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| Aufgabe | Berechnen Sie die inneren Punkte, die Randpunkte und die Häufigkeitspunkte der Teilmengen [mm] $M_{1}=\IZ \times \IZ$ [/mm] und [mm] $M_{2}=\IQ \times \IQ$ [/mm] von [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Was sind [mm] ($M_{1}$)°,($M_{2}$)°,$\overline{M_{1}}$,$\overline{M_{2}}$? [/mm] |
Bei der Lösung dieser Aufgabe stoße ich auf ein Probblem.
Nach meiner Definition, bzw. nachdem wie ich die Definition des inneren Punktes verstehe, sind alle Punkte in [mm] $M_{1}$ [/mm] innere Punkte.
[mm] $M_{1}=\{(a,b) | a\in \IZ$ und $b\in \IZ\}$
[/mm]
Also gilt für alle $a,b$ dass sie in $M$ liegen.
Desweiteren habe ich hier eine Definition, die besagt, dass jede Teilmenge [mm] $M\subseteq \IR^n$ [/mm] offen heißt, falls jder Punkt in M innerer Punkt von M ist.
Das ist doch hier der Fall, oder?
Lässt sich die Definition umkehren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nach meiner Definition, bzw. nachdem wie ich die
> Definition des inneren Punktes verstehe, sind alle Punkte
> in [mm]M_{1}[/mm] innere Punkte.
Nein, das sind sie nach gängigen Definitionen nicht. Raus damit, wie du sie verstehst! Zeig uns, wie du die Aussage beweist!
SEcki
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Aber
$ [mm] M_{1}=\{(a,b) | a\in \IZ $ und $ b\in \IZ\} [/mm] $
stimmt doch.
Ich glaube ich brauche einen Stein des Anstoßes.
Wenn ich mir nur [mm] \IZ [/mm] anschaue, im intervall [mm] $\]-\infty,\infty[ [/mm] dann sind alle [mm] $a\in \IZ$ [/mm] doch innere Punkte. oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 13.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber
>
>
> [mm]M_{1}=\{(a,b) | a\in \IZ[/mm] und [mm]b\in \IZ\}[/mm]
>
> stimmt doch.
>
> Ich glaube ich brauche einen Stein des Anstoßes.
>
> Wenn ich mir nur [mm]\IZ[/mm] anschaue, im intervall
> [mm]]-\infty,\infty[[/mm] dann sind alle [mm]a\in \IZ[/mm] doch innere
> Punkte. oder ?
Ich glaube, du verwechselst die Elemente der Menge [mm] $M_1$ [/mm] mit ihren inneren Punkten. Ersteres ist von der Definition der offenen Menge unabhängig, letzteres nicht. Wenn ein beliebiges $a [mm] \in\IZ$ [/mm] ein innerer Punkt wäre, dann müssten für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] alle Punkte aus dem offenen Intervall [mm] $]a-\epsilon,a+\epsilon[$ [/mm] auch zu [mm] $M_1$ [/mm] gehören, was offensichtlich nicht der Fall ist. Vergleiche dies mit der Definition des isolierten Punktes!
Viele Grüße
Rainer
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