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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Do 09.05.2013 | | Autor: | Crashday |
| Aufgabe | Eine Unternehmerin plant auf Kredit eine Anschaffung einer Maschine mit dem Kaufpreis von 90.000 € und erwartet eine 8 jährige Lebensdauer der Maschine.
a) Würde es sich lohnen, bei einem Kreditzinssatz von 11 % p.a. die Maschine anzuschaffen, wenn sie nachschüssige Monatsraten bis zu 1500 €, 8 Jahre lang aufbringen muss?
b) Wie hoch liegt bei p = 11 % die nachschüssige Monatsrate und die Annuitätentilgung tatsächlich? |
Hallo,
ich habe leider keine wirklichen Ansätze bei den Aufgaben.
Bei a) weiß ich leider nicht wirklich, wie ich anfangen soll. Könnte man es z. B. mit einem Tilgungsplan versuchen um, dann zu schauen, ob die Restschuld noch unter 8 Jahren liegt? Oder geht es deutlich einfacher mit einer Formel?
Bei b) steht in den Lösungen, dass ein Teil mit der Annuitätenformel berechnet wurde. Leider weiß ich aber auch nicht, wie ich auf die nachschüssige Monatsrate kommen soll. Ist hier ebenfalls ein Tilgungsplan möglich?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Crashday
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Do 09.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
natürlich kann man etwa mit Excel einen Tilgungsplan aufstellen und sieht, wann der Kredit zurückgezahlt ist. Das würde ich allerdings nicht unter einer Berechnung verstehen.
Hier soll ein Annuitätendarlehen vorliegen, was bedeutet, daß jede Monatsrate gleich hoch ist und sich nur der jeweilige Zins- und Tilgungsanteil mit jeder Rate ändert. Dann ist ein Kredit nicht anderes als der Barwert der anfallenden Zahlungen oder - was dasselbe ist - die Summe der mit dem Darlehenszinssatz abgezinsten Zahlungen. Die erwähnte - jedoch nicht dargestellte - Annuitätenformel ist damit gleich der, mit der man den Barwert von Renten ermittelt, die ich zunächst als bekannt voraussetzen möchte. Ausgehend von den bekannten Größen kann man durch Umformung dann jeweils die fehlende ausrechnen.
Im Fall a) verstehe ich das so, daß man die Laufzeit bei einer Rate von 1500 bestimmt, um zu sehen, ob sie 8 Jahre übersteigt. Zu beachten ist wegen der monatlichen Zahlungen, daß der genannte Jahreszinssatz auf einen Monatszinssatz umgerechnet und die Laufzeit in Monaten angegeben werden muß.
Und im Fall b) ist die Rate auszurechnen. Da sich die Tilgung mit jeder Rate ändert, kann man nur die Anfangstilgung (prozentual) angeben. Ich nehme an, das ist mit "Annuitätentilgung" gemeint.
Mit diesem Ansatz solltest Du zur Lösung kommen. Wenn es beim Rechenweg Probleme gibt, melde Dich.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Crashday |
So, also ich habe es gerade mit einem Kreditrechner erstmal auszurechnen. Ist die Idee bei a) richtig?
http://s7.directupload.net/file/d/3252/vogg44ak_png.htm
In diesem Fall sieht man, dass die Laufzeit nicht nach 8 Jahren übersteigt. Somit könnte sich der Unternehmer die Maschine anschaffen. Ich habe jetzt aber die nachschüssige Monatsrate von 1.500 € * 12 genommen, um auf die nachschüssige Jahresrate von 18.000 € zu kommen, da der Rechner nur den Jahreszinssatz nimmt. Den Zinssatz von 11 % habe ich somit gelassen.
So und bei b) habe ich das ausgerechnet:
http://s7.directupload.net/file/d/3252/ygdi2ezy_png.htm
Hier Ratenzahlung liegt hier bei 17.488,89. Hier wird aber schon voraussgetzt, dass die Laufzeit bei 8 Jahren liegt oder? Da es ebenfalls pro Jahr bezogen ist, haben wir eine nachschüssige Jahresrate von 17.488,89. Um dann auf die nachschüssige Monatsrate zu kommen, muss das Ergebnis durch 12 geteilt werden, also lautet die nachschüssige Monatsrate bei 12 % p.a. 1457.40 € .
Ich hoffe, dass einiges richtig ist, was ich hier ausgerechnet habe :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
es ist doch schön, daß man im Internet sogar Kreditrechner findet, die man einsetzen kann, ohne sich Gedanken machen zu müssen, welche Rechenschritte ihnen zugrunde liegen. Ich hatte angenommen, Dir kommt es mehr auf den Rechenweg bzw. die in einem solchen Fall anwendbaren Formeln an. Auch diese kann man im Internet, nachdem ich schon geschrieben hatte, daß hier Rentenrechnung zur Anwendung kommt, z.B. unter http://http://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung finden. Die übliche Formel lautet
$ [mm] S=r\cdot\bruch{q^n-1}{q^n\cdot\left(q-1\right)} [/mm] $.
S = Kredit
r= Rate
q=1+i
i=zinssatz dezimal
n= Laufzeit.
Bei Monatsrechnungen ist der Jahreszins i durch 12 und die Laufzeit von n Jahren mit 12 zu multiplizieren.
Die Formel kann zur Berechnung von n oder r entsprechend umgeformt werden.
Bei Deinem Kreditrechner hast Du Jahreszahlungen angesetzt. Das von dem Kreditrechnerprogramm ermittelte Ergebnis stimmt mit dem nach der o.g. Formel berechneten überein.
Bei Aufgabe a) ist das Ergebnis in jeden Fall weniger als 8 Jahre - auch bei monatlicher Rechnung. Bei Aufgabe b) beträgt die Laufzeit 8 Jahre. Man kann allerdings nicht einfach eine Jahresrate durch 12 teilen. Wie ich schon sagte, ändert sich mit jeder Rate der Zins- und Tilgungsanteil. Die von Dir angewandte Methode unterstellt aber trotz Monatszahlung eine unveränderte Zinsberechnung während des laufenden Jahres vom Kapitalsaldo am Ende des vorherigen Jahres. Das ist in rechtlicher Hinsicht in Deutschland nur in bestimmten Umfang zulässig und seit langem nicht mehr Praxis der Kreditinstitute. Hier gibt es immer eine sofortige Zins- und Tilgungsverrechnung. Die monatliche Rate sollte vorliegend EUR 1413,75 betragen.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Crashday |
Okay, danke schon mal jetzt für die Hilfe. Hat mir ingesamt schon sehr viel geholfen. Ich habe jetzt diese Ergebnisse raus mit der besagten Formel umgestellt:
a) Die Laufzeit wird gesucht, also wird die Formel nach n umgestellt. Zunächst den Jahreszins also i durch 12 teilen und + 1, um q zu berechnen also q = 1 + [mm] \bruch{0.11}{12} [/mm] = [mm] \bruch{1211}{1200}. [/mm] Jetzt werden alle Sachen in die Formel eingesetzt:
n = [mm] \bruch{ln(\bruch{1500}{\bruch{1211}{1200}*1500-90000*(\bruch{1211}{1200}-1)})}{ln(\bruch{1211}{1200})} [/mm] = 85,29
Also wären das hier meine ca. 85 Monate, die ich hier ausgerechnet habe?
b) Hier wird jetzt die monatliche Rate gesucht, da komme ich aber auf ein anderes Ergebnis. Hierbei wird die Laufzeit n mit 12 multipliziert also 96
r = [mm] \bruch{90000*(\bruch{1211}{1200})^{95}* (\bruch{1211}{1200}-1)}{(\bruch{1211}{1200})^{96}-1} [/mm] = 1400,91
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 12.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
das sieht schon viel besser aus.
> Okay, danke schon mal jetzt für die Hilfe. Hat mir
> ingesamt schon sehr viel geholfen. Ich habe jetzt diese
> Ergebnisse raus mit der besagten Formel umgestellt:
>
> a) Die Laufzeit wird gesucht, also wird die Formel nach n
> umgestellt. Zunächst den Jahreszins also i durch 12 teilen
> und + 1, um q zu berechnen also q = 1 + [mm]\bruch{0.11}{12}[/mm] =
> [mm]\bruch{1211}{1200}.[/mm] Jetzt werden alle Sachen in die Formel
> eingesetzt:
>
> n =
> [mm]\bruch{ln(\bruch{1500}{\bruch{1211}{1200}*1500-90000*(\bruch{1211}{1200}-1)})}{ln(\bruch{1211}{1200})}[/mm]
> = 85,29
>
Ich komme bei der Auflösung nach n auf
$ n= [mm] \bruch{ln\left(\bruch{1500}{1500-90000\cdot\left(\bruch{1211}{1200}-1\right)}\right)}{ln\left(\bruch{1211}{1200}\right)}=87,51 [/mm] $ und das sind Monate.
> Also wären das hier meine ca. 85 Monate, die ich hier
> ausgerechnet habe?
>
> b) Hier wird jetzt die monatliche Rate gesucht, da komme
> ich aber auf ein anderes Ergebnis. Hierbei wird die
> Laufzeit n mit 12 multipliziert also 96
>
> r = [mm]\bruch{90000*(\bruch{1211}{1200})^{95}* (\bruch{1211}{1200}-1)}{(\bruch{1211}{1200})^{96}-1}[/mm]
> = 1400,91
Auch im Zähler muß der Exponent 96 (nicht 95) sein.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 12.05.2013 | | Autor: | Crashday |
Okay, klingt schon mal gut. Ich habe aber trotzdem noch einige Fragen.
Und zwar zunächst zu a). Auf Wikipedia wurde die Formel schon nach n umgestellt. Ich versteh aber z. B. nicht, warum bei dir im Zähler in dem Term [mm] ln(\bruch{1500}{\bruch{1211}{1200}\cdot{}1500-90000\cdot{}(\bruch{1211}{1200}-1)} [/mm] die [mm] \bruch{1211}{1200} [/mm] vor der 1500 fehlt? Ebenfalls habe ich auch gerade gemerkt, dass die +1 am Ende des Terms fehlt. Also müsste das vollkommende Ergebnis doch 86,29 Monate.
Bei b) versteh ich ebenfalls nicht, warum der Exponent hier 96 sein muss, da es in der Formel ebenfalls [mm] q^{n-1} [/mm] im Zähler heißt.
Falls ich jetzt z. B. bei a) einen Tilgungsplan aufstellen möchte z. B. sind die Perioden jetzt die Monate. Dann müsste es doch z. B. im ersten Monat wie folgt aussehen:
Monat 1:
Schuldenstand: 90000
Ratenzahlung: 1500
Zinsen: Muss ich die 90000 jetzt mit 0,11 oder mit [mm] \bruch{11}{12} [/mm] multiplizieren?
Tilgung: Kann ich noch nicht sagen, da ich die Zinsen noch nicht habe.
Ich habe leider auch noch nicht wirklich dass mit dem Zinssatz verstanden. Wie bist du darauf gekommen, dass man es durch 12 teilen muss? (wegen dem p.a. per anno?) In allen Kreditrechner, die ich bis jetzt gefunden habe steht immer p.a. und monatliche Rate z. B. bei dem hier http://www.kreditzeit.de/tilgungsplan-berechnen.php. Da komme ich aber auf eine Laufzeit von 7,19 und nicht auf 7,29, falls es das richtige Ergebnis ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 12.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
bei Wikipedia findest Du die Berechnungen für vorschüssige und nachschüssige Zahlungen (d.h. entweder am Monatsanfang oder am Monatsende). Hier sind nachschüssige vorgesehen, für die das gilt, was ich geschrieben habe und jedenfalls für die Grundformel auch bei Wikipedia angegeben wird. Du hast die für vorschüssige Zahlungen angesetzt.
Wenn Du die Ausgangsformel nach n auflöst, kommt das heraus, was ich angegeben habe.
Mit dem genannten Kreditrechner kommen dieselben Werte heraus. Das sieht man, wenn man "Darstellung:alle Monate" anklickt. Es gibt 87 Raten a 1500 und eine weitere, die nur einen Teilbetrag umfaßt. Das sind die von mir genannten richtig 87,51 Monate (sorry für den inzwischen korrigierten Tippfehler von 87,91) und 7,29 Jahre.
Für die Aufstellung eines Tilgungsplans berechnet man die Zinsen für den jeweiligen Monat, wobei es in der Bankpraxis üblich ist, daß diese innerhalb des Jahres linear angesetzt werden, weshalb der Jahreszinssatz durch 12 geteilt wird. Für die erste Rate betragen die Zinsen z daher $ z=90000 [mm] \cdot \bruch{0,11}{12} [/mm] $ und die Tilgung $ t=1500-z $.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 So 12.05.2013 | | Autor: | Crashday |
Okay die Aufgabe a) habe ich jetzt erledigt. Zur Aufgabe b) habe ich aber noch einige Fragen. Und zwar habe ich jetzt die Formel ebenfalls umgestellt und bin dann auf das Ergebnis von 1413.75 € gekommen. Mit dem Tilgungsplan läuft es ja wieder wie nach Schema F.
Leider versteh ich aber nicht, warum in meinen Lösungen ein Wert von R = 1387,46 € pro Monat rauskommt. Ebenfalls hat es mich jetzt auch ein wenig verwirrt, was jetzt genau mit der Annuitätentilgung gemeint ist.
Die tatsächliche Annuitätentilgung liegt laut der Lösung bei 17488.90 €. Hierbei wurde aber i jetzt als 0.11 gesetzt und n ist 8 (ich denke mal, dass hierbei jetzt die Annuitätentilgung jährlich verwendet wurde). Trotzdem verwirrt mich das ein wenig, dass da jetzt unterschiedliche Ergebnisse rausgekommen sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 12.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
meine Berechnung und Darstellung orientiert sich an der Praxis und Methode der Kreditinstitute. Diese bedingt, daß infolge der monatlichen Zahlungen der Effektivzins des Kredits höher ist als der Nominalzins von hier 11 % p.a. Das ist zulässig, da der zusätzliche Effekt bei der Ermittlung des (anfänglichen) effektiven Jahreszinses, der immer anzugeben ist, berücksichtigt wird.
Wenn die Aufgabe so verstanden werden soll, daß der Zinssatz von 11% auch der Effektivzins sein soll, also die monatlichen Zahlungen nicht zu einem zusätzlichen Zinseffekt führen, ist q mit einem aus dem Jahreszinssatz entwickelten Monatszins mit folgender Formel zu berechnen:
$ [mm] q=\left(1+i\right)^{\bruch{1}{12}}=1,11^{\bruch{1}{12}} [/mm] $.
Das in die Formel eingesetzt und n=96 ergibt nach meiner Rechnung eine monatliche Rate von 1388,71. Möglicherweise beruht die Differenz zu dem von Dir genannten Wert auf Rundungsfehlern.
Der mit "Annuitätstilgung" beschriebene Betrag ist derjenige, der sich bei der Annahme einer jährlichen Zahlung ergibt. Da die genannte Zahl allerdings nicht nur die Tilgung, sondern auch die Zinsen umfaßt, würde ich sie eher, wie ich es auch in der Literatur und der Praxis häufig gefunden habe, als jährliche Annuität bezeichnen. Aber da mag es auch andere Definitionen geben.
Noch mehr werde ich kaum beitragen können; es sei denn, aus der Aufgabe und den dazu gemachten Erläuterungen ergeben sich weitere Gesichtspunkte.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 12.05.2013 | | Autor: | Crashday |
Okay, also 100% habe ich es leider noch nicht verstanden. Ich habe den Unterschied jetzt zwischen der Monatsrate und der Annuitätentilgung nicht wirklich verstanden. Annuität ist doch = Ratenzahlungen oder nicht? Heißt es dann , dass sozusagen der Wert der bei der Annuitätentilgung dann meine jährliche Ratenzahlung ist? Wäre es dann nicht einfach nur, wenn ich jeweils die ersten 12 monatlichen Ratenzahlungen aufsummiere die jährliche Annuitätentilgung ergibt?
Müsste ich dann ebenfalls bei der Aufgabe a) q mit der oben genannten Formel ausrechnen?
Wie wäre dann der Tilgungsplan zu erstelle? Jetzt mit der monatlichen Ratenzahlung oder mit der Annuitätentilgung? -.-'
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
ich meine, Du solltest diese Fragen letztlich mit dem Aufgabensteller klären.
Für mich ist der Begriff Annuität historisch so besetzt, daß damit Jahreszahlungen in gleicher Höhe, die aus sich ändernden Zins- und Tilgungsanteilen bestehen, während der Laufzeit des Kredits gemeint sind (im Unterschied zur Ratentilgung, dort ist der Tilgungsteil während der Laufzeit immer gleich). Und die Annuitätentilgung ist nur ein Teil der Annuität. Das hat aber heute nicht mehr so große Bedeutung, da eigentlich bei den meisten Krediten Monatszahlungen vereinbart werden. Es ist üblich geworden, auch eine gleichbleibende Monatszahlung als Annuität zu bezeichnen. Es mag aber sein, daß bei der Aufgabenstellung eine andere mir nicht geläufige Definition zugrunde gelegt wurde.
Zum Zusammenhang zwischen einer Jahreszahlung und monatlichen Zahlungen kann ich sagen, daß nach der zuletzt beschriebenen Methode bei 12 Zahlungen a 1.388,71 im Jahr nach dem ersten Jahr die Restschuld 82.411,11 beträgt. Das ist gleich der, die sich bei einer Zahlung zum Jahresende von 17.889,89 ergibt.
Das kannst das "neue" q auch bei Aufgabe a ansetzen; auch damit sollte ein Wert von weniger als 8 Jahren herauskommen.
Bei dem Tilgungsplan würde ich immer die monatlichen Zahlungen ansetzen, weil so tatsächlich gezahlt wird. Und zum Beweis, daß die Beträge zum jeweiligen Jahresende gleich sind, daneben einen Tilgungsplan mit den jährlichen Zahlungen.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Crashday |
Okay, also ich habe die Aufgabe jetzt nochmal mit dem effektiven Zinssatz ausgerechnet. Da komme ich auf ein Ergebnis von 85,37 Monaten, also 7,11 Jahren.
Es handelt sich dann sowohl bei a) als auch bei b) um eine Annuitätentilgung oder? Wie bist du darauf gekommen, dass es sich um eine Annuitätentilgung handelt?
Wenn ich die Werte, also S=90000, i = 0,11, q=1,11 n=8 und die Annuitätenformel einsetze bzw. in die umgestellte formel nach r einsetze, kriege ich dann diesen Wert raus:
r= $ [mm] \bruch{90000\cdot{}(1,11)^{8}\cdot{} (1,11-1)}{(1,11)^{8}-1} [/mm] $ = 17488.89 (Ich tippe jetzt einfach mal, dass jetzt hierbei der effektive Zinssatz verwendet wurde wegen 1,11)
Mit welchem Wert soll ich denn den Tilgungsplan jetzt aufstellen? Mit der monatlichen Tilgung, wobei jetzt 1388,71 rausgekommen ist oder mit dem Wert?
Ebenfalls habe ich versucht, bei a) den Tilungsplan für die Jahre aufzustellen, aber da kommt leider nicht dasselbe raus. Wenn ich jetzt z. B. bei a) es auf Jahre umrechnen möchte, dann müsste ich die monatliche Ratenzahlung mit 12 multiplizieren, also 18000 €. Wenn ich das jetzt in die Formel einsetzen möchte, würde es wie folgt aussehen:
$ [mm] \bruch{ln(\bruch{18000}{\cdot{}18000-90000\cdot{}(1,11-1)})}{ln(1,11)} [/mm] $ = 7,65 Jahre
$ [mm] \bruch{ln(\bruch{1500}{\cdot{}1500-90000\cdot{}(\wurzel[12]{1,11}-1)})}{ln(\wurzel[12]{1,11})} [/mm] $ = 85,37 Monate = 7,11 Jahre
Ich seh jetzt leider nicht, dass die Beiträge zum Jahresende, wenn ich den Tilgungsplan z. B. mit dem Kreditrechner aufstelle gleich sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Okay, also ich habe die Aufgabe jetzt nochmal mit dem
> effektiven Zinssatz ausgerechnet. Da komme ich auf ein
> Ergebnis von 85,37 Monaten, also 7,11 Jahren.
>
Das stimmt.
> Es handelt sich dann sowohl bei a) als auch bei b) um eine
> Annuitätentilgung oder? Wie bist du darauf gekommen, dass
> es sich um eine Annuitätentilgung handelt?
Weil der Begriff in der Aufgabe b) verwendet wurde und ich sie so verstanden habe, daß die Raten immer gleich groß sind.
>
> Wenn ich die Werte, also S=90000, i = 0,11, q=1,11 n=8 und
> die Annuitätenformel einsetze bzw. in die umgestellte
> formel nach r einsetze, kriege ich dann diesen Wert raus:
> r= [mm]\bruch{90000\cdot{}(1,11)^{8}\cdot{} (1,11-1)}{(1,11)^{8}-1}[/mm]
> = 17488.89 (Ich tippe jetzt einfach mal, dass jetzt hierbei
> der effektive Zinssatz verwendet wurde wegen 1,11)
Das ist ebenfalls richtig.
>
> Mit welchem Wert soll ich denn den Tilgungsplan jetzt
> aufstellen? Mit der monatlichen Tilgung, wobei jetzt
> 1388,71 rausgekommen ist oder mit dem Wert?
Den Tilgungplan bei Aufgabe b) würde ich mit der monatlichen Zahlung von 1388,71 aufstellen - daneben den mit Jahreszahlungen, wobei diese dann jeweils 17.488,89 betragen und nicht (!) 12 * 1.388,71, weil der monatliche Zins so ermittelt wurde, daß am Ende des Jahres derselbe Betrag getilgt wurde wie bei der Einmalzahlung (dazu noch gleich eine Erläuterung).
>
> Ebenfalls habe ich versucht, bei a) den Tilungsplan für
> die Jahre aufzustellen, aber da kommt leider nicht dasselbe
> raus. Wenn ich jetzt z. B. bei a) es auf Jahre umrechnen
> möchte, dann müsste ich die monatliche Ratenzahlung mit
> 12 multiplizieren, also 18000 €. Wenn ich das jetzt in
> die Formel einsetzen möchte, würde es wie folgt
> aussehen:
>
> [mm]\bruch{ln(\bruch{18000}{\cdot{}18000-90000\cdot{}(1,11-1)})}{ln(1,11)}[/mm]
> = 7,65 Jahre
>
>
> [mm]\bruch{ln(\bruch{1500}{\cdot{}1500-90000\cdot{}(\wurzel[12]{1,11}-1)})}{ln(\wurzel[12]{1,11})}[/mm]
> = 85,37 Monate = 7,11 Jahre
>
> Ich seh jetzt leider nicht, dass die Beiträge zum
> Jahresende, wenn ich den Tilgungsplan z. B. mit dem
> Kreditrechner aufstelle gleich sind.
>
Bei Aufgabe a) beträgt die Laufzeit des Kredit nicht 8 sondern nur 7,11 Jahre. Auch hier ist die jährliche Zahlung nicht durch 12 * 1500 zu ermitteln, sondern nach der von Dir oben genannten Formel, wobei n=7,11 und nicht 8 ist. Dann sind die Ergebnisse wieder gleich (abgesehen von kleinen Rundungsfehlern).
Daß rechnerisch am Ende etwa des ersten Jahres bei dieser Monatszinsermittlung das gleiche getilgt ist wie bei einer Zahlung zum Jahresende, ergibt sich allgemein aus der nachstehenden Darstellung mit [mm] q_m [/mm] bezogen auf den Monatszins und [mm] q_j [/mm] auf den Jahreszins, S für den Kredit, [mm] r_m [/mm] für die monatliche Rate sowie n=96 Monate bzw. 8 Jahre:
$ [mm] q_m=q_j^{\bruch{1}{12}} [/mm] $
$ [mm] r_m=\bruch{S \cdot \left(q_m-1\right)\cdot q_m^{96}}{q_m^{96}-1}=\bruch{S \cdot \left(q_m-1\right)\cdot q_j^{8}}{q_j^{8}-1} [/mm] $
Die monatliche Rate setzt sich aus einem Zinsanteil Z und einem Tilgungsanteil T zusammen, also für die erste Rate
$ [mm] r_m= Z_1 [/mm] + [mm] T_1 [/mm] $ und
$ [mm] T_1=r_m [/mm] - [mm] Z_1= \bruch{S \cdot \left(q_m-1\right)\cdot q_j^{8}}{q_j^{8}-1} [/mm] - [mm] S\cdot \left(q_m -1\right) [/mm] $
Da sich mit jeder Zahlung die Tilgung um [mm] q_m [/mm] erhöht und sich die Zinsen entsprechend reduzieren, ist die Summe der Tilgungsanteile die Summe einer geometrischen Reihe. Für das erste Jahr heißt das:
$ [mm] \summe_{n=1}^{12}T_n [/mm] = [mm] T_1 \cdot \bruch{q_m^{12}-1}{q_m-1}= T_1 \cdot \bruch{q_j-1}{q_m-1} [/mm] $
Setzt man hier [mm] T_1 [/mm] ein, sieht man, daß die Aussage, die Tilgung bei 12 monatlichen Zahlungen ist gleich hoch wie die bei einer Jahreszahlung, bei dieser Umrechnung des Jahres- auf den Monatszins richtig ist.
Der Kreditrechner im Internet folgt allerdings nicht dieser Zinsberechnung, so daß die Ergebnisse nicht vergleichbar sind. Er geht in der Weise vor, wie ich es in einer der vorherigen Antworten zur Bankpraxis beschrieben habe.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Crashday |
Okay, also wenn ich jetzt einen Tilgungsplan erstellen möchte (jährlich) jetzt für a), dann lautet die jährliche Rate 18898.92. Formel:
r = [mm] \bruch{90000*1.11^{7.11}*(1.11-1)}{1.11^{7.11}-1}
[/mm]
Das kann ich aber doch erst machen, wenn ich die Laufzeit von der nachschüssigen Monatsrate berechnet habe da ich sonst die Laufzeit in die Formel nicht einsetzen kann, oder?
Wie lautet bei Aufgabe b) nun die Antwort?:
Nachschüssige Monatsrate: 1388,71
Annuitätentilgung: 17488.89
Tilgungsplan habe ich bei b) verstanden und komme ebenfalls auf dieselbe Laufzeit (monatlich sowie jährlich)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Okay, also wenn ich jetzt einen Tilgungsplan erstellen
> möchte (jährlich) jetzt für a), dann lautet die
> jährliche Rate 18898.92. Formel:
>
> r = [mm]\bruch{90000*1.11^{7.11}*(1.11-1)}{1.11^{7.11}-1}[/mm]
>
die Formel stimmt. Allerdings ist das Ergebnis gerundet, da die Laufzeit nicht genau 7,11 Jahre ist.
> Das kann ich aber doch erst machen, wenn ich die Laufzeit
> von der nachschüssigen Monatsrate berechnet habe da ich
> sonst die Laufzeit in die Formel nicht einsetzen kann,
> oder?
>
Die Laufzeit in Monaten hast Du doch schon bei der letzten Frage ausgerechnet mit 85,37 Monaten. Ich bin hier auf das Ergebnis 85,37710391 gekommen. Wenn Du das durch 12 teilst, und damit mit der oben genannten Formel rechnest, kommst Du auf die Jahresrate von 18.890,40. Und die Monatsrate beträgt 1.500. Ich komme mit diesen beiden Werten bei einem Tilgungsplan auf identische Tilgungsleistungen am Jahresende.
> Wie lautet bei Aufgabe b) nun die Antwort?:
> Nachschüssige Monatsrate: 1388,71
> Annuitätentilgung: 17488.89
>
Ja, das ist jedenfalls mein Ergebnis.
> Tilgungsplan habe ich bei b) verstanden und komme ebenfalls
> auf dieselbe Laufzeit (monatlich sowie jährlich)
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Fr 17.05.2013 | | Autor: | Crashday |
So dankeschön, habe die Tilgungspläne samt den Rechnungen alle verstanden. Ich habe jetzt aber noch eine Zusatzaufgabe und zwar, dass ich die Berechnungen durch andere Kreditzinssätze verwenden soll. Ich weiß aber leider nicht wirklich, welche Kreditzinssätze denn hier Sinn machen würden. Es steht noch, dass es ein auf weitgehende freiwilliger Basis ein größerer Umfang der Variationen ist (leider versteh ich das ebenfalls nicht).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Fr 17.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
bitte gerne. Leider kann ich dazu nicht viel sagen. Du hast ausgerechnet die Laufzeit bei einer monatlichen Rate von 1.500 sowie die Rate bei einer Laufzeit von 8 Jahren, in beiden Fällen mit einem Zinssatz von 11% p.a. Denkbar ist auch zu berechnen, bei welchem Zinssatz bzw. q die Laufzeit bei einer monatlichen Rate von 1.500 genau 8 Jahre ist. Allerdings ist das nicht so einfach, weil man hier nur mit einer Näherungsrechnung weiterkommt wegen [mm] q^n. [/mm] Man kann das Newton- oder Sekantenverfahren anwenden - oder bei Excel mit der Zielwertfunktion arbeiten. Ich bin jetzt einige Tage verreist und kann deswegen leider nicht mehr schnell antworten.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 19.05.2013 | | Autor: | Crashday |
Wäre es vielleicht auch möglich, wenn die Rendite sowie der Kredit gleich bleiben nur der Zinssatz also i sich verändert, um dann zu schauen, wie lange die Laufzeit dann immer so beträge? Man könnte es auch mit einer höheren Rendite z. B. versuchen. Das wär jetzt so meine Idee.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
wenn sich der Zinssatz ändert, sollte sich, solange die Auszahlung bei 100% bleibt, auch die Rendite ändern. Aber ansonsten ist das von Dir vorgeschlagene Vorgehen auch eine Möglichkeit.
Gruß
Staffan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Di 28.05.2013 | | Autor: | Crashday |
Es hat alles super geklappt! Vielen Dank nochmal für deine Geduld und deine Hilfe :)
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