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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Di 29.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Sei [mm] X:=\{1,2,3\}. [/mm] Bestimmen Sie alle Topologien von X. |
Hallo! Würde die Aufgabe gern zur Korrektur reinstellen, um sicher zu gehen, dass ich es richtig verstanden habe. Vielen Dank schonmal fürs drüber schauen! :)
Mir liegt die Definition vor: Ein System von Teilmengen von X heißt Topologie auf X, wenn es die Bedingungen erfüllt:
i) $ [mm] \emptyset \in [/mm] V, \ \ X [mm] \in [/mm] V $
ii) $ [mm] O_i \in [/mm] V [mm] \Rightarrow \bigcup_{i\in I}{O_i}\in [/mm] V \ \ \ [mm] (i\in [/mm] I) $
iii) $ [mm] O_1,...,O_n \in [/mm] V [mm] \Rightarrow \bigcap_{i=1}^{n}O_i \in [/mm] V $
Also wären zum Beispiel die folgenden Mengenfamilien Topologien auf X:
$ [mm] T_1=\{\emptyset, \ \{1,2,3\}\} [/mm] $
$ [mm] T_2=\{\emptyset, \ \{1\}, \ \{2 \}, \ \{1,2\}, \ \{1,2,3\} \} [/mm] $
$ [mm] T_3=\{\emptyset, \ \{2\}, \ \{1,2 \}, \ \{2,3\}, \ \{1,2,3\} \} [/mm] $
Also so, dass die Vereinigung beliebiger Mengen aus [mm] T_i [/mm] in [mm] T_i [/mm] liegt und der Schnitt ebenfalls.
Insgesamt komme ich auf 23 Topologien.
Ist die Notation so richtig und vor allem: Habe ich das so richtig verstanden?
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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Die Notation stimmt und du hast das richtig verstanden. Deine drei Beispiele sind auch alle Topologien auf X.
Zwei Sachen noch: bei der Definition fehlt ein V ("Ein System V von Teilmengen von X".
Und dann noch: bei diesem Beispiel sind natürlich endliche und beliebige Durchschnitte das gleiche, im Allgemeinen sind jedenfalls beliebige Vereinungen und (nur) endliche Durchschnitte von Elementen aus V wieder in V.
Ob es wirklich 23 Topologien sind, dazu habe ich leider keine Zeit im Moment.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]X:=\{1,2,3\}.[/mm] Bestimmen Sie alle Topologien von X.
> Hallo! Würde die Aufgabe gern zur Korrektur reinstellen,
> um sicher zu gehen, dass ich es richtig verstanden habe.
> Vielen Dank schonmal fürs drüber schauen! :)
>
> Mir liegt die Definition vor: Ein System von Teilmengen von
> X heißt Topologie auf X, wenn es die Bedingungen
> erfüllt:
>
> i) [mm]\emptyset \in V, \ \ X \in V[/mm]
>
> ii) [mm]O_i \in V \Rightarrow \bigcup_{i\in I}{O_i}\in V \ \ \ (i\in I)[/mm]
>
> iii) [mm]O_1,...,O_n \in V \Rightarrow \bigcap_{i=1}^{n}O_i \in V[/mm]
>
> Also wären zum Beispiel die folgenden Mengenfamilien
> Topologien auf X:
>
> [mm]T_1=\{\emptyset, \ \{1,2,3\}\}[/mm]
>
> [mm]T_2=\{\emptyset, \ \{1\}, \ \{2 \}, \ \{1,2\}, \ \{1,2,3\} \}[/mm]
>
> [mm]T_3=\{\emptyset, \ \{2\}, \ \{1,2 \}, \ \{2,3\}, \ \{1,2,3\} \}[/mm]
>
> Also so, dass die Vereinigung beliebiger Mengen aus [mm]T_i[/mm] in
> [mm]T_i[/mm] liegt und der Schnitt ebenfalls.
> Insgesamt komme ich auf 23 Topologien.
Das stimmt nicht. Schau mal hier:
[mm] http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_topological_space#Number_of_topologies_on_a_finite_set
[/mm]
FRED
>
> Ist die Notation so richtig und vor allem: Habe ich das so
> richtig verstanden?
>
> Vielen Dank und lieben Gruß,
> chesn
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Di 29.05.2012 | | Autor: | chesn |
Oh, tausend Dank! Hatte ein paar übersehen.
Gruß,
chesn
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