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| Aufgabe | Für welche Zahlenpaare $(a,b)$ hat das Gleichungssystem
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[mm] x_1+x_2-x_3 [/mm] = 1
[mm] 2x_1+(a+2)x_2+(b-2)x_3 [/mm] = 3
[mm] -3x_1 [/mm] + [mm] (2a-3)x_2 [/mm] + [mm] (a^2-b^2+2b+3)x_3 [/mm] = a-b-1
$$
keine, genau eine, unendlich viele Lößungen? Bestimmen sie jeweils die Lößungsmenge in Abhängigkeit von $a$ und $b$. |
Hallo,
ich habe zuerst Gleichung I nach [mm] $x_1$ [/mm] aufgelöst und in Gleichung II eingesetzt. Dann nach [mm] $x_2$ [/mm] aufgelöst.
[mm] $x_2=\frac{1-bx_3}{a}$
[/mm]
Somit ist [mm] $x_1=1- \frac{1-bx_3}{a}+x_3$
[/mm]
Dann in Gleichung III sowohl [mm] $x_1$ [/mm] als auch [mm] $x_2$ [/mm] einsetzen und nach [mm] $x_3$ [/mm] auflösen. (kürzt sich einiges weg!)
[mm] $x_3=\frac{a-b}{a^2-b^2}
[/mm]
Dann in [mm] $x_1$:
[/mm]
[mm] $x_1=1- \frac{1-b \frac{a-b}{a^2-b^2}}{a}+ \frac{a-b}{a^2-b^2}$
[/mm]
sinnvoll ergänzen, auf HN bringen:
[mm] $=1-\frac{a-b}{a^2-b^2} +\frac{a-b}{a^2-b^2}$
[/mm]
Wobei das dann ja: [mm] $1-2x_3$ [/mm] ist.
Und [mm] $x_2=x_3$
[/mm]
Ich hoffe das stimmt soweit. Da sich einiges wegkürzt, müsste es eigtl richtig sein. Aber nun steck ich fest, was kann ich nun machen? Stimmt das überhaupt soweit?
lg,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für welche Zahlenpaare [mm](a,b)[/mm] hat das Gleichungssystem
>
> [mm][/mm]
> [mm]x_1+x_2-x_3[/mm] = 1
> [mm]2x_1+(a+2)x_2+(b-2)x_3[/mm] = 3
> [mm]-3x_1[/mm] + [mm](2a-3)x_2[/mm] + [mm](a^2-b^2+2b+3)x_3[/mm] = a-b-1
> [mm][/mm]
>
> keine, genau eine, unendlich viele Lößungen? Bestimmen
> sie jeweils die Lößungsmenge in Abhängigkeit von [mm]a[/mm] und
> [mm]b[/mm].
> Hallo,
>
> ich habe zuerst Gleichung I nach [mm]x_1[/mm] aufgelöst und in
> Gleichung II eingesetzt. Dann nach [mm]x_2[/mm] aufgelöst.
>
> [mm]x_2=\frac{1-bx_3}{a}[/mm]
Ich habs nicht nachgerechnet, aber was machst Du im Falle a=0 ?
>
> Somit ist [mm]x_1=1- \frac{1-bx_3}{a}+x_3[/mm]
>
> Dann in Gleichung III sowohl [mm]x_1[/mm] als auch [mm]x_2[/mm] einsetzen und
> nach [mm]x_3[/mm] auflösen. (kürzt sich einiges weg!)
>
> [mm]$x_3=\frac{a-b}{a^2-b^2}[/mm]
Was machst Du im Falle [mm] a^2=b^2 [/mm] ?
>
> Dann in [mm]x_1[/mm]:
>
> [mm]x_1=1- \frac{1-b \frac{a-b}{a^2-b^2}}{a}+ \frac{a-b}{a^2-b^2}[/mm]
>
> sinnvoll ergänzen, auf HN bringen:
>
> [mm]=1-\frac{a-b}{a^2-b^2} +\frac{a-b}{a^2-b^2}[/mm]
>
> Wobei das dann ja: [mm]1-2x_3[/mm] ist.
>
> Und [mm]x_2=x_3[/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt soweit. Da sich einiges wegkürzt,
> müsste es eigtl richtig sein. Aber nun steck ich fest, was
> kann ich nun machen? Stimmt das überhaupt soweit?
Keine Ahnung. Du gehst völlig unsystematisch vor ! Benutze den Gauß -Alg. und bringe das LGS auf Stufenform. Das geht hier wunderbar.
Du solltest folgendes bekommen:
[mm] x_1+x_2-x_3=1
[/mm]
[mm] ax_2+bx_3=1
[/mm]
[mm] (a^2-b^2+3)x_3=a-b
[/mm]
FRED
>
> lg,
> Michael
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Hallo,
ja, mit dem Gauss hab ichs auch beim 2. mal probiert, da komme ich genau auf deine Lößung, das ist schonmal gut. Ich hielt nur meinen 1. Versuch für übersichtlicher ;)
Nun kann ich ja nach [mm] $x_3$ [/mm] auflösen und diskutieren wann ich eine Lsg usw habe. Dann [mm] $x_3$ [/mm] iin die 2. Gleichung einsetzen und wieder diskutieren usw.
Ist das Vorgehen so korrekt?
mfg,
Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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