Textaufgabe Diff.gleichung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Tank enthält 400 Liter Salzlösung, in der 100 kg Salz gelöst sind. Pro Minute fließen 12 Liter einer Salzlösung, die 0,125 kg Salz pro Liter enthält, in den Tank, und die Mischung, die unter ständigem Rühren gleichmäßig gehalten wird, fließt mit der gleichen Geschwindigkeit aus. Welche Salzmenge befindet sich nach 90 Minuten im Tank? Welcher Zustand stellt sich nach längerer Zeit ein? |
Also ich hab keine Ahnung wie ich das lösen soll. Ich habe leider nur magere Erkenntnisse:
- es sind konstant 400 Liter im Tank
- mein Parameter ist t für die Zeit, somit die Funktion y(t)=...
- y(0)=3/12 kg/Liter = 1/4 kg/Liter
- ich brauche y(90)
- konstante Geschwindigkeit muss irgendwas mit Ableitung sein y'(t)=const
- Da der Salzanteil der zukommenden Masse kleiner ist als der, der drin ist, wird wohl immer weniger Salz im Tank sein?
Ich hab halt nur keine Ahnung wie ich hier eine Differentialgleichung draus aufstellen soll. Wir haben das Thema auch erst angefangen...
Wäre total lieb, wenn mir jemand helfen könnte!
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mo 25.06.2007 | | Autor: | wauwau |
du überlegst die einfach folgendes
y(t) sei die Salzmenge nach t Minuten in kg
pro Liter fließen also [mm] \bruch{1}{8} [/mm] kg zu
also pro Minute das 12-fach an Salz
in einem Liter im Behälter sind daher [mm] \bruch{y}{400} [/mm] der gesamten Salzmenge
also fließt pro Minute das 12-fache aus.
es fließt also in [mm] \Delta [/mm] t Minuten [mm]\bruch{12y}{400}*\Delta t [/mm] der Salzmenge raus und [mm] 12*\bruch{\Delta t}{8} [/mm] zu
[mm]y(t+\Delta t)= y(t) - \bruch{12}{400}y(t)*\Delta t + 12*\bruch{\Delta t}{8}[/mm]
daraus
[mm]\bruch{y(t+\Delta t)- y(t)}{\Delta t}= - \bruch{3}{100}y(t) + \bruch{3}{8}[/mm]
für [mm] \Delta [/mm] t gegen 0 steht links nichts anderes als die Ableitung von y, damit hast du deine Differentialgleichung
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Erstmal vielen vielen Dank!
Wenn ich mir die Antwort anschaue, dann ist es gar nicht so schwer...
Aber in der letzten Zeile heißt es doch nicht 3/8, sondern nach wie vor 12/8, oder?
Gibt es eine Verallgemeinerung für solche Aufgaben? Habe nämlich in einer Woche Prüfung und weiß sicher, dass eine solche Textaufgabe dran kommt.
Hab auch im Internet schon nach noch mehr Übungen gesucht, finde aber keine... Wo könnte ich welche herbekommen?
Also nochmal: DANKESCHÖN!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Di 26.06.2007 | | Autor: | wauwau |
du hast recht 3/2 oder 12/8
Verallgemeinerung?
du musst dir immer überlegen wenn du einen Zustand zum Zeitpunkt t kennst (oder an der stelle x) wie ändert sich der Zustand, wenn eine kleine Zeitspanne vergangen ist bzw wenn man die Stelle ein wenig verläßt....
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