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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:21 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Hellsing89 |
| Aufgabe | Seien A und B Teilmengen eines norminierten Raums. Zeigen sie
A ist genau dann abgeschlossen, wenn [mm] \partial [/mm] A [mm] \subset [/mm] A gilt. |
Leider tue ich mir mit solchen Beweisen sehr schwer.
Also dass Bedeutet ja soviel, wie alle Häufungspunkte gehören zu A, oder aber auch dass der Rand zur Menge a gehört.
Ich muss also zeigen, dass jeder HP auch zu A gehört.
Ich dachte mir das so,
[mm] \partial [/mm] A [mm] \subset [/mm] A [mm] \Rightarrow \partial [/mm] A [mm] \backslash [/mm] A = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow \neg \partial [/mm] A = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in \partial [/mm] A Dies muss also ein Randpunkt sein, und da der Rand nach vorraussetzung zu A gehört, gehören auch alle HP zu A.
Aber irgendwie ist diese argumentation doch recht schwammig.
Kann mir jemand helfen ?
Danke :)
Mfg. euer Hellsing
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Um weniger schwammig zu argumentieren, brauchst Du die Definition der Begriffe "Rand" und "abgeschlossen". In der Literatur geistern da viele, natürlich gleichwertige, Varianten herum. Und vergiß erstmal "Häufungspunkt", der ja in der Aufgabenstellung gar nicht vorkommt.
Wenn dies noch nicht reicht, gib hier bitte die Definitionen aus Deiner Vorlesung.
Grüße,
Wolfgang
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Naja Häufungspunkt habe ich erwähnt da wir folgende defintionen in der Vorlesung hatten.
Abgeschlossen: M heißt abgeschlossen, genau dann wenn jeder Häufungspunkt von M zu M gehört.
Rand: x heißt Randpunkt von M, wenn eine Umgebung U von x ein [mm] y\inM [/mm] und ein [mm] z\in\IR\backslashM [/mm] liegt.
Also müsste ich dann ja schon mit den Häufungspunkten argumentieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Naja Häufungspunkt habe ich erwähnt da wir folgende
> defintionen in der Vorlesung hatten.
OK!
>
> Abgeschlossen: M heißt abgeschlossen, genau dann wenn
> jeder Häufungspunkt von M zu M gehört.
OK!
>
> Rand: x heißt Randpunkt von M, wenn eine Umgebung U von x
> ein [mm]y\inM[/mm] und ein [mm]z\in\IR\backslashM[/mm] liegt.
Das ist jetzt Unsinn. Was meinst Du damit?
>
> Also müsste ich dann ja schon mit den Häufungspunkten
> argumentieren.
Das ist richtig!
Formuliere mal die Definition für Randpunkt richtig und lies Dir nochmal die Definition und Eigenschaften von "Häufungspunkt" durch. Vielleicht kommst Du dann schon auf die beiden Beweise.
Grüße,
Wolfgang
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Oh sorry da scheint er nicht alles hingeschrieben zu haben:
Rand: x heißt Randpunkt von M, wenn eine Umgebung U von x
ein y [mm] \in [/mm] M und ein z [mm] \in \IR \backslash [/mm] M liegt.
So mit leertaste geht es aber jetz ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Hellsing89 |
Sorry aber korrgieren kann ich leider nicht ^^
Rand: x heißt Randpunkt von M, wenn in jeder Umgebung U von x
ein y [mm] \in [/mm] M und ein z [mm] \in \IR \backslash [/mm] M liegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Do 24.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sorry aber korrgieren kann ich leider nicht ^^
>
> Rand: x heißt Randpunkt von M, wenn in jeder Umgebung U
> von x
> ein y [mm]\in[/mm] M und ein z [mm]\in \IR \backslash[/mm] M liegt.
Gut. Und [mm] $\IR$ [/mm] ist wohl der normierte Raum? Ich würde ihn $R$ nennen, da das andere Symbol für die reellen Zahlen reserviert ist.
Und jetzt vergleiche mal die Definition von Häufungspunkt und Randpunkt, um
[mm] $\partial A\subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] A$ ist abgeschlossen
per Widerspruch zu zeigen:
Nimm also an, $A$ habe einen Häufungspunkt $x$, der nicht in $A$ liegt und zeige, daß $x$ ein Randpunkt ist und damit nach Voraussetzung doch in $A$ liegt.
Dies wäre dann die halbe Miete, weil Du ja noch die andere Richtung zeigen mußt.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Rand: x heißt Randpunkt von M, wenn eine Umgebung U von
> x
> ein y [mm]\in[/mm] M und ein z [mm]\in \IR \backslash[/mm] M liegt.
>
Gibt immer noch keinen Sinn. Mach Dir doch mal die Definition von Randpunkt klar.
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Naja ich hatte mich nochmal korrigiert.
Ich habe mir das ganze damals mit einem Bild gemerkt, wenn x ein Randpunkt ist, dann gibt es in jerder noch so kleinen Umgebung um den Punkt x, ein Element der Menge M, als auch ein Element aus dem Komplement von M.
Und genauso haben wir den Randpunkt auch definiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja ich hatte mich nochmal korrigiert.
>
> Ich habe mir das ganze damals mit einem Bild gemerkt, wenn
> x ein Randpunkt ist, dann gibt es in jerder noch so kleinen
> Umgebung um den Punkt x, ein Element der Menge M, als auch
> ein Element aus dem Komplement von M.
>
> Und genauso haben wir den Randpunkt auch definiert.
okay: Und Du siehst, da steht nirgends mehr speziell [mm] $\IR\,.$ [/mm] Jetzt überlege Dir mal, wieso dann ein Randpunkt, der nicht sowieso schon zu [mm] $A\,$ [/mm] gehört, auch Häufungspunkt ist. Welchen Teil des Beweises der [mm] $\gdw$-Aussage [/mm] kannst Du dann schonmal als fertig betrachten?
(Also: Wenn ein [mm] $\red{x \in \partial A \setminus A}$ [/mm] immer HP ist, und wenn in einer abgeschlossenen Menge stets die Menge der Hpe auch in der Menge liegen, dann folgt mit obiger Überlegung schonmal sofort... ?)
P.S.
Die roten Teile wurden korrigiert/ergänzt.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Naja ich hatte mich nochmal korrigiert.
> >
> > Ich habe mir das ganze damals mit einem Bild gemerkt, wenn
> > x ein Randpunkt ist, dann gibt es in jerder noch so kleinen
> > Umgebung um den Punkt x, ein Element der Menge M, als auch
> > ein Element aus dem Komplement von M.
> >
> > Und genauso haben wir den Randpunkt auch definiert.
>
> okay: Und Du siehst, da steht nirgends mehr speziell [mm]\IR\,.[/mm]
> Jetzt überlege Dir mal, wieso dann ein Randpunkt auch
> Häufungspunkt ist.
Naja, ich kann ja die Umgebung noch so klein wählen ich habe immer Elemente der Menge in Meiner Umgebung, und genau dies ist ja die Charaktärisierung des HP, nämlich dass es in jeder Umgebung von x, ein weiteres von x verschiedenes Element in der Menge gibt.
Welchen Teil des Beweises der
> [mm]\gdw[/mm]-Aussage kannst Du dann schonmal als fertig
> betrachten?
> (Also: Wenn ein Randpunkt immer HP ist, und wenn in einer
> abgeschlossenen Menge stets die Menge der Hpe auch in der
> Menge liegen, dann folgt mit obiger Überlegung schonmal
> sofort... ?)
Das die Menge abgeschlossen ist.
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Do 24.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Naja ich hatte mich nochmal korrigiert.
> > >
> > > Ich habe mir das ganze damals mit einem Bild gemerkt, wenn
> > > x ein Randpunkt ist, dann gibt es in jerder noch so kleinen
> > > Umgebung um den Punkt x, ein Element der Menge M, als auch
> > > ein Element aus dem Komplement von M.
> > >
> > > Und genauso haben wir den Randpunkt auch definiert.
> >
> > okay: Und Du siehst, da steht nirgends mehr speziell [mm]\IR\,.[/mm]
> > Jetzt überlege Dir mal, wieso dann ein Randpunkt auch
> > Häufungspunkt ist.
> Naja, ich kann ja die Umgebung noch so klein wählen ich
> habe immer Elemente der Menge in Meiner Umgebung, und genau
> dies ist ja die Charaktärisierung des HP, nämlich dass es
> in jeder Umgebung von x, ein weiteres von x verschiedenes
> Element in der Menge gibt.
ja, ich habe nur oben ein bisschen gelogen (ich werde das korrigieren):
Folgendes: Was ich hier eigentlich haben wollte, ist, dass Du siehst, dass man schnell zeigen kann: Ist [mm] $A\,$ [/mm] abgeschlossen, so ist [mm] $\partial [/mm] A [mm] \subseteq A\,.$
[/mm]
> Welchen Teil des Beweises der
> > [mm]\gdw[/mm]-Aussage kannst Du dann schonmal als fertig
> > betrachten?
> > (Also: Wenn ein Randpunkt immer HP ist, und wenn in
> einer
> > abgeschlossenen Menge stets die Menge der Hpe auch in der
> > Menge liegen, dann folgt mit obiger Überlegung schonmal
> > sofort... ?)
>
> Das die Menge abgeschlossen ist.
Ja. Und jetzt korrigiere ich das ganze mal, denn in Wahrheit ist nicht jeder Randpunkt einer Menge auch Hp (betrachte etwa einelementige Mengen) - aber sozusagen "jeder interessante" ist HP:
Ich schreib's nun mal in Worten auf:
Wenn [mm] $A\,$ [/mm] abgeschlossen ist, so wollen wir zeigen, dass [mm] $\partial [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A$ gilt:
Ist $x [mm] \in \partial A\,,$ [/mm] so gilt entweder $x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \notin A\,.$ [/mm] Wenn $x [mm] \in [/mm] A$ ist, so haben wir ja nichts zu zeigen:
Wenn aber $x [mm] \in \partial [/mm] A [mm] \setminus [/mm] A$ ist, so kannst Du mit obiger Überlegung zeigen, dass dann [mm] $x\,$ [/mm] auch HP ist. Nach Voraussetzung ist jeder HP aber Element von [mm] $A\,$ [/mm] wegen der Abgeschlossenheit von [mm] $A\,.$ [/mm] Damit haben wir den einen Teil des Beweises, nämlich
[mm] $A\,$ [/mm] abgeschlossen [mm] $\Rightarrow \partial [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A$
fertig.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Do 24.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
Nicht jeder Randpunkt ist auch Häufungspunkt. Zum Beispiel haben endliche Mengen keinen Häufungspunkt, aber jedes ihrer Elemente ist Randpunkt!
Ganz so einfach ist es also nicht.
Grüße
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Do 24.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> Nicht jeder Randpunkt ist auch Häufungspunkt. Zum Beispiel
> haben endliche Mengen keinen Häufungspunkt, aber jedes
> ihrer Elemente ist Randpunkt!
>
> Ganz so einfach ist es also nicht.
es ist ganz einfach, weil nur "interessante Randpunkte" wirklich wichtig sind. Randpunkte, die keine HPe sind, sind trivialerweise in der Menge.
Dennoch war Deine Bemerkung korrekt. Ich habe das mittlerweile auch korrigiert, dauerte nur, weil mir mein Internet manchmal abschmiert ^^
Danke dennoch für den Hinweis.
P.S.
Die andere Richtung:
[mm] $\partial [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow$ [/mm] A ist abgeschlossen
erscheint mir minimal schwieriger zu sein.
Gruß,
Marcel
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> P.S.
> Die andere Richtung:
> [mm]\partial A \subseteq A \Rightarrow[/mm] A ist abgeschlossen
> erscheint mir minimal schwieriger zu sein.
>
> Gruß,
> Marcel
Kann ich da nicht Wolfgangs vorschlag nutzen, und das ganze per Wiederspruch machen.
Wr nehmen also an die Randpunkte gehören zu A, somit gehört der Rand nicht mehr zum Komplement von a, somit gibt es auch keine Umgebung in der es elemente von A, und dem Komplement von A gibt.
Also gibt es für jeden Element in dem Komplement von A eine Umgebung die ganz in dem Komplement von A liegt. Also ist das Komplement von A offen, somit folgt aber auch das A selber abgeschlossen ist.
Kann man das in etwa so machen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Do 24.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > P.S.
> > Die andere Richtung:
> > [mm]\partial A \subseteq A \Rightarrow[/mm] A ist abgeschlossen
> > erscheint mir minimal schwieriger zu sein.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Kann ich da nicht Wolfgangs vorschlag nutzen, und das ganze
> per Wiederspruch machen.
>
> Wr nehmen also an die Randpunkte gehören zu A, somit
> gehört der Rand nicht mehr zum Komplement von a, somit
> gibt es auch keine Umgebung in der es elemente von A, und
> dem Komplement von A gibt.
> Also gibt es für jeden Element in dem Komplement von A
> eine Umgebung die ganz in dem Komplement von A liegt. Also
> ist das Komplement von A offen, somit folgt aber auch das A
> selber abgeschlossen ist.
>
> Kann man das in etwa so machen ?
Ja. Du brauchst dann aber den Charakterisierungssatz:
[mm] $A\,$ [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn [mm] $A^C$ [/mm] offen ist. Entweder darfst Du den benutzen, weil ihr den schon bewiesen/als Übungsaufgabe hattet, oder aber Du beweist ihn halt selbst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Do 24.05.2012 | | Autor: | Hellsing89 |
Ne, also den haben wir durchaus in der Vorlesung bewiesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Do 24.05.2012 | | Autor: | Marcel |
> Ne, also den haben wir durchaus in der Vorlesung bewiesen.
Wunderbar: Also musst Du nun alles nur nochmal vernünftig strukturiert aufschreiben.
P.S.
Mach' Dir bitte klar, dass die Korrektur von mir an einer Stelle notwendig war, und mach' Dir auch klar, dass weder jeder HP auch RP ist, noch ist jeder RP auch HP (aber die "interessanteren" Rpe in metr. Räumen sind HPe - aber das ist mehr meine Ansicht als eine mathematische Aussage  ).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Do 24.05.2012 | | Autor: | Hellsing89 |
Okay vielen vielen dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh sorry da scheint er nicht alles hingeschrieben zu
> haben:
>
> Rand: x heißt Randpunkt von M, wenn eine Umgebung U von
> x
> ein y [mm]\in[/mm] M und ein z [mm]\in \IR \backslash[/mm] M liegt.
>
> So mit leertaste geht es aber jetz ^^
selbst in der Korrektur in Deiner (von mir zu Mitteilung umgestellten) Mitteilung/Frage kommt da plötzlich [mm] $\IR$ [/mm] ins Spiel:
Deine Aufgabe bezieht sich viel allgemeiner auf normierte Räume (noch allgemeiner wären etwa metrische Räume).
P.S.
Ich habe Dir auch schon geschrieben, dass Du eine Äquivalenz zu zeigen hast. Auch, wenn eine Richtung vielleicht trivial ist, sollte wenigstens erwähnt werden, wieso sie trivial ist!
Gruß,
Marcel
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> selbst in der Korrektur in Deiner (von mir zu Mitteilung
> umgestellten) Mitteilung/Frage kommt da plötzlich [mm]\IR[/mm] ins
> Spiel:
> Deine Aufgabe bezieht sich viel allgemeiner auf normierte
> Räume (noch allgemeiner wären etwa metrische Räume).
Jup aber das war/ sind die einzigen Definitionen die wir aus der Vorlesung haben.
> P.S.
> Ich habe Dir auch schon geschrieben, dass Du eine
> Äquivalenz zu zeigen hast. Auch, wenn eine Richtung
> vielleicht trivial ist, sollte wenigstens erwähnt werden,
> wieso sie trivial ist!
Als trivial würde ich die Zweite richtung sehen.
Denn wenn die Menge alle Randpunkte enthält, folgt direkt dass sie abgeschlossen sein muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Do 24.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Denn wenn die Menge alle Randpunkte enthält, folgt direkt
> dass sie abgeschlossen sein muss.
Dies wäre trivial, wenn jeder Häufungspunkt auch Randpunkt wäre. Dem ist aber nicht so!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Do 24.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > selbst in der Korrektur in Deiner (von mir zu Mitteilung
> > umgestellten) Mitteilung/Frage kommt da plötzlich [mm]\IR[/mm] ins
> > Spiel:
> > Deine Aufgabe bezieht sich viel allgemeiner auf
> normierte
> > Räume (noch allgemeiner wären etwa metrische Räume).
> Jup aber das war/ sind die einzigen Definitionen die wir
> aus der Vorlesung haben.
>
> > P.S.
> > Ich habe Dir auch schon geschrieben, dass Du eine
> > Äquivalenz zu zeigen hast. Auch, wenn eine Richtung
> > vielleicht trivial ist, sollte wenigstens erwähnt werden,
> > wieso sie trivial ist!
>
> Als trivial würde ich die Zweite richtung sehen.
>
> Denn wenn die Menge alle Randpunkte enthält, folgt direkt
> dass sie abgeschlossen sein muss.
wieso? Da musst Du schon was machen:
Gelte [mm] $\partial [/mm] A [mm] \subseteq A\,.$ [/mm] Jetzt hast Du zu zeigen, dass daraus schon folgt, dass jeder HP aus [mm] $A\,$ [/mm] auch wieder zu [mm] $A\,$ [/mm] gehört:
Sei also [mm] $x\,$ [/mm] ein HP aus [mm] $A\,.$ [/mm] Falls $x [mm] \in A\,,$ [/mm] so hast Du ja nichts mehr zu zeigen. Du musst nun zeigen, dass der Fall $x [mm] \notin [/mm] A$ nicht möglich ist - etwa zu einem Widerspruch führt.
Trivial finde ich das nicht! (Vielleicht übersehe ich aber auch nur ein einfaches Argument!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien A und B Teilmengen eines norminierten Raums.
ist das unten eine Teilaufgabe? Denn [mm] $B\,$ [/mm] braucht man ja im Folgenden gar nicht mehr.
> Zeigen
> sie
>
> A ist genau dann abgeschlossen, wenn [mm]\partial[/mm] A [mm]\subset[/mm] A
> gilt.
> Leider tue ich mir mit solchen Beweisen sehr schwer.
>
> Also dass Bedeutet ja soviel, wie alle Häufungspunkte
> gehören zu A, oder aber auch dass der Rand zur Menge a
> gehört.
Habt ihr eine Charakterisierung kennengelernt (oder habt ihr das so definiert), dass eine Teilmenge eines metrischen Raums genau dann abgeschossen ist, wenn sie jeden ihrer Häufungspunkte enthält?
> Ich muss also zeigen, dass jeder HP auch zu A gehört.
Du hast eigentlich zwei Sachen zu zeigen:
1.) Falls [mm] $\partial [/mm] A [mm] \subseteq A\,,$ [/mm] so ist [mm] $A\,$ [/mm] abgeschlossen.
2.) Falls [mm] $A\,$ [/mm] abgeschlossen ist, so folgt [mm] $\partial [/mm] A [mm] \subseteq A\,.$
[/mm]
> Ich dachte mir das so,
>
> [mm]\partial[/mm] A [mm]\subset[/mm] A [mm]\Rightarrow \partial[/mm] A [mm]\backslash[/mm]
> A = [mm]\emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \neg \partial[/mm] A = [mm]\emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x\in \partial[/mm] A Dies muss also ein Randpunkt
> sein, und da der Rand nach vorraussetzung zu A gehört,
> gehören auch alle HP zu A.
>
> Aber irgendwie ist diese argumentation doch recht
> schwammig.
Das kann man so eh schlecht kontrollieren, folgende Informationen solltest Du nachliefern:
Wie habt ihr den Rand einer Menge definiert? Wann sagt ihr, dass eine Menge abgeschlossen sei (topologisch elegant ist es da nämlich, dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn ihr Komplement offen ist - bzw. das ist eine topologische Definition, die den Begriff "abgeschlossen" in metrischen Räumen 'erweitert').
Bestenfalls ist ein Link zu einem Skript gut. Andernfalls musst Du halt am besten wenigstens die Definitionen zitieren! Aber idealerweise auch alle Sätze/Lemmata/Korollars (was immer da auch die Pluralform ist), die von Belang sein könnten...
P.S.
Deine Folgerung wird schon unsinnig an der Stelle
[mm] $$\neg \partial A=\emptyset\,.$$
[/mm]
Was ist [mm] $\neg \partial [/mm] A$? Das Komplement [mm] $(\partial A)^c$ [/mm] meinst Du sicher nicht...
P.P.S.
Wie Du am Ende zu einem waghalsigen Schluss $x [mm] \in \partial [/mm] A$ kommst - wobei das [mm] $x\,$ [/mm] vom Himmel fällt - will mir auch nicht klar werden... Was machst Du da eigentlich?
Gruß,
Marcel
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