben.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Fr 10.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Das Produkt P von drei ganzen Zahlen ist sechsmal so groß
> wie die Summe dieser Zahlen. Finden Sie alle Werte, die P
> annehmen kann.
Nennen wir die drei Zahlen $a, b, c$. Da die Reihenfolge egal ist koennen wir $a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] c$ fordern, um das ganze etwas eindeutiger zu machen.
Die Wahl $P = 0$ ist offensichtlich moeglich, indem man $b = 0$ waehlt und $a = -c$, $c [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig. (Und das sind alle Moeglichkeiten.)
Interessant ist also der Fall $P [mm] \neq [/mm] 0$. Der Fall $P < 0$ laesst sich auf den Fall $P > 0$ zurueckfuehren, indem man alle Vorzeichen von $a, b, c$ aendert (und $a$ mit $c$ vertauscht, wegen der Ordnung oben). Also beschraenken wir uns auf $P > 0$.
Da $P = a b c > 0$ ist muss genau 1 oder 3 der Zahlen $> 0$ sein. Insbesondere ist $c > 0$ und $a b > 0$.
Jetzt haben wir $6 = [mm] \frac{a b c}{a + b + c}$ [/mm] und $a + b + c [mm] \le [/mm] 3 c$, womit $6 [mm] \ge \frac{a b c}{3 c} [/mm] = [mm] \frac{a b}{3}$ [/mm] ist, also $18 [mm] \ge [/mm] a b$.
Damit gibt es endlich viele Moeglichkeiten, die man fuer $a, b$ durchprobieren kann, und fuer jedes kann man $6 = [mm] \frac{a b c}{a + b + c}$ [/mm] eindeutig nach $c$ aufloesen und $a, b$ einsetzen; wenn das resultierende $c$ eine positive ganze Zahl ist, hat man ein Paar $(a, b, c)$ gefunden und kann das zugehoerige $P$ bestimmen.
LG Felix
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