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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \subset \IR. [/mm] Man Zeige dass sie Menge der Randpunkte von A eine abgeschlossene Menge ist. |
Meine Gedanken dazu:
Abgeschlossene Menge bedeutet dass sie all ihre Randpunkte ethält.
Also müssen wir schauen ob die Menge der Randpunkte ihre Randpunkte enthält?
Menge der Randpunkte = Hülle von A [mm] \cap [/mm] Hülle vom Komplement von A
[mm] \IR [/mm] = innere Punkte von A [mm] \cup [/mm] Randpunkte von A [mm] \cup [/mm] Komplement des inneren von A
Das Komplement vom Rand von A = Das innere von A [mm] \cup [/mm] das innere vom Komplement von A
Also ist der Rand von A = das Komplement von ( Das innere von A [mm] \cup [/mm] das innere vom Komplement von A)
Innere Punkte -> ist immer offen
Also Komplement -> abgeschlossen.
Könnte ihr mir helfen, meine gedanken zu einen Beweiß zu bringen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Deine Aussagen sind zwar alle richtig, aber für den Beweis brauchst Du nur die erste, eine Regel über den Durchschnitt zweier offener bzw. abgeschlossener Mengen und eine Eigenschaft der Hülle einer beliebigen Menge.
Kommst Du jetzt selber drauf?
Gruß
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Meinst du
Randpunkte von A = Hülle von A vereinigt Komplement der Hülle von A
> eine Regel über den Durchschnitt zweier offener bzw. abgeschlossener Mengen
Der Durchschnitt zweier offener Mengen ist wieder eine offene Menge. bzw. für geschlossene . (muss ich das auch beweisen?, weil ich hab es im Internet nachgeschlagen, kam nicht in Vorlesung vor)
Hülle = A + Rand von A
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Meinst du
> Randpunkte von A = Hülle von A vereinigt Komplement der
> Hülle von A
War das nicht:
Randpunkte von A = Hülle von A geschnitten mit der Hülle des Komplements von A?
Wenn das eine Definition oder ein Satz Eurer Vorlesung ist, und wenn ihr benutzen dürft, daß Hüllen abgeschlossen sind, dann ist der Rand als Durchschnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen.
>
> > eine Regel über den Durchschnitt zweier offener bzw.
> abgeschlossener Mengen
> Der Durchschnitt zweier offener Mengen ist wieder eine
> offene Menge. bzw. für geschlossene . (muss ich das auch
> beweisen?, weil ich hab es im Internet nachgeschlagen, kam
> nicht in Vorlesung vor)
Wenn das in der Vorlesung nicht kam, mußt Du es beweisen.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 06.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Hab ander versucht: (da ich den beweis nicht schaffe)
[mm] \partial [/mm] .. Rand
^C ... Komplement
^0 ..., Innere
[mm] \IR [/mm] = [mm] A^0 \cup \partial [/mm] A [mm] \cup (A^c)^0
[/mm]
[mm] (\partial A)^c [/mm] = [mm] A^0 \cup (A^c)^0
[/mm]
[mm] \partial [/mm] A = [mm] (A^0 \cup (A^c)^0)^C
[/mm]
Jetzt muss ich nur irgendwie zeigen, dass [mm] A^0 \cup (A^c)^0 [/mm] eine offene Menge ist unda daher das komplement eine abgeschlossene Menge ist.
Ideen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 06.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Jetzt
> muss ich nur irgendwie zeigen, dass [mm]A^0 \cup (A^c)^0[/mm] eine
> offene Menge ist unda daher das komplement eine
> abgeschlossene Menge ist.
> Ideen?
Ja. Das hängt davon ab, wie Ihr offen und "Inneres" definiert habt und welche Eigenschaften offener Mengen benutzt werden dürfen. Ich habe ja schon Vorschläge gemacht, kenne aber Eure Vorlesung nicht.
Habt Ihr gezeigt, daß das Innere einer Menge immer offen ist?
Habt ihr gezeigt, daß die Vereinigung zweier offener Menge offen ist?
Wenn ja, ist Dein Beweis fertig.
Wenn nein, versuche, Fehlendes selbst zu zeigen.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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