Textaufgabe Exponentialfunktio < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe:
8.1.Aus dem Kühlschrank wird eine Tüte Milch entnommen und bei der Umgebungstemperatur von Tu = 20°C stehen gelassen.Dabei nimmt die Temperatur kontinuierlich zu.Folgenede Tabelle beschreibt den Temperaturverlauf
Zeit t(in Minuten) 0 10 20 30 40 50 60
Temp.T (in °C) 6 11 14 16 18 18 19
Zeigen sie,dass der Temperaturunterschied durch f(t) =|T(t)-Tu|exponentiell abfällt und durch die Funktion f mit [mm] f(t)=a*e^{-m*t} [/mm] beschrieben werden kann und bestimmen sie m auf drei Nachkommastellen genau.
Rechnen sie ohne Einheiten!
Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Temp. 15°C beträgt. |
Hallo Ihr lieben sitze grade vor einer Textaufgabe komme aber irgendwie komme ich nicht weiter weil ich einfach beim Ansatz schon nicht weiterkomme.Dies stellt für mich das grösste Problem dar.Vielleicht hat jemand ein Tip für mich wie ich diese aufgabe angehen soll.Mache grad mein abi auf einem Abendgymnasium neben dem Job nach und da fällt es einem schwer überhaut einen Ansatz zu finden.
Ich danke euch schon im voraus.Lg Melanie.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Di 18.09.2007 | | Autor: | Auric |
Also ich würde die Gleichungen gleiche setzt und dann die Werte eintragen.
Für t= 0 bekommst du dann den Wert für a.
Für t = 10 kannst du dann m ausrechnen.
Um die Zeit zu bekommen, einfach die 15° einsetzten und t damti ausrechnen.
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Hi auric.
wie meinst du das bin irgendwie total blockiert.
Könntest du mir nochmal auf die sprünge helfen?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Di 18.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Melanie,
hast du die Daten mit der Funktion $f(t) =|T(t)-Tu|=|T(t)-20|$ schon
einmal gezeichnet? Ich schon. Und da sehe ich, dass im Intervall
[30,50] so ein seltsamer Knick ist. *Exakt* wirst du folglich die
Funktion $ [mm] f(t)=a\cdot{}e^{-m\cdot{}t} [/mm] $ nicht anpassen koennen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Behandelt ihr zufaelligerweise gerade die Methode der Kleinsten
Quadrate?
lg
Luis
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi Ihr beiden
danke erstmal für die antwort.
An Luis
Habe alle werte im koordinatensystem eingetragen.Du hast recht zwischen 30 und 50 ist ein knick.aber wie löse ich diese aufgabe jetzt?Wie bekomme ich denn m raus?ich kann mich nur noch dran erinnern das wir immer um m auszurechnen y2-y1 und x2-x1 gerechnet haben.
Dank dir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Di 18.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Melanie
>Wie bekomme ich denn m raus?
Die Frage ist hier: Wie bekomme ich die Exponentialfunktion weg?
Antwort: Logarithmiere. Fuer dein Problem lautet das: Betrachte doch
einmal $f(t) =|T(t)-Tu|=|T(t)-20|=20-T(t)$. Es muss gelten
[mm] $20-6=14=f(0)=a\cdot{}e^{-m\times 0}$ [/mm] und
[mm] $20-11=9=f(11)=a\cdot{}e^{-m\times 10}$ [/mm] (Aurics Vorschlag). Die erste
Gleichung bringt $a=14$, die zweite [mm] $9/14=e^{-m\times10}$, [/mm] also
[mm] $\ln(9/14)=-m\times10$, [/mm] also $m=0.044$.
Anbei das passende Bildchen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
lgluis
PS: Dem Bild ist noch folgendes zu entnhmen: Nimmst du zu den ersten beiden Bestimmungsgleichungen die dritte Gleichung [mm] $20-14=6=f(20)=a\cdot{}e^{-m\times 20}$ [/mm] hinzu, so wirst du keine exakte Loesung mehr finden (siehe auch den Kommentar von moody). Deshalb meine Frage nach der Methode der Kleinsten Quadrate...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 18.09.2007 | | Autor: | moody |
> Zeigen sie,dass der Temperaturunterschied exponentiell abfällt
Das ist ja relativ einfach zu erklären:
Er fällt nämlich gar nicht exponentiell ab.
Weil eine Eigenschaft von exp. Funktionen ist, dass sie bei additiver Erhöhung der x Werte eine multiplative Erhöhung der y Werte aufweisen.
Und das liegt hier nicht vor:
Zeit t(in Minuten) 0 10 20 30 40 50 60
Temp.T (in °C) 6 11 14 16 18 18 19
10 | 11
*2 | +3
20 | 14
*2 | +4
40 | 18
Demnach liegt keine Exponentialfunktion vor und daher kann sie auch nicht durch http://teximg4.vorhilfe.de/static/7/7/00659177.png beschrieben werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Di 18.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Zeigen sie,dass der Temperaturunterschied exponentiell
> abfällt
>
> Das ist ja relativ einfach zu erklären:
>
> Er fällt nämlich gar nicht exponentiell ab.
>
> Weil eine Eigenschaft von exp. Funktionen ist, dass sie bei
> additiver Erhöhung der x Werte eine multiplative Erhöhung
> der y Werte aufweisen.
>
> Und das liegt hier nicht vor:
>
> Zeit t(in Minuten) 0 10 20 30 40 50 60
> Temp.T (in °C) 6 11 14 16 18 18 19
Moment, in deiner Tabelle steht die Temperatur, nicht der Temperaturunterschied, weswegen dein Argument falsch ist. Du musst den Unterschied zur Umgebungstemperatur (20) aufschreiben:
> Zeit t(in Minuten) 0 10 20 30 40 50 60
> Temp.-U. (in °C) 14 9 6 4 2 2 1
Jetzt sieht das schon deutlich besser aus. Aber du hast noch etwas übersehen: Die gemessene Temperatur ist offensichtlich auf ganze Zahlen gerundet. Deswegen wird die Exponentialfunktion die Messwerte nicht exakt, sondern nur angenähert wiedergeben.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:52 Mi 19.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> bestimmen sie m auf drei Nachkommastellen genau.
Das ist Quatsch.
Wie soll man m auf 3 Stellen nach dem Komma genau bestimmen, wenn die Temperatur nicht einmal 1 Stelle nach dem Komma genau gemessen wurde?
Die Formel lautet m= [mm] \bruch{ln \bruch{20-T}{14}}{t}
[/mm]
Je nachdem, welches Wertepaar aus der Tabelle man nimmt, kommt für m etwas anderes raus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Auric |
Dieses Eigenheit das zu jedem x Wert nicht ein y steht ist mir auch aufgefallen, dann liegt keine Eindeutigkeit vor.
Kannst es ja so machen, dass du von allen Ergebnisses für m eine Durschnitt berechenst und damit die Zeit ausrechnest für 15 °C.
Unter welchem Themengebiet steht diese Aufgabe?
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