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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 So 28.06.2009 | | Autor: | cantor |
| Aufgabe | Sei $U$ in [mm] $\IC$ [/mm] offen und [mm] $(K_{n})$ [/mm] eine kompakte Ausschöpfung von U. Zeige
$d(f,g) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \bruch{||f-g||_{K_{n}}}{1+ ||f-g||_{K_{n}}}$
[/mm]
ist eine Metrik auf [mm] $\mathcal{O} [/mm] (U)$ ist, welche die Topologie der kompakten Konvergenz induziert. |
Hi!
3 der vier Metrik-Eigenschaften sind kein Problem, aber mit der Dreiecksungleichung komme ich nicht zurecht, kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!!!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]U[/mm] in [mm]\IC[/mm] offen und [mm](K_{n})[/mm] eine kompakte Ausschöpfung
> von U. Zeige
> [mm]d(f,g) = \summe_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \bruch{||f-g||_{K_{n}}}{1+ ||f-g||_{K_{n}}}[/mm]
>
> ist eine Metrik auf [mm]\mathcal{O} (U)[/mm] ist, welche die
> Topologie der kompakten Konvergenz induziert.
> Hi!
>
> 3 der vier Metrik-Eigenschaften sind kein Problem, aber mit
> der Dreiecksungleichung komme ich nicht zurecht, kann mir
> da jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank!!!
>
> LG
Ist d eine Metrik, so ist [mm] \frac{d}{1+d} [/mm] ebenfalls eine Metrik, denn die Funktion [mm]x \mapsto \frac{x}{1+x}[/mm] ist streng monoton steigend, bildet Null auf Null ab und ist konkav.
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