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Hallo Forum,
auch nach näherem Beschäftigen mit der Aufgabe konnte ich mir zwar das Produkt klarmachen, habe jedoch keine Idee, wie ich die Aufgabe machen soll und morgen ist schon Abgabe!!! Bitte helft mir.
Betrachten Sie die Gruppe [mm]G= \produkt_{p prim} \IZ/p \IZ[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]G[/mm] nicht isomorph ist zur direkten Summe [mm]G/G_{tor} \oplus G_{tor}[/mm].
(Hinweis: Zeigen Sie, dass es in der Faktorgruppe [mm]G/G_{tor}[/mm] ein Element [mm]x \not=0[/mm] gibt, dass durch jede Primzahl [mm]p[/mm] teilbar ist. Gibt es ein solches Element in [mm]G[/mm]?)
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Hallo und guten Morgen,
ich würd erst mal probieren, die Elemente von [mm] G_{tor} [/mm] zu charakterisieren, zB so:
[mm] g=(g_p|p\:\: [/mm] prim)
mit [mm] g_p\in \IZ\slash p\IZ,\: [/mm] p prim
ist in [mm] G_{tor} [/mm] genau dann, wenn für fast alle p prim gilt (d.h. fuer alle bis auf endlich viele): [mm] g_p=0.
[/mm]
Dann könnte man auf den Verdacht kommen, sowas wie
[mm] g=(g_p,p\:\: [/mm] prim) mit
[mm] g_p:=\prod_{q
zu betrachten.
Zu jedem q prim gibt es ein [mm] h\in G\slash G_{tor} [/mm] mit [mm] q\cdot [/mm] h=g in [mm] G\slash G_{tor},
[/mm]
nämlich definiert durch
[mm] h_p=0 [/mm] für [mm] p\leq [/mm] q
und
[mm] h_p= \prod_{q'
In G kann es ein derartiges Element [mm] \neq [/mm] 0 nicht geben (rechnet man ''leicht'' von Hand nach).
Gruss,
Mathias
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