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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Sa 24.11.2012 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | Nach dem 1.Oktober 2002 nahm die Anzahl der im Internetlexikon Wikipedia erschinenen englischen Artikel näherungsweise gemäß der Funktion f mit
f(x)=80 [mm] 000*e^{0,002*x} [/mm] (x in Tagen)zu.
a)Wie viele Artikel gab es annähernd am 1.Januar 2003 bzw.am 1.Januar 2004?
b) Wann gäbe es eine Million Artikel,wann eine Milliarde,wenn dieses Wachstum so anhält?
c)In welcher Zeitspann verdoppelt sich die Anzahl der erschienenen Artikel?
Zeigen Sie,dass diese Verdoppelungszeit immer gleich ist. |
Hallo :)
a)1.Januar 2003:
[mm] f(90)=80000e^{0,002*90}=95777 [/mm] Artikel
1.Januar 2004:
365+90=455
[mm] f(455)=80000e^{0,002*455}=198746 [/mm] Artikel
b) [mm] 1000000=80000*e^{0,002*x} [/mm] /80000
[mm] 12,5=e^{0,002*x} [/mm] /ln
ln(12,5)=0,002x /0,002
x= 1263
1263 Tage sind ungefähr 3,5 Jahre
[mm] 1000000000=80000*e^{0,002*x} [/mm] / 80000
[mm] 12500=e^{0,002*x} [/mm] / ln
ln(12500)=0,002x / 0,002
4716,7=x
4716,7 Tage sind ungefähr 13 Jahre
c) [mm] f(0)=80000e^{0,002*0}=80 [/mm] 000 Artikel
[mm] 160000=80000e^{0,002*x} [/mm] / 80 000
[mm] 2=e^{0,002*x} [/mm] /ln
ln(2)=0,002x /0,002
x=347 Tage
ich verstehe nicht,wie man zeigen soll,dass die verdoppelungszeit immer gleich ist ?
DAnke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Sa 24.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Soweit ist alles richtig, obwohl ich dem Oktober und Dezember 31 Tage gegeben hätte. Das ist etwas Geschmackssache.
Fast hast Du es schon hingeschrieben.
Schreibe: $f(x) = N(0) [mm] \cdot e^{0,002 x}$
[/mm]
N(0) anzugeben, wird Dir nicht schwerfallen. Später wirst Du sehen, das Du es für diesen Aufgabenteil gar nicht zu wissen brauchst.
Damit hast Du die Anzahl für einen beliebigen Zeitpunkt.
Der dazu gehörende Zeitpunkt für die Verdoppelung soll [mm] $x_d$ [/mm] heißen.
Dann gilt [mm] $f(x_d) [/mm] = 2 f(x)$.
Nun rechne los.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 25.11.2012 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
Irgendwie verstehe ich den Ansatz nicht:Dann gilt $ [mm] f(x_d) [/mm] = 2 f(x) $. ?
[mm] 80000e^{0,002xd}=2(80000e^{0,002x})
[/mm]
[mm] 80000e^{0,002xd}=160000e^{0,002x} [/mm] /80000
[mm] e^{0,002xd}=2e^{0,002x} [/mm] - [mm] e^{0,002xd}
[/mm]
0 [mm] =2e^{0,002x}- e^{0,002xd}
[/mm]
Wie kann man die Gleichung weiterauflösen?
Danke !!
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Hallo luna19,
> Hallo :)
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> Irgendwie verstehe ich den Ansatz nicht:Dann gilt [mm]f(x_d) = 2 f(x) [/mm].
> ?
>
Gesucht ist doch die Zeitspanne, in der sich die Anzahl der Artikel verdoppelt.
Ist x die Zeit zu dem f(x) Artikel und [mm]x_{d}[/mm] diejenige Zeit zu dem
doppelt soviele Artikel [mm]f\left(x_{d}\right)[/mm] vorhanden sind. Dann
lautet die zu betrachtenden Gleichung:
[mm]f\left(x_{d}\right)=2*f\left(x\right)[/mm]
> [mm]80000e^{0,002xd}=2(80000e^{0,002x})[/mm]
>
> [mm]80000e^{0,002xd}=160000e^{0,002x}[/mm] /80000
>
> [mm]e^{0,002xd}=2e^{0,002x}[/mm] - [mm]e^{0,002xd}[/mm]
>
> 0 [mm]=2e^{0,002x}- e^{0,002xd}[/mm]
>
> Wie kann man die Gleichung weiterauflösen?
>
Addiere [mm]e^{0,002x_{d}}[/mm] und logarithmiere dann.
Bringe dann diese Gleichung auf die Form [mm]a*\left(x_{d}-x\right) =b[/mm].
> Danke !!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 25.11.2012 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
Wenn man [mm] e^{0,002xd} [/mm] zu [mm] 0=2e^{0,002x}-2e^{0,002xd} [/mm] addiert,fällt
[mm] e^{0,002xd} [/mm] nicht weg?
Dann hätte ich doch nur [mm] 0=2e^{0,002x} [/mm] stehen?
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Hallo luna19,
> Hallo :)
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> Wenn man [mm]e^{0,002xd}[/mm] zu [mm]0=2e^{0,002x}-2e^{0,002xd}[/mm]
> addiert,fällt
>
Die Gleichung lautete doch:
[mm]0=2e^{0,002x}-e^{0,002xd}[/mm]
Natürlich musst Du dann [mm]e^{0,002xd}[/mm] auf beiden Seiten addieren.
> [mm]e^{0,002xd}[/mm] nicht weg?
>
> Dann hätte ich doch nur [mm]0=2e^{0,002x}[/mm] stehen?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 25.11.2012 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
Ich weiß nicht wie ich die Gleichung auflösen soll:
[mm] e^{0,002xd} [/mm] = [mm] 2e^{0,002x}-e^{0,002xd}+e^{0,002xd}
[/mm]
[mm] e^{0,002xd} [/mm] = [mm] 2e^{0,002x} [/mm] ?
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Hallo luna 19,
> Hallo :)
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> Ich weiß nicht wie ich die Gleichung auflösen soll:
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> [mm]e^{0,002xd}[/mm] = [mm]2e^{0,002x}-e^{0,002xd}+e^{0,002xd}[/mm]
>
> [mm]e^{0,002xd}[/mm] = [mm]2e^{0,002x}[/mm] ?
Richtig, und jetzt auf beide Seiten
den natürlichen Logarithmus (ln) anwenden.
Gruss
MathePower
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