Torus in Zylinderkoordinaten < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:31 Do 07.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | | In der x,z-Ebene ist der Kreis K mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (a;0) gegeben, wobei a>R>0 gelte. Durch Rotation der von K begrenzten Kreisfläche um die z-Achse entsteht ein Torus. Beschreiben Sie diesen mit Hilfe von Zylinderkoordinaten. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe leider kein bisschen voran. Mir sind die Zylinderkoordianten an sich nicht fremd, aber ich weiß nicht, wie ich diesen Torus damit beschreiben soll.
Wenn ich mir das so vorstelle, kann ich mir eigentlich nur zusammenreimen, dass a-R<=r<=a+R, da r ja der Abstand von der z-Achse ist und der kleinste Abstand ist eben a-R und der größte a+R.
Wäre wieder sehr froh, wenn ihr mir weiterhelft!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Do 07.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> In der x,z-Ebene ist der Kreis K mit dem Radius R und dem
> Mittelpunkt (a;0) gegeben, wobei a>R>0 gelte. Durch
> Rotation der von K begrenzten Kreisfläche um die z-Achse
> entsteht ein Torus. Beschreiben Sie diesen mit Hilfe von
> Zylinderkoordinaten.
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe leider kein bisschen voran.
> Mir sind die Zylinderkoordianten an sich nicht fremd, aber
> ich weiß nicht, wie ich diesen Torus damit beschreiben
> soll.
> Wenn ich mir das so vorstelle, kann ich mir eigentlich nur
> zusammenreimen, dass a-R<=r<=a+R, da r ja der Abstand von
> der z-Achse ist und der kleinste Abstand ist eben a-R und
> der größte a+R.
>
> Wäre wieder sehr froh, wenn ihr mir weiterhelft!
>
> Gruß Manu
Überlege Dir, dass für einen Punkt $(x,y,z)$ auf dem Torus gilt:
[mm] $(\wurzel{x^2+y^2}-a)^2+z^2 \le R^2$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Do 07.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Das sieht ja der normalen Kreisgleichung ähnlich. Aber ich bin mir nicht sicher, wie du darauf kommst. Ich würde sagen, dass [mm] z^2 [/mm] kommt daher, da ja der Mittelpunkt des Kreises mit (a,0) gegeben ist, dass heißt, dass laut Kreisgleichung dort steht [mm] (z-0)^2 [/mm] und das ist ja [mm] z^2. [/mm] Aber den Rest versteh ich nicht so ganz. Wenn ich von der normalen Kreisgleichung ausgehe mit [mm] r^2=(x-x_M)^2+(z-z_M)^2 [/mm], dann ist sozusagen [mm] x_M=a. [/mm] Aber wie kommst du auf [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] ?
Gruß Manu
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> Das sieht ja der normalen Kreisgleichung ähnlich. Aber ich
> bin mir nicht sicher, wie du darauf kommst. Ich würde
> sagen, dass [mm]z^2[/mm] kommt daher, da ja der Mittelpunkt des
> Kreises mit (a,0) gegeben ist, dass heißt, dass laut
> Kreisgleichung dort steht [mm](z-0)^2[/mm] und das ist ja [mm]z^2.[/mm] Aber
> den Rest versteh ich nicht so ganz. Wenn ich von der
> normalen Kreisgleichung ausgehe mit [mm]r^2=(x-x_M)^2+(z-z_M)^2 [/mm],
> dann ist sozusagen [mm]x_M=a.[/mm] Aber wie kommst du auf
> [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm] ?
>
> Gruß Manu
Hallo Manu,
bleibe unbedingt bei den einmal gewählten Bezeichnungen !
Du solltest deine "normale Kreisgleichung" also zum Beispiel
so notieren:
[mm]R^2=(r-r_M)^2+(z-z_M)^2 [/mm]
(Gleichung des Kreises mit Radius R und dem Mittelpunkt
[mm] (r_M|z_M) [/mm] in einer r-z-Ebene !)
Wenn du damit konsequent umgehst und beachtest, dass das
kleine r den Abstand des Punktes P(x,y,z) von der z-Achse
(Achse des Zylinderkoordinatensystems) ist, kommst du
auch zur richtigen Ungleichung zur Beschreibung des Torus-
Körpers.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Do 07.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Das sieht ja der normalen Kreisgleichung ähnlich. Aber ich
> bin mir nicht sicher, wie du darauf kommst. Ich würde
> sagen, dass [mm]z^2[/mm] kommt daher, da ja der Mittelpunkt des
> Kreises mit (a,0) gegeben ist, dass heißt, dass laut
> Kreisgleichung dort steht [mm](z-0)^2[/mm] und das ist ja [mm]z^2.[/mm] Aber
> den Rest versteh ich nicht so ganz. Wenn ich von der
> normalen Kreisgleichung ausgehe mit [mm]r^2=(x-x_M)^2+(z-z_M)^2 [/mm],
> dann ist sozusagen [mm]x_M=a.[/mm] Aber wie kommst du auf
> [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm] ?
>
Nun, die Kreisflächenungleichung in der Kreuzriss-Ebene ("xz-Ebene") ist, wie du oben ja richtig überlegt hast,
[mm] $(x-a)^2+(z-0)^2\le{R^2}$.
[/mm]
Wenn du jetzt die Kreuzrissebene mit dem Kreis um einen Winkel [mm] \varphi [/mm] um die z-Achse drehst, ändert sich in dieser Ebene gar nichts. Anstelle der x-Koordinate tritt aber jetzt einfach der Abstand r eines Punktes von der z-Achse. Das ganze ist unabhängig vom Drehwinkel [mm] \varphi [/mm] und somit ergibt sich unmittelbar
[mm] $(r-a)^2+z^2\le{R^2}$
[/mm]
und du bist fertig!
Der Abstand eines Punktes von der z-Achse berechnet sich natürlich aus den kartesischen Koordinaten mit [mm] $r=\wurzel{x^2+y^2}$, [/mm] aber für die Beschreibung des Körpers in Zylinderkoordinaten ist das eigentlich unerheblich.
Dass in der Darstellung die dritte Zylinderkoordinate [mm] \varphi [/mm] nicht auftritt muss dich nicht irritieren, das ist eine Folge der Tatsache, dass es sich um einen Rotationskörper mit Achse = z-Achse handelt.
Analog ja auch in kartesischen Koordinaten - wenn dort in einer Darstellung zB die y-Koordinate nicht auftritt, dann handelt es sich eben in der Regel um einen Zylinder in y-Richtung.
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