Totale Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Di 28.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Berechnen Sie die totale Ableitung folgender Funktion [mm] f:\IR^{3}\to IR^{3}
[/mm]
[mm] f(x_{1},x_{2},x_{3}):=\vektor{ln(1+x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2},e^cos(x_{2}- x_{3})} [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe weiß ich nicht so recht weiter, weil ich noch nie eine totale Ableitung gebildet habe.
ich hab dann einfach mal, "versucht" nach allen 3 Variablen abzuleiten, wobei das bestimmt auch nicht richtig ist, weil ln und cos mich stört.
Nichtsdestotrotz mein Lösungsansatz:
[mm] \bruch{df}{dx_{1}}=(\bruch{1}{2x_{1}x_{2}^{2}x_{3}^{2}},0)
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dx_{1}}=(\bruch{1}{2x_{2}x_{1}^{2}x_{3}^{2}},cos(1)*e^{cos(1)})
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dx_{1}}=(\bruch{1}{2x_{3}x_{1}^{2}x_{2}^{2}},cos(-1)*e^{cos(-1)})
[/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand ne kleine Hilfestellung bei den Ableitungen geben könnt, bzw. wie ich nun auf die totale Ableitung komme.
Vielen Dank im voraus.
kleine Anmerkung zur Aufgabenstellung, es soll e"hoch"cos sein, kA, warum das nicht so angezeigt wird.
Gruß,
mvs
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Hallo mvs,
du musst Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern {} setzen!
> Berechnen Sie die totale Ableitung folgender Funktion
> [mm]f:\IR^{3}\to IR^{3}[/mm]
>
> [mm]f(x_{1},x_{2},x_{3}):=\vektor{ln(1+x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2},e^cos(x_{2}- x_{3})}[/mm]
Das ist keine Abb. von [mm]\IR^3\to\IR^3[/mm]
Eher von [mm]\IR^3\to\IR^{\red{2}}[/mm]
[mm]f(x_1,x_2,x_3)=\left(\ln(1+x_1^2x_2^2x_3^2),e^{\cos(x_2-x_3)}\right)[/mm]
Richtig?
>
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe weiß ich nicht so recht weiter, weil
> ich noch nie eine totale Ableitung gebildet habe.
>
> ich hab dann einfach mal, "versucht" nach allen 3 Variablen
> abzuleiten, wobei das bestimmt auch nicht richtig ist, weil
> ln und cos mich stört.
>
> Nichtsdestotrotz mein Lösungsansatz:
>
> [mm]\bruch{df}{dx_{1}}=(\bruch{1}{2x_{1}x_{2}^{2}x_{3}^{2}},0)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Uiuiui, das ging aber übelst daneben!
Es sind doch [mm]x_2,x_3[/mm] konstant, wenn du nach [mm]x_1[/mm] ableitest!
Und die Funktion wird komponentenweise abgeleitet, das hast du richtig versucht
Leite mal zur Übung [mm]\ln(2\cdot{}\pi\cdot{}x^2)[/mm] nach x ab ...
Du musst die Kettenregel beachten, die Variablen, die verschieden von der, nach der du ableitest, sind, behandle wie Konstante.
Leitest du nach [mm]x_1[/mm] ab, denke dir, statt [mm]x_2[/mm] stünde eine 2 dort und statt [mm]x_3[/mm] stünde [mm]\pi[/mm]
Es ist [mm]\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3)=\left(\underbrace{\frac{1}{1+x_1^2x_2^2x_3^2}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{2x_1\red{x_2^2x_3^2}}_{\text{innere Abl.}},0\right)[/mm]
Die roten Faktoren sind bzgl. [mm]x_1[/mm] (multiplikative) Konstanten!!
Die behandelst du genau wie in diesem Bsp.: Ableitung von [mm]\red{2}x^3[/mm] nach x: [mm]\leadsto \red{2}\cdot{}3x^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dx_{1}}=(\bruch{1}{2x_{2}x_{1}^{2}x_{3}^{2}},cos(1)*e^{cos(1)})[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dx_{1}}=(\bruch{1}{2x_{3}x_{1}^{2}x_{2}^{2}},cos(-1)*e^{cos(-1)})[/mm]
Dieselben Fehler in der ersten Komponente, außerdem musst du doch [mm]e^{\cos(z)}[/mm] nach der Kettenregel ableiten !!!
Und schreibe sorgfältiger, du meinst sicher nicht in allen 3 Fällen die partielle Ableitung nach [mm]x_1[/mm]
>
> Wäre nett, wenn mir jemand ne kleine Hilfestellung bei den
> Ableitungen geben könnt, bzw. wie ich nun auf die totale
> Ableitung komme.
Schaue mal nach dem Begriff "Jacobimatrix" !
>
> Vielen Dank im voraus.
>
> kleine Anmerkung zur Aufgabenstellung, es soll e"hoch"cos
> sein, kA, warum das nicht so angezeigt wird.
siehe ganz oben
Nun knie dich mal rein in die Aufgabe, das ist ne sehr gute Übung!
>
> Gruß,
> mvs
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 29.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo schachuzipus, danke für deine Antwort.
vorab hatte einen Tippfehler bei der Aufgabe drin.
Die richtige Funktion sieht so aus:
[mm] \IR^3\to\IR^2
[/mm]
[mm] f(x_1,x_2,x_3)=\left(\ln(1+x_1^2x_2^2x_3^2),e^{\cos(x_2*x_3)}\right)
[/mm]
Mein neuer Lösungsvorschlag:
[mm] \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3)=(\bruch{2x_1x_2^2x_3^2}{1+x_1^2x_2^2x_3^2},0)
[/mm]
[mm] \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2,x_3)=(\bruch{2x_2x_1^2x_3^2}{1+x_1^2x_2^2x_3^2},-sin(x_2x_3)*cos(x_3)*e^{\cos(x_3)})
[/mm]
[mm] \frac{\partial f}{\partial x_3}(x_1,x_2,x_3)=(\bruch{2x_3x_1^2x_2^2}{1+x_1^2x_2^2x_3^2},-sin(x_2x_3)*cos(x_2)*e^{\cos(x_2)})
[/mm]
dann hab ich nach Jacobi-Matrix gegoogelt, dann müsst ich ja die Ergebnisse der partiellen Ableitung alle einfach nebeneinander schreiben und ne große Klammer drumher, wenn ich das richtig so verstanden hab?
die Übungsaufgabe hab ich auch gemacht:
[mm] f(x)=\ln(2\cdot{}\pi\cdot{}x^2)
[/mm]
[mm] \frac{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{2\cdot{}\pi\cdot{}x^2}*4x\cdot{}\pi=\bruch{2}{x}
[/mm]
Wie siehts nun aus ?
Gruß,
mvs
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus, danke für deine Antwort.
>
> vorab hatte einen Tippfehler bei der Aufgabe drin.
>
> Die richtige Funktion sieht so aus:
>
> [mm]\IR^3\to\IR^2[/mm]
>
> [mm]f(x_1,x_2,x_3)=\left(\ln(1+x_1^2x_2^2x_3^2),e^{\cos(x_2*x_3)}\right)[/mm]
>
> Mein neuer Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3)=(\bruch{2x_1x_2^2x_3^2}{1+x_1^2x_2^2x_3^2},0)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2,x_3)=(\bruch{2x_2x_1^2x_3^2}{1+x_1^2x_2^2x_3^2},-sin(x_2x_3)*\red{cos(x_3)}*e^{\cos(x_3)})[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_3}(x_1,x_2,x_3)=(\bruch{2x_3x_1^2x_2^2}{1+x_1^2x_2^2x_3^2},-sin(x_2x_3)*\red{cos(x_2)}*e^{\cos(x_2)})[/mm]
Da hast du bei den inneren Ableitungen was verbasselt:
Die Ableitung der 2.Komponente nach [mm]x_2[/mm]:
[mm]\underbrace{e^{\cos(x_2\cdot{}x_3)}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\frac{\partial \cos(x_2x_3)}{\partial x_2}}_{\text{innere Abl.}}[/mm]
Und [mm]\cos(x_2x_3)[/mm] leitest du wieder mit der Kettenregel ab (nach [mm]x_2[/mm]):
[mm]\underbrace{-\sin(x_2x_3)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot{}\underbrace{x_3}_{\text{innere Abl.}}[/mm]
Nun setze nochmal alles schön zusammen ...
>
> dann hab ich nach Jacobi-Matrix gegoogelt, dann müsst ich
> ja die Ergebnisse der partiellen Ableitung alle einfach
> nebeneinander schreiben und ne große Klammer drumher, wenn
> ich das richtig so verstanden hab?
In die erste Zeile kommen die 3 partiellen Ableitungen der ersten Komponente von [mm]f(x_1,x_2,x_3)=(f_1(x_1,x_2,x_3),f_2(x_1,x_2,x_3))[/mm], also von [mm]f_1[/mm].
In die 2.Zeile entsprechend die 3 partiellen Ableitungen von [mm]f_2[/mm]
Du bekommst also eine [mm]2\times 3[/mm]-Matrix.
>
> die Übungsaufgabe hab ich auch gemacht:
>
> [mm]f(x)=\ln(2\cdot{}\pi\cdot{}x^2)[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{2\cdot{}\pi\cdot{}x^2}*4x\cdot{}\pi=\bruch{2}{x}[/mm]
>
> Wie siehts nun aus ?
Gut, das sollte ja auch nur die Geschichte mit den multiplikativen Konstanten verdeutlichen.
>
> Gruß,
> mvs
Jo zurück!
schachuzipus
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