www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-SonstigesTopologische Grundbegriffe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Topologische Grundbegriffe
Topologische Grundbegriffe < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Topologische Grundbegriffe: Richtiger Ansatzwahl
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Di 10.03.2009
Autor: Sacha

Aufgabe
Es seien (X,d) ein metrischer Raum, K [mm] \subset [/mm] X kompakt und [mm] A\subset [/mm] X eine beliebige Teilmenge. Zeige:
Sei a [mm] \in [/mm] von X und r positiv. Ist Kr(a)={x [mm] \in [/mm] von X: d(x,a) [mm] \le [/mm] r} kompakt?  

Ich versuchte diese Aufgabe mit einem Gegenbeispiel zu lösen, d.h. mit der diskreten Metrik, kam aber auf keinen grünen Zweig. Deshalb ist meine Frage, ob man es anders zeigen kann oder was ich bei meinem Ansatz beachten muss? Danke jetzt schon all jenen, die mir helfen können!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Topologische Grundbegriffe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Di 10.03.2009
Autor: Merle23


> Es seien (X,d) ein metrischer Raum, K [mm]\subset[/mm] X kompakt und
> [mm]A\subset[/mm] X eine beliebige Teilmenge. Zeige:
>  Sei a [mm]\in[/mm] von X und r positiv. Ist Kr(a)=[mm]\{x\in[/mm]X:
> d(x,a) [mm]\le r\}[/mm] kompakt?

Man sollte sich erst fragen, warum in den Angaben ein kompaktes K und ein A gegeben sind, wenn doch die Aufgabe nix damit zu tun hat.
Wahrscheinlich nur zur Verwirrung der Studenten ^^

> Ich versuchte diese Aufgabe mit einem Gegenbeispiel zu
> lösen, d.h. mit der diskreten Metrik, kam aber auf keinen
> grünen Zweig. Deshalb ist meine Frage, ob man es anders
> zeigen kann oder was ich bei meinem Ansatz beachten muss?

Du suchst ein Gegenbeispiel, ok. Würdest du also auf die Frage aus der Aufgabenstellung mit "Nie." oder "Nicht immer." antworten?

Nun zu deiner eigentlichen Frage: Betrachte doch (in der diskreten Metrik) den Kreis mit Radius 1 um irgend einen Punkt.

Bezug
                
Bezug
Topologische Grundbegriffe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:56 Di 10.03.2009
Autor: Sacha

Ja in der diskreten Metrik habe ich ja für a [mm] \not= [/mm] x eine 1, das erfüllt die Aussage, und wenn a gerade x ist ist die Metrik auch 0 und erfült die bedinung auch .. also heisst aber, das dies radien grösser als ein erfüllen und nicht alle radien ... doch was hat das mit der frage nach der kompaktheit zu tun? ... dieses gaanze thema ist onehin so verwirrend *G* hehe

Bezug
                
Bezug
Topologische Grundbegriffe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Di 10.03.2009
Autor: Sacha

Ja in der diskreten Metrik habe ich ja für a [mm] \not= [/mm] x eine 1, das erfüllt die Aussage, und wenn a gerade x ist, ist die Metrik auch 0 und erfüllt die Bedingung auch .. also heisst das, dass die Radien grösser als eins diese Bedinung für K erfüllen also somit nicht alle positiven radien... doch was hat das alles mit der frage nach der kompaktheit zu tun? ... dieses ganze thema ist wirklich verwirrend *G* hehe

Bezug
                        
Bezug
Topologische Grundbegriffe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:19 Di 10.03.2009
Autor: Merle23

Anmerkungen:
1) Man kann eigene, abgeschickte Nachrichten wieder editieren.
2) Stelle deine Nachricht in so einem Fall wieder als "Frage" und nicht als "Mitteilung". Ist besser für die Anderen, denn sie wissen dann, dass du noch eine Antwort willst.

> Ja in der diskreten Metrik habe ich ja für a [mm]\not=[/mm] x eine
> 1, das erfüllt die Aussage, und wenn a gerade x ist, ist
> die Metrik auch 0 und erfüllt die Bedingung auch .. also

Von welcher Bedingung sprichst du hier?

> heisst das, dass die Radien grösser als eins diese Bedinung
> für K erfüllen also somit nicht alle positiven radien...

Den Satz versteh ich nicht. Welche Bedingung denn wieder?

> doch was hat das alles mit der frage nach der kompaktheit
> zu tun? ... dieses ganze thema ist wirklich verwirrend *G*
> hehe  

Du hast einen metrischen Raum (X,d) mit der diskreten Metrik.

Sei [mm] x_0 [/mm] einfach mal irgend ein Punkt aus X.

Wie sieht dann die Menge [mm]\{x\in X| d(x,x_o)\le 1\}[/mm] aus?

Ist sie kompakt oder nicht? Wieso?

Bezug
                                
Bezug
Topologische Grundbegriffe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Di 10.03.2009
Autor: Sacha

Hehe gibt Sinn, dass man als Noob explizit betitelt wird, wenn man sich neu registriert ^^ ... Ok alles klar! Also mein Problem allgemein ist es, mich mit der ganzen Thematik Topologie anzufreunden. Jetzt beim vorliegenden Bsp habe mir überlegt, dass diese Menge offen ist, da sie ein Ball ist, und somit nicht kompakt ist. Ist diese Überlegung falsch?

Bezug
                                        
Bezug
Topologische Grundbegriffe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:00 Di 10.03.2009
Autor: Merle23


> Hehe gibt Sinn, dass man als Noob explizit betitelt wird,
> wenn man sich neu registriert ^^ ... Ok alles klar! Also
> mein Problem allgemein ist es, mich mit der ganzen Thematik
> Topologie anzufreunden. Jetzt beim vorliegenden Bsp habe
> mir überlegt, dass diese Menge offen ist, da sie ein Ball
> ist, und somit nicht kompakt ist. Ist diese Überlegung
> falsch?


Die Menge (ich hoffe du meinst damit [mm] \{x\in X| d(x,x_o)\le 1\}, [/mm] nennen wir sie doch einfach M) ist in der Tat offen, aber deine Begründung ist falsch.

Nehmen wir doch mal ein konkretes Beispiel, nämlich [mm] \IR [/mm] (also unsere Menge X sind jetzt einfach mal die reellen Zahlen) und als [mm] x_0 [/mm] wählen wir die Null.

Welche reellen Zahlen liegen dann alle in der Menge M drin?

Ist M offen? Abgeschlossen? Kompakt? Diese drei Fragen kannst du nur beantworten, wenn du genau weisst, wie M aussieht, und genau weisst wie die Topologie aussieht, welche von der diskreten Metrik erzeugt wird. Diese beiden Sachen musst du dir erstmal klar machen.

Bezug
                                                
Bezug
Topologische Grundbegriffe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:10 Di 10.03.2009
Autor: Sacha

Wenn [mm] x_{0} [/mm] = 0, dann ist die Menge M = {0,1} (mit diskreter Metrik), denn es gilt ja d(a,b)=0 wenn a=b und d(a,b)=1 wenn a [mm] \not= [/mm] b, oder?

Bezug
                                                        
Bezug
Topologische Grundbegriffe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Di 10.03.2009
Autor: Merle23


> Wenn [mm]x_{0}[/mm] = 0, dann ist die Menge M = {0,1} (mit diskreter

Falsch.

> Metrik), denn es gilt ja d(a,b)=0 wenn a=b und d(a,b)=1
> wenn a [mm]\not=[/mm] b, oder?  

Richtig. Wir haben also [mm]d(4,0) = 1 \mbox{ und } d(0.000002,0) = 1 \mbox{ und } d(999999999,0) = 1[/mm]. Somit hat jede reelle Zahl (ausser der Null selber) von der Null den Abstand 1.

Also ist [mm]M=\IR[/mm], denn M ist ja die Menge aller reellen Zahlen, die von der Null den Abstand maximal 1 haben.

Zu der Topologie, die von dieser Metrik erzeugt wird: []Wiki-Link.
Hierbei eigentlich nur wichtig: Die erste Hälfte von "Definition", sowie Punkte 4 und 6 unter "Eigenschaften".

Bezug
        
Bezug
Topologische Grundbegriffe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Mi 11.03.2009
Autor: fred97

im Falle eines normierten Raumes X, also d(x,y) = $||x-y||$, gilt folgendes:


Eine Kugel { x [mm] \in [/mm] X : ||x-a|| [mm] \le [/mm] r  } ist genau dann kompakt, wenn dimX < [mm] \infty [/mm]

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]