Topologien vergleichen, gröber < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \tau_1 [/mm] , [mm] \tau_2 [/mm] Topologien auf X
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X sind [mm] B^1 [/mm] (x), [mm] B^2(x) [/mm] Umgebungsbasen bei x bzgl [mm] \tau_1 [/mm] , [mm] \tau_2
[/mm]
ZZ.: [mm] \tau_1 [/mm] ist gröber als [mm] \tau_2
[/mm]
<=> [mm] \forall x\in [/mm] X [mm] \forall B^1 \in B^1(x) \exists B^2 \in B^2(x): B^2 \subseteq B^1 [/mm] |
=> [mm] \tau_1 [/mm] gröber als [mm] \tau_2
[/mm]
-> [mm] \tau_1 \subseteq \tau_2
[/mm]
Jede in [mm] \tau_1 [/mm] offene Menge auch in [mm] \tau_2 [/mm] offen.
Wenn Inklusion ist jedes Umgebung von [mm] \tau_1 [/mm] auch eine Umgebung im Sinne von [mm] \tau_2
[/mm]
Also [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \forall U^1 \in U^1 [/mm] (x) : [mm] U^1 [/mm] (x) [mm] \subseteq U^2 [/mm] (x)
[mm] B^1 [/mm] (x) [mm] \subseteq U^1 [/mm] (x) ist Umgebungsbasiis bei x fall es zu jedem [mm] U^1 \in U^1 [/mm] (x) [mm] \exists [/mm] V [mm] \in B^1 [/mm] (x) : V [mm] \subseteq U^1
[/mm]
Ich komme nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:54 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\tau_1[/mm] , [mm]\tau_2[/mm] Topologien auf X
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X sind [mm]B^1[/mm] (x), [mm]B^2(x)[/mm] Umgebungsbasen bei x
> bzgl [mm]\tau_1[/mm] , [mm]\tau_2[/mm]
>
> ZZ.: [mm]\tau_1[/mm] ist gröber als [mm]\tau_2[/mm]
> <=> [mm]\forall x\in[/mm] X [mm]\forall B^1 \in B^1(x) \exists B^2 \in B^2(x): B^2 \subseteq B^1[/mm]
Dies Bez. sind nicht gut ! Schreiben wir lieber:
ZZ.: [mm]\tau_1[/mm] ist gröber als [mm]\tau_2[/mm]
<=>
[mm]\forall x\in[/mm] X [mm]\forall B_1 \in B^1(x) \exists B_2 \in B^2(x): B^2 \subseteq B^1[/mm]
>
> => [mm]\tau_1[/mm] gröber als [mm]\tau_2[/mm]
> -> [mm]\tau_1 \subseteq \tau_2[/mm]
> Jede in [mm]\tau_1[/mm] offene Menge
> auch in [mm]\tau_2[/mm] offen.
> Wenn Inklusion ist jedes Umgebung von [mm]\tau_1[/mm] auch eine
> Umgebung im Sinne von [mm]\tau_2[/mm]
> Also [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X [mm]\forall U^1 \in U^1[/mm] (x) : [mm]U^1[/mm] (x)
> [mm]\subseteq U^2[/mm] (x)
>
> [mm]B^1[/mm] (x) [mm]\subseteq U^1[/mm] (x) ist Umgebungsbasiis bei x fall es
> zu jedem [mm]U^1 \in U^1[/mm] (x) [mm]\exists[/mm] V [mm]\in B^1[/mm] (x) : V
> [mm]\subseteq U^1[/mm]
>
> Ich komme nicht weiter.
Sei x [mm] \in [/mm] X und [mm] B_1 \in B^1(x). [/mm] Dann ist [mm] B_1 [/mm] eine [mm] \tau_1 [/mm] - Umgebung von x.
Wegen [mm]\tau_1 \subseteq \tau_2[/mm] , ist [mm] B_1 [/mm] auch eine [mm] \tau_2 [/mm] - Umgebung von x.
Somit gibt es ein [mm] B_2 \in B^2(x) [/mm] mit [mm] B_2 \subseteq B_1.
[/mm]
FRED
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Danke .
Aber wie geht die umgekehrte Richtung?
<= [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \forall B_1 \in B^1 [/mm] (x) [mm] \exists B_2 \in B^2 [/mm] (x) : [mm] B_2 \subseteq B_1
[/mm]
( $ [mm] B_1 [/mm] $ (x) $ [mm] \subseteq U^1 [/mm] $ (x) ist Umgebungsbasiis bei x falls es
zu jedem $ [mm] U_1 \in U^1 [/mm] $ (x) $ [mm] \exists [/mm] $ V $ [mm] \in B^1 [/mm] $ (x) : V $ [mm] \subseteq U_1 [/mm] $ )
Da steh ich etwas auf den schlauch um aus [mm] \tau_1 \subseteq \tau_2 [/mm] zu kommen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke .
> Aber wie geht die umgekehrte Richtung?
>
> <= [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X [mm]\forall B_1 \in B^1[/mm] (x) [mm]\exists B_2 \in B^2[/mm]
> (x) : [mm]B_2 \subseteq B_1[/mm]
> ( [mm]B_1[/mm] (x) [mm]\subseteq U^1[/mm] (x) ist
> Umgebungsbasiis bei x falls es
> zu jedem [mm]U_1 \in U^1[/mm] (x) [mm]\exists[/mm] V [mm]\in B^1[/mm] (x) : V
> [mm]\subseteq U_1[/mm] )
> Da steh ich etwas auf den schlauch um aus [mm]\tau_1 \subseteq \tau_2[/mm]
> zu kommen
Sei A [mm] \i [/mm] n [mm] \tau_1, [/mm] A sei also [mm] \tau_1 [/mm] - offen
Zeigen mußt Du A [mm] \in \tau_2. [/mm] Dazu zeige: ist x [mm] \in [/mm] A, so ex. ein [mm] B_2 \in B^2(x) [/mm] mit [mm] B_2 \subseteq [/mm] A.
FRED
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> ex. ein $ [mm] B_2 \in B^2(x) [/mm] $ mit $ [mm] B_2 \subseteq [/mm] $ A.
A sei also $ [mm] \tau_1 [/mm] $ - offen
Eine Umgebung im Sinne von [mm] \tau_1 [/mm] wäre ja dann eine Obermenge von A.
Wie kannst du daraus aus die Umgebungsbasen schließen? Sodass du die vOrrausetzung anwenden kannst?
Außerdem ich weiß doch gar nicht was die offenen mengen [mm] \in \tau_2 [/mm] charaktersisieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > ex. ein [mm]B_2 \in B^2(x)[/mm] mit [mm]B_2 \subseteq[/mm] A.
>
> A sei also [mm]\tau_1[/mm] - offen
> Eine Umgebung im Sinne von [mm]\tau_1[/mm] wäre ja dann eine
> Obermenge von A.
> Wie kannst du daraus aus die Umgebungsbasen schließen?
> Sodass du die vOrrausetzung anwenden kannst?
>
>
> Außerdem ich weiß doch gar nicht was die offenen mengen
> [mm]\in \tau_2[/mm] charaktersisieren?
Mann, Mann.
Allgemein: ist [mm] \tau [/mm] eine Topologie auf X und ist für x [mm] \in [/mm] X das System [mm] \mathcal{B}(x) [/mm] eine Umgebungsbasis von x, so gilt doch für eine Teilmenge A von X:
A [mm] \in \tau \gdw [/mm] zu jedem x [mm] \in [/mm] A ex. ein B [mm] \in \mathcal{B}(x): [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A.
FRED
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Dann müsste aber A in B1 sein damit ich die Vorraussetzung Anwenden kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Dann müsste aber A in B1 sein damit ich die Vorraussetzung
> Anwenden kann?
Was ? Das ist doch Quatsch !
FRED
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