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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 So 14.01.2007 | | Autor: | cris1981 |
| Aufgabe | Ein Kredit von 100.000 wird zu foldenden Bedingungen gewährt:
Es sind jährlich nachschüssig Zinsen zu 6,5 % p.a. zu zahlen und nach 12 Jahren die volle Schuld von 100.000.Das Darlehen wird zu Jahresbeginn zur Verfügung gestellt,der Darlehensbetrag aber so reduziert, das die künftigen Zahlungen des Kreditnehmers eine Verzinsung des tatsächlichen Darlehens von 8% p.a. erbringen.
a) In welcher Höhe wird der Kreditgeber das Darlehen auszahlen?
b) Welchen Darlehensbetrag wird der Kreditgeber auszahlen, wenn die Erhöhung des Zinssatzes auf 8% p.a. erst mit Beginn des sechsten Jahres wirksam werden soll? |
Zu dieser Aufgabe habe ich leider keinen Ansatz gefunden!!Bitte daher dringend um Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo chis,
> Ein Kredit von 100.000 wird zu foldenden Bedingungen
> gewährt:
> Es sind jährlich nachschüssig Zinsen zu 6,5 % p.a. zu
> zahlen und nach 12 Jahren die volle Schuld von 100.000.Das
> Darlehen wird zu Jahresbeginn zur Verfügung gestellt,der
> Darlehensbetrag aber so reduziert, das die künftigen
> Zahlungen des Kreditnehmers eine Verzinsung des
> tatsächlichen Darlehens von 8% p.a. erbringen.
>
> a) In welcher Höhe wird der Kreditgeber das Darlehen
> auszahlen?
>
> b) Welchen Darlehensbetrag wird der Kreditgeber auszahlen,
> wenn die Erhöhung des Zinssatzes auf 8% p.a. erst mit
> Beginn des sechsten Jahres wirksam werden soll?
> Zu dieser Aufgabe habe ich leider keinen Ansatz
> gefunden!!
Hast du denn eine Lösung, die du uns mitteilen kannst?
Und wie sieht es aus mit deinen Ansatzversuchen? Verrate sie uns doch einmal.
Ich selber habe eine Lösungsidee. Ich weiß aber nicht, ob sie richtig ist.
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mo 15.01.2007 | | Autor: | cris1981 |
Hallo Josef,
also erstmal die Lösungen:
a) 88.695,89 und b) 95.247,68
Ich finde leider keinen vernünftigen Ansatz,bin etwas ratlos....
Beste Grüße,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Do 18.01.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo chris,
ich komme nicht auf die von dir angegebenen Lösungen. Vielleicht verstehe ich die Aufgabenstellung auch nicht richtig.
Es werden nachschüssig Zinsen zu 6,5 % gezahlt und das Darlehen am Ende des 12. Jahres in voller Höhe zurückgezahlt. Das heißt, dass nur Zinsen gezahlt werden. Das Darlehen wird nicht vermindert. Es liegt somit keine Zinseszinsrechnung vor. Die insgesamt gezahlten Zinsen zu 6,5 % müssen gleich den Zinsen aus dem verminderten Kapital zu 8 % sein. Verstehe ich das so richtig? Oder wie verstehst du die Aufgabe?
Meine Ansatz lautet dann:
100.000*0,065*12 = K*0,08*12
K = 81.250
Wenn man die Probe macht, stimmt die Rechnung. Legt man ein Kapital von 88.695,89 zugrunde, dann stimmt die Gleichung nicht.
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Do 18.01.2007 | | Autor: | cris1981 |
Also zu a) habe ich mittlerweile den Lösungsweg gefunden, allerdings nur mit Hilfe meines Profs.Man muss die 6,5 % quasi als nachschüssige Rate verstehen,also 6500 jährlich.Das Ergebnis erhält man wenn man den Barwert der Rente (mit 8% p.a.!!) also R0=6500 * 1,08´12-1/0,08 rechnet + den Barwert des Darlehens 100.000/1,08´12.Allerdings kann ich das nicht so ganz nachvollziehen,weshalb ich auch b) noch nicht lösen konnte.Leider habe ich auch keine Vorlesung mehr und werde meinen Prof nicht mehr fragen können. Vielleicht hiflt dir ja der Lösungsweg von a) um b) zu verstehen.Bei b) hatte mein Prof nur irgendwas "von erst mit 6,5% aufzinsen und dann mit 8% wieder abzinsen" auf die schnelle erwähnt.Vielleicht kannst Du ja etwas damit anfangen.Das wäre super.
Beste Grüße
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Do 18.01.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo chris,
vielen Dank für deine Rückantwort.
der Barwert der Ratenzahlung von 6.500 Euro zu 8 % beträgt in 12 Jahren:
[mm]6.500*\bruch{1,08^{12} -1}{0,08}*\bruch{1}{1,08^{12}} = 48.984,51.[/mm]
Dies ist der Wert aller Ratenzahlungen zu Beginn der Zahlungen. Hinzu kommt noch der Barwert von 100.000, die am Ende der Ratenzahlung fällig sind (39.711,38).
Also, 48.984,51 + 39.71,38 = 88.695,89. Dies ist zugleich auch das tatsächliche Anfangskapital, das 8 % erbringt. Nämlich:
[mm]88..695,89*1,08^{12} = 223.351,34[/mm]
im Vergleich zu:
[mm]6.500*\bruch{1,08^{12}-1}{0,08} = 123.351,32 + 100.000= 223.351,32[/mm]
Aufgabe b) versuche ich, morgen zu lösen. Vielleicht hast du ja bis dahin den Rechenweg schon ermittelt. Dann teile ihn mir doch bitte mit.
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Fr 19.01.2007 | | Autor: | cris1981 |
Hallo Josef,
leider bekomme ich bei b) keine vernünftige Lösung heraus.Allerdings ist Rechenweg im Vergleich zu a) bestimmt nicht großartig anders.Mein Prof meinte ich müsste die ersten Jahre bis zur Umstellung auf 8 % mit 6,5 % aufzinsen und dann mit 8 % wieder abzinsen.Das habe ich schon versucht,aber vielleicht mache ich auch einen dummen Fehler, denn ich komme einfach nciht auf die Lösung.Vielleicht schaffst Du es ja auf die Lösung zu kommen.Das wäre super!!!
Beste Grüße
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo Chris,
ich gebe es auf.
Ich komme einfach nicht auf die vorgegebene Lösung.
Ich gebe dir mal meinen Rechenweg bekannt. Vielleicht kannst du einen Fehler oder Gedankenfehler entdecken.
[mm]6500*\bruch{1,065^5 -1}{0,065}*1,08^7 = 63.426,34[/mm]
[mm]6.500*\bruch{1,08^7 -1}{0,08} = 57.998,22[/mm]
Barwerte:
63.426,34 + 57.998,22 + 100.000 = 221.424,56
[mm]\bruch{221.424,56}{1,08^{12}} = 87.930,74[/mm]
Falls du den richtigen Lösungsweg ermitteln kannst, bitte teile ihn mir dann mit. Ich bin sehr daran interessiert.
Viele Grüße
Josef
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Es handelt sich hier um eine typische Aufgabe zur Berechnung eines Effektivzinses.
Die Banken geben zwar irgend einen Zinssatz an, sorgen aber durch Disagio, Zusatzgebühren usw. dafür, dass der effektive Zins viel höher liegt.
Wie berechnet man den Effektivzins?
Die Idee ist ganz einfach: Ein ehrlicher Freund macht das selbe Geschäft mit uns, versteckt aber keine weiteren Gebühren und Abschläge in seiner Rechnung und hat deshalb einen anderen Zinssatz, den Effektiv-Zinssatz.
Hier: Ein Freund gibt uns X . Er nimmt 8 % Zinsen, die am Ende jedes Jahres aufgeschlagen werden. Jedes Jahr müssen wir ihm 6.500 bezahlen (das sind nicht die 8 %, sondern eine Teilrückzahlung der jeweiligen Gesamtschuld). Am Ende des 12. Jahres schulden wir ihm dann noch die 6.500 und 100.000 . Wie hoch ist X?
Am einfachsten löst du das Problem mit Excel, wie die Banken das heute machen:
Starte in einer Zelle mit X=90.000 . Diese Zahl änderst du nach der Programmierung so lange immer wieder ab, bis das Ergebnis stimmt. (Das geht in ein paar Minuten.)
Ende
von
Jahr Zinsen Kap + Zins Einzahlung Restschuld
90000 = Startwert
1 7200 97200 6500 90700
2 7256 97956 6500 91456
3 7316,48 98772,48 6500 92272,48
4 7381,7984 99654,2784 6500 93154,2784
5 7452,342272 100606,6207 6500 94106,62067
6 7528,529654 101635,1503 6500 95135,15033
7 7610,812026 102745,9624 6500 96245,96235
8 7699,676988 103945,6393 6500 97445,63934
9 7795,651147 105241,2905 6500 98741,29049
10 7899,303239 106640,5937 6500 100140,5937
11 8011,247498 108151,8412 6500 101651,8412
12 8132,147298 109783,9885 6500 103283,9885
Die Überschriften sagen dir, was ich jeweils in den Zellen programmiert habe. Zinsen sowie Kap + Zins errechnen sich jeweils aus der Restschuld des Vorjahres. Du siehst, dass 90000 etwas zu hoch ist. Nun Brauchst du nur noch immer den Startwert abzuändern, bis unten 100000 herauskommt. Bei b) änderst du einfach erst am Ende des 6. Jahres den Zinssatz.
Falls du nicht in Excel programmieren kannst, frage einen Kommilitonen. Es ist nicht schwer. Für unseren einfachen Fall geht es aber auch mit Formeln:
Es gilt: [mm] K_n [/mm] = [mm] (K_0-\bruch{100*R}{p})*(1+\bruch{p}{100})^n +\bruch{100*R}{p}
[/mm]
Dabei ist [mm] K_n [/mm] das Kapital nach n Jahren (100000), p der Zinssatz (8), R die Rate am Jahresende (6500).
Wenn du hier für [mm] K_0 [/mm] 90000 einsetzt, erhältst du als Ergebnis den obigen Tabellenendwert.
Auflösen nach [mm] K_0 [/mm] ergibt: [mm] K_0 [/mm] = [mm] \bruch{K_n - \bruch{100*R}{p}}{(1+\bruch{p}{100})^n}+\bruch{100*R}{p}.
[/mm]
Setzt du nun die 100000 ein, die am Ende als Schuld zurückbleiben sollen, so erhältst du [mm] K_0 [/mm] = 88 695,88, also die Lösung von a).
Aufgabe b): Die letzte Rechnung war eine Rückwärts-Rechnung: Vom Endbetrag über Zinssatz zum Startwert. Das machst du jetzt zwei mal: Zunächst gehst du vom Endbetrag 100000 nur 7 Jahre zurück (Zu Anfang des 6. Jahres wird erhöht, also für 7 Jahre) mit 8 % und erhältst das Geld, dass du in dem Moment der Bank schuldest (als hättest du es gerade von der Bank erhalten). Diesen Wert fasst du dann als Endwert nach den ersten 5 Jahren auf und rechnest mit den 6,5 % zurück, wieviel dir die Bank zu Anfang gegeben hat. Also nur 2 mal die letzte Formel anwenden. Du erhältst als Zwischenwert 92 190,45 und als Anfangswert 94 299,96 = Lösung von b).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Sa 20.01.2007 | | Autor: | cris1981 |
Hallo, vielen Dank für deine Hilfe. Leider kommt bei b) 95.247,68 als Lösung heraus.Ich kann Deinen Ansatz nachvollziehen,aber leider führt er bei b) auch nicht zur richtigen Lösung.Vielleicht entdeckst Du ja noch einen Fehler in Deinem Weg und kannst mir nochmal weiterhelfen, weil ich wirklich langsam verzweifel an dieser Aufgabe!!!
Beste Grüße
Christoph
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Ich weiß nicht, woher deine Ergebnisse kommen und welche Gedanken dahinter stecken. Meine Überlegungen habe ich dir mitgeteilt. Die angegebene Formel habe ich mir selber überlegt, vermutlich findest du so etwas ähnliches in deiner Formelsammlung. Falls gewünscht, kann ich dir die Herleitung mal aufschreiben.
Meine Excel-Berechnung zeigt, dass mein Zahlenergebnis genau meinen Überlegungen entspricht. Man darf, so meine ich, nicht die Zinsen, die Einzahlungen und die Gesamtschuld voneinander trennen, sondern muss nach jedem Jahr abrechnen, damit die neuen Zinsen von der verbleibenden Restschuld berechnet werden und nicht z.B. immer nur vom Ausgangskapital.
Die Excel-Datei hänge ich an. Falls du Excel auf deinem Rechner hast, kannst du sie durch Doppelklick einfach öffnen. Wenn du auf die einzelnen Zellen fährst und auf diese klickst, kannst du die Rechenformel einfach ablesen. Du wirst die Überlegungen dann sofort verstehen und kannst durch Verändern der Ausgangszahl oder des Zinssatzes feststellen, dass die rechnungen stimmen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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