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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 27.11.2012 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | Bei einem gesunden Menschen beträgt die normale Körperfunktion
ca.36,5 °C.Der Verlauf der Fieberkurve einer erkrankten Person kann modellhaft durch die Funktion [mm] f(t)=36,5+t*e^{0,1t} [/mm] dargestellt werden.
Dabei ist t [mm] \hat=0 [/mm] die Zeit in Stunden nach Krankheitsbeginn und f(t) Körpertemperatur in °C.
a)Wie hoch steigt die Körpertemperatur maximal an und wann wird dieses
Maximum erreicht?
b)Zu welchen beiden Zeitpunkten nimmt die Körpertemperatur am stärksten zu bzw.ab?
c)Wann sinkt die Körpertemperatur unter 37 °C?
d)Zeigen sie ,dass die Körpertemperatur zehn Stunden nach Krankheitsbeginn ständig abnimmt. |
Hallo :)
Ich komme irgendwie zu keinem logischen Ergebnis:
[mm] f(t)=36,5+t*e^{0,1t} [/mm]
[mm] f'(t)=0,1te^{0,1t} +e^{0,1t} [/mm]
[mm] =e^{0,1t}*(0,1t+1)
[/mm]
[mm] f''(t)=e^{0,1t}*(0,01t+0,2)
[/mm]
a) Maximum
notwendige Bed.
f'(t)=0
[mm] e^{0,1t}*(0,1t+1)=0
[/mm]
[mm] e^{0,1t}\not=0,da [/mm] e-Funktion
0,1t+1=0
0,1t =-1
t =-10
P(-10/33) ?
b)Wendepunkt
notwend.Bed:
f''(t)=0
[mm] e^{0,1t}*(0,01t+0,2)=0
[/mm]
[mm] e^{0,1t}\not=0,da [/mm] e-Funktion
0,01t+0,2=0
0,01t =-0,2
t = -20
[mm] c)36,5+t*e^{0,1t} [/mm] =37 -36,5
[mm] t*e^{0,1t}=0,5 [/mm] ln(0,5)
[mm] t^{2}*0,1 [/mm] =-0,7 /0,1
[mm] t^{2}=-7 [/mm] ?
d)Da habe ich leider keine Idee
Danke !! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Di 27.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Bei einem gesunden Menschen beträgt die normale
> Körperfunktion
> ca.36,5 °C.Der Verlauf der Fieberkurve einer erkrankten
> Person kann modellhaft durch die Funktion
> [mm]f(t)=36,5+t*e^{0,1t}[/mm] dargestellt werden.
> Dabei ist t [mm]\hat=0[/mm] die Zeit in Stunden nach
> Krankheitsbeginn und f(t) Körpertemperatur in °C.
>
> a)Wie hoch steigt die Körpertemperatur maximal an und wann
> wird dieses
> Maximum erreicht?
> b)Zu welchen beiden Zeitpunkten nimmt die
> Körpertemperatur am stärksten zu bzw.ab?
> c)Wann sinkt die Körpertemperatur unter 37 °C?
> d)Zeigen sie ,dass die Körpertemperatur zehn Stunden nach
> Krankheitsbeginn ständig abnimmt.
>
> Hallo :)
>
> Ich komme irgendwie zu keinem logischen Ergebnis:
>
> [mm]f(t)=36,5+t*e^{0,1t}[/mm]
Bist du sicher? Die Temperatur würde unendlich steigen...
Im Exponenten der e-Funktion fehlt sicher ein "-".
Gruß Abakus
>
> [mm]f'(t)=0,1te^{0,1t} +e^{0,1t}[/mm]
>
> [mm]=e^{0,1t}*(0,1t+1)[/mm]
>
> [mm]f''(t)=e^{0,1t}*(0,01t+0,2)[/mm]
>
>
> a) Maximum
>
> notwendige Bed.
>
> f'(t)=0
>
> [mm]e^{0,1t}*(0,1t+1)=0[/mm]
>
> [mm]e^{0,1t}\not=0,da[/mm] e-Funktion
>
> 0,1t+1=0
>
> 0,1t =-1
>
> t =-10
>
> P(-10/33) ?
>
> b)Wendepunkt
>
> notwend.Bed:
>
> f''(t)=0
>
> [mm]e^{0,1t}*(0,01t+0,2)=0[/mm]
>
> [mm]e^{0,1t}\not=0,da[/mm] e-Funktion
>
> 0,01t+0,2=0
>
> 0,01t =-0,2
>
> t = -20
>
> [mm]c)36,5+t*e^{0,1t}[/mm] =37 -36,5
>
> [mm]t*e^{0,1t}=0,5[/mm] ln(0,5)
>
> [mm]t^{2}*0,1[/mm] =-0,7 /0,1
>
> [mm]t^{2}=-7[/mm] ?
>
> d)Da habe ich leider keine Idee
>
> Danke !! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Di 27.11.2012 | | Autor: | luna19 |
Ja,auf dem Blatt steht eindeutig [mm] 36,5+t*e^{0,1t} [/mm] ?
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Hallo, eindeutig ein Schreibfehler, berechne die gesamte Aufgabe mit [mm] f(t)=36,5+t\cdot{}e^{-0,1t}, [/mm] dann bekommst du sinnvolle Ergebnisse, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mi 28.11.2012 | | Autor: | luna19 |
a) [mm] f'(t)=e^{-0,1t}\cdot{}(0,1t-1)
[/mm]
notwendige Bed.
f'(t)=0
[mm] e^{-0,1t}\cdot{}(0,1t^{2}-1)=0 [/mm]
[mm] e^{-0,1t}\not=0,da [/mm] e-Funktion
[mm] 0,1t^{2}-1=0 [/mm]
0,1 [mm] t^{2} [/mm] =1 /10,1
t [mm] =\pm\\wurzel{10}
[/mm]
hinreich.Bed:
[mm] f''(t)=e^{-0,1t}\cdot{}(\bruch{1}{100}t^{3}-0,3t) [/mm]
f''(wurzel{10})=-0,5 HP
f''(-wurzel{10})=0,9 TP
f(wurzel{10})=38,8
3,12 Stunden nach Krankeitsbeginn wird das Maximum in Höhe von 38,8 °C erreicht.
b) f''(t)=0
[mm] e^{-0,1t}\cdot{}(\bruch{1}{100}t^{3}-0,3t) [/mm] =0
[mm] e^{-0,1t}\not=0,da [/mm] e-Funktion
[mm] \bruch{1}{100}t^{3}-0,3t=0
[/mm]
[mm] t(\bruch{1}{100}t^{2}-0,3)=0
[/mm]
t=0,
[mm] \bruch{1}{100}t^{2}-0,3=0 [/mm]
[mm] \bruch{1}{100}t^{2}=0,3
[/mm]
[mm] t^{2} [/mm] =30
[mm] t=\pm\wurzel{30}
[/mm]
[mm] t1:0,t2:\pm\wurzel{30}
[/mm]
hinreich.Bed:
[mm] f'''(t)=e^{-0,1t}*(\bruch{-1}{1000}t^{4}+\bruch{3}{100}t^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{100}t-0,3)
[/mm]
f'''(wurzel{30})=-0,07
f'''(wurzel-{30})=-0,8
[mm] c)f(t)=36,5+t*e^{-0,1t}
[/mm]
f(t)=0
[mm] 36,5+t*e^{-0,1t}=37
[/mm]
[mm] t*e^{-0,1t}=0,5
[/mm]
t*-0,1t =ln(0,5)
[mm] t^{2} =\bruch{ln(0,5)}{-0,1}
[/mm]
[mm] t:\pm\ [/mm] 2,7
d) ich habe leider keine idee
danke !!!!
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Hallo luna19,
> a) [mm]f'(t)=e^{-0,1t}\cdot{}(0,1t-1)[/mm]
>
> notwendige Bed.
>
> f'(t)=0
soweit alles richtig.
> [mm]e^{-0,1t}\cdot{}(0,1t^{[red]2[/red]}-1)=0[/mm]
>
Warum schreibst du die Ableitung auf einmal falsch hin? Oben steht sie doch richtig. Das Quadrat ist falsch.
Also muss gelten
[mm] e^{-0,1t}\cdot{}(0,1t [/mm] - 1)=0
Da die e-Funktion nicht 0 wird, muss (0,1t -1) = 0 sein.
Und diese Gleichung kannst du jetzt denk ich mal alleine lösen. Die Temperatur erhälst du durch Einsetzen der berechneten Zeit in f(t).
> b) f''(t)=0
>
Richtig. Da du für a) die falsche Ableitung benutzt hast, musst du halt einfach die richtige Ableitung von f'(t) bilden. Der Ansatz stimmt jedenfalls. :)
>
> [mm]c)f(t)=36,5+t*e^{-0,1t}[/mm]
>
> f(t)=0
>
> [mm]36,5+t*e^{-0,1t} [red]< [/red] 37[/mm]
>
> [mm]t*e^{-0,1t}[red]< [/red] 0,5[/mm]
>
> t*-0,1t =ln(0,5)
>
Leider falsch. Du versuchst hier den Logarithmus anzuwenden, aber lässt t außen vor. Es müsste richtig heißen:
ln(t [mm] \cdot{} e^{-0,1t}) [/mm] = ln(0,5)
ln(t) + [mm] ln(e^{-0,1t}) [/mm] = ln(0,5)
ln(t) - 0,1t = ln(0,5)
An dieser Stelle ist die Gleichung leider nicht mehr schulmathematisch zu lösen. Also mir fällt zumindest keine vernünftige Rechenoperation ein um die Gleichung zu lösen.
Man könnte jetzt beispielsweise ausprobieren oder Graphen zeichnen etc.
Dann kommt t>44 raus.
> d) ich habe leider keine idee
>
Das ist einfach nur die erweiterte Monotonie-Untersuchung von Aufgabe a). Du weiß ja, dass bei t=10 (siehe Aufgabe a)) ein Hochpunkt ist. Also ist f(t) bis t=10 streng monoton steigend und ab t=10 streng monoton fallend.
(--> Körpertemperatur sinkt.) Untersuche also einfach die Monotonie von f(t).
Viele Grüße
petapahn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 29.11.2012 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
[mm] f'(t)=e^{-0,1t}\cdot{}(-0,1t+1) [/mm] =0
[mm] e^{-0,1t}\cdot{}(-0,1t+1) [/mm] =0
[mm] e^{-0,1t}\not=0,da [/mm] e-Funktion
-0,1t+1 =0
t=10
f(10)=40,18 °C
b) [mm] f''(t)=e^{-0,1t}(0,01t-0,2)=0
[/mm]
[mm] e^{-0,1t}\not=0,da [/mm] e-Funktion
0,01t-0,2=0
t=20
f'(20)=-0,14 °C/h ?
wenn ich es richtig verstanden habe,sind Wendepunkte die Extrema der 1.Ableitung.Hier gibt die 1.Ableitung die momentane Änderungsrate der Temperatur an.Aber warum ist mein Ergebnis negativ ? und wie berechne ich den zweiten Wendepunkt?Muss man dafür die Ränder betrachten?
Danke !!!
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Hallo luna19,
> Hallo :)
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>
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> [mm]f'(t)=e^{-0,1t}\cdot{}(-0,1t+1)[/mm] =0
>
> [mm]e^{-0,1t}\cdot{}(-0,1t+1)[/mm] =0
>
> [mm]e^{-0,1t}\not=0,da[/mm] e-Funktion
>
> -0,1t+1 =0
>
> t=10
>
> f(10)=40,18 °C
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]f''(t)=e^{-0,1t}(0,01t-0,2)=0[/mm]
>
> [mm]e^{-0,1t}\not=0,da[/mm] e-Funktion
>
> 0,01t-0,2=0
>
> t=20
>
>
> f'(20)=-0,14 °C/h ?
>
> wenn ich es richtig verstanden habe,sind Wendepunkte die
> Extrema der 1.Ableitung.Hier gibt die 1.Ableitung die
> momentane Änderungsrate der Temperatur an.Aber warum ist
> mein Ergebnis negativ ? und wie berechne ich den zweiten
Die Temperatur nimmt zum Zeitpunkt t=20 am stärksten ab.
> Wendepunkt?Muss man dafür die Ränder betrachten?
>
Ja, betrachte die Ränder.
> Danke !!!
>
Gruss
MathePower
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Hallo, deine 1. ableitung ist falsch
[mm] f(t)=36,5+t*e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] t*e^{-0,1t} [/mm] Ableitung nach Produktregel
u=t
u'=1
[mm] v=e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] v'=-0,1e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] f'(t)=e^{-0,1t}-t*0,1e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] f'(t)=e^{-0,1t}(1-0,1t)
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mi 28.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Hallo Steffie21,
stimmt mein Fehler :) aber das Ergebnis wär ja gleich ;)
petapahn
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