Tiefe des Brunnens < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 20.03.2004 | | Autor: | Ute |
Um die Tiefe eines Brunnens zu demonstrieren, schüttet der "Fremdenführer" etwas Wasser in den erleuchteten Schacht. Dein physikalisches Interesse lässt dich sofort die Sekunden bis zum Aufprall zählen, um die Tiefe des Brunnens zu bestimmen. Wie tief ist er also, wenn du 4,7s gezählt hast? Welchen Unterschied macht es, wenn der Schacht nicht erleuchtet ist, sondern der Aufprall lediglich zu hören statt zu sehen ist?
gegeben: t=4,7s
s=1/2 * 9,81 m/s² * t²
s= 108,35
ist das richtig? und welche Einheit?
Es ist ein Unterschied, wenn man den Aufprall nur hören statt sehen würde, weil man dann die Strecke der Schallgeschwindigkeit noch abziehen müsste. (Bis man den Aufprall hört, dauert es nochmal ein paar winzige Sekunden)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Sa 20.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute!
> Um die Tiefe eines Brunnens zu demonstrieren, schüttet der
> "Fremdenführer" etwas Wasser in den erleuchteten Schacht.
> Dein physikalisches Interesse lässt dich sofort die
> Sekunden bis zum Aufprall zählen, um die Tiefe des Brunnens
> zu bestimmen. Wie tief ist er also, wenn du 4,7s gezählt
> hast? Welchen Unterschied macht es, wenn der Schacht nicht
> erleuchtet ist, sondern der Aufprall lediglich zu hören
> statt zu sehen ist?
>
> gegeben: t=4,7s
>
> s=1/2 * 9,81 m/s² * t²
> s= 108,35
>
> ist das richtig? und welche Einheit?
Der Zahlenwert ist richtig.
Die Einheit müßte sich so ergeben:
m/s² * s² = m
Der Brunnen ist also 108,35 m tief.
> Es ist ein Unterschied, wenn man den Aufprall nur hören
> statt sehen würde, weil man dann die Strecke der
> Schallgeschwindigkeit noch abziehen müsste. (Bis man den
> Aufprall hört, dauert es nochmal ein paar winzige
> Sekunden)
Richtig, und wie tief wäre der Brunnen dann? Das ist gar nicht so einfach, aber vielleicht kommst du ja selbst auf einen Ansatz.
Bis später also,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 20.03.2004 | | Autor: | Ute |
vielleicht noch mal die hälfte der strecke dazu oder so?
aber eigentlich soll man das ja auch nicht ausrechnen, nur eine begründung angeben, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Sa 20.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute,
> vielleicht noch mal die hälfte der strecke dazu oder so?
> aber eigentlich soll man das ja auch nicht ausrechnen, nur
> eine begründung angeben, oder?
Ja, das reicht vielleicht. Jedenfalls wird der Brunnen dann weniger tief sein, da in den 4,7s ja auch noch die Zeit steckt, die der Schall bis zur Erdoberfläche benötigt.
Trotzdem dachte ich, dass dich vielleicht eine Lösung interessieren würde.
Die 4,7s teilen sich auf in: Die Zeit, die der Körper fällt (ich nenne diese Zeit mal [mm] $t_1$) [/mm] und in die Zeit, die der Schall benötigt (das nenne ich [mm] $t_2$).
[/mm]
Es gilt also schon mal:
$4,7s = [mm] t_1+t_2$
[/mm]
Wie du vorhin richtig ausgerechnet hast, ist der Brunnen [mm] $s_1=\bruch{1}{2}*9,81\bruch{m}{s^2}*t_1^2$ [/mm] tief (ich habe das nur für ein allgemeines [mm] $t_1$ [/mm] gemacht, du [mm] $t_1=4,7s$).
[/mm]
Wie da ja vielleicht weißt, verbreitet sich der Schall mit einer Geschwindigkeit von [mm] $v_2=333\bruch{m}{s}$.
[/mm]
Wir müssen uns also fragen, wie lange der Schall für die Strecke [mm] $s_1$ [/mm] benötigt -- das ist kein Problem, wenn man die Geschwindigkeit kennt, denn:
[mm] $v_2=\bruch{s_1}{t_2}$
[/mm]
[mm] $\gdw t_2*v_2=s_1$
[/mm]
[mm] $\gdw t_2=\bruch{s_1}{v_2}=\bruch{s_1}{333m/s}$
[/mm]
Hier kann ich jetzt [mm] $s_1$ [/mm] von oben einsetzen:
[mm] $\gdw t_2=\bruch{\bruch{1}{2}*9,81\bruch{m}{s^2}*t_1^2}{333m/s}$
[/mm]
Diese [mm] $t_2$ [/mm] wiederum setze ich in die obige Formel $4,7s = [mm] t_1+t_2$ [/mm] ein und erhalte:
$4,7s = [mm] t_1+\bruch{\bruch{1}{2}*9,81\bruch{m}{s^2}*t_1^2}{333m/s}$
[/mm]
Das ist nun eine Gleichung, die nur noch [mm] $t_1$ [/mm] als unbekannte Variable enthält -- sie kann also nach [mm] $t_1$ [/mm] aufgelöst werden:
[mm] $\gdw [/mm] 4,7s*333m/s = [mm] t_1*333m/s+\bruch{1}{2}*9,81\bruch{m}{s^2}*t_1^2$
[/mm]
Der Übersichtlichkeit halber lasse ich mal die Einheiten weg:
[mm] $\gdw [/mm] 4,7*333 = [mm] t_1*333+\bruch{1}{2}*9,81*t_1^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 4,7*333*2 = [mm] t_1*333*2+9,81*t_1^2$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{4,7*333*2}{9,81} [/mm] = [mm] t_1*\bruch{333*2}{9,81}+t_1^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 319,08 = [mm] t_1*67,89+t_1^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 0 = [mm] t_1^2 [/mm] + [mm] t_1*67,89 [/mm] - 319,08$
 p/q-Formel anwenden:
[mm] $t_1=-\bruch{67,89}{2}\pm\wurzel{\left( \bruch{67,89}{2} \right)^2 + 319,08}$
[/mm]
[mm] $t_1=-33,94\pm\wurzel{1152,26 + 319,08}$
[/mm]
[mm] $t_1=-33,94\pm\wurzel{ 1471,34}$
[/mm]
[mm] $t_1=-33,94\pm [/mm] 38,36$
[mm] $t_1=4,42$ [/mm] (die negative Lösung habe ich direkt verworfen).
Also fällt das Wasser 4,42s Sekunden, die restlichen 0,28s benötigt der Schall.
Für 4,42s ergibt sich eine Brunnentiefe von:
[mm] $s_1=\bruch{1}{2}*9,81\bruch{m}{s^2}*4,42^2s^2$=95,83m$
[/mm]
Das sind natürlich alles nur gerundete Werte.
Die Rechnung war also --wie zuvor angekündigt-- recht kompliziert, jedenfalls im Vergleich zu den vorherigen Rechnungen, aber auch nicht so schwierig, oder?
Alles Gute,
Marc
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