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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Di 17.03.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
lim (x gegen 0) x - tanx/ x- sinx |
Ich habe es mit der Regel von L´Hospital versucht, da die Ableitung aber im Nenner dann 1 - cos(x) würde das 1- 1 sein was aber nicht sein darf...
Brauche dringend Hilfe
gruss Stevie
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Hallo Stevie,
> Berechnen Sie:
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> [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\tan(x)}{x-\sin(x)}$
[/mm]
> Ich habe es mit der Regel von L´Hospital versucht, da die
> Ableitung aber im Nenner dann [mm] $1-\cos(x)$ [/mm] würde das 1- 1
> sein was aber nicht sein darf...
Naja, im Zähler bekommst du dafür [mm] $-\tan^2(x)$, [/mm] was für [mm] $x\to [/mm] 0$ auch gegen 0 stregt, also strebt der Quotient nach der ersten Anwendung der Regel von de l'Hôpital gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Es spricht also nichts dagegen, die Regel nochmal anzuwenden ....
Wenn ich das so auf die Schnelle mit dem heißen Bleistift überblicke, musst du die Regel von de l'Hôpital insgesamt dreimal anwenden ...
Aber immer schauen, ob die Voraussetzungen dafür auch erfüllt sind 
>
> Brauche dringend Hilfe
>
> gruss Stevie
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Di 17.03.2009 | | Autor: | StevieG |
f'(x) = 1- 1/cos²(x)
g'(x)= 1- cos (x)
f'' (x) = 2sin(x)/cos³(x)
g''(x) = sin(x)
f'''(x) = [mm] 6sin²(x)/cos^4(x)
[/mm]
g'''(x) = cos(x)
0 eingesetzt: 6 *0/1 /cos(0) = 0/1 / 1 = 0
somit : lim xgegen 0 x-tanx/x-sinx = 0
Ich würde mich freuen ob die Ableitungen richtig sind??
gruss
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Hallo nochmal,
> f'(x) = 1- 1/cos²(x)
> g'(x)= 1- cos (x)
>
> f'' (x) = [mm] \red{-}2sin(x)/cos³(x)
[/mm]
> g''(x) = sin(x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") bis auf einen VZF bei $f''(x)$
Damit dann [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f''(x)}{g''(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{-2\sin(x)}{\cos^3(x)}}{\sin(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-2}{\cos^3(x)}=-2$
[/mm]
fertig
Ich hatte mit dem Tangens weiter rumgewurschtelt und irgendwie eine Ableitung mehr gebraucht, kam aber auch auf -2
>
> f'''(x) = [mm]6sin²(x)/cos^4(x)[/mm]
> g'''(x) = cos(x)
>
> 0 eingesetzt: 6 *0/1 /cos(0) = 0/1 / 1 = 0
>
> somit : lim xgegen 0 x-tanx/x-sinx = 0
>
> Ich würde mich freuen ob die Ableitungen richtig sind??
>
> gruss
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Di 17.03.2009 | | Autor: | StevieG |
1/cos²(x) ' = 0* cos²(x) - 1 * (-2*sinx *cosx) / (cos²x)² = 2 sinx cosx/cos^4x=
2sin(x)/cos³(x) woher kommt das minus??
gruss
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Hallo nochmal,
> 1/cos²(x) ' = 0* cos²(x) - 1 * (-2*sinx *cosx) / (cos²x)² =
> 2 sinx cosx/cos^4x=
>
> 2sin(x)/cos³(x) woher kommt das minus??
Schaue mal scharf auf $f'(x)$, da steht [mm] $1\red{-}\frac{1}{\cos^2(x)}$
[/mm]
Also musst du [mm] $1-\frac{1}{\cos^2(x)}$ [/mm] ableiten ...
>
> gruss
LG
schachuzipus
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