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| Aufgabe | Berechnen Sie die (totale) Ableitungen der folgenden Funktion [mm] f:\IR^3 \to \IR^4
[/mm]
f(x,y,z) := [mm] \vektor{xy^2z^3 \\ (x+y^2+z^3)^3 \\ \integral_{z}^{y} t^2 e^t dt \\ \integral_{z}^{xy} t^2 e^t dt} [/mm] |
Hallo :)
Die ersten beiden Vektoreinträge sind klar.
Beim ersten erhalte ich als totale Ableitung: [mm] y^2z^3+2xyz^3+3xy^2z^2
[/mm]
Bei der zweiten: [mm] 3(x+y^2+z^3)^2+3(x+y^2+z^3)^2*2y+3(x+y^2+z^3)^2*3z^2 [/mm] = [mm] 3(x+y^2+z^3)^2 [/mm] * (1+ 2y * [mm] 3z^2)
[/mm]
Jedoch habe ich mit den übrigen beiden Probleme. Ich vermute, dass die Intervallgrenzen die Schwierigkeit sind, denn wenn ich rein das Integral ableiten müsste, wäre es ja die FUnktion selbst die nach dem Integral steht. Also quasi die Ableitung von [mm] \integral [/mm] f(x) = f(x)
Was mache ich aber mit den Grenzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Sa 24.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] \integral [/mm] $ f(x) = f(x)
so ist das falsch!
richtig ist :
[mm] \integral_{a}^{t}{f(x) dx}=f(t)
[/mm]
Gruss leduart
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Wäre dann die totale Ableitung von [mm] \integral_{z}^{y} t^2 e^t [/mm] dt = [mm] z^2 e^z?
[/mm]
Muss man dann gar nichts rechnen? Bzw. Ableiten?
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Hallo LittleStudi,
> Wäre dann die totale Ableitung von [mm]\integral_{z}^{y} t^2 e^t[/mm]
> dt = [mm]z^2 e^z?[/mm]
>
Nicht ganz, denn "z" ist Untergrenze des Integrals.
Daher muss es heißen:
[mm]\bruch{d}{dz}\integral_{z}^{y} t^2 e^t \ dt=\blue{-}z^{2}*e^{z}[/mm]
> Muss man dann gar nichts rechnen? Bzw. Ableiten?
Gruss
MathePower
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> Hallo LittleStudi,
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> > Wäre dann die totale Ableitung von [mm]\integral_{z}^{y} t^2 e^t[/mm]
> > dt = [mm]z^2 e^z?[/mm]
> >
>
>
> Nicht ganz, denn "z" ist Untergrenze des Integrals.
>
> Daher muss es heißen:
>
> [mm]\bruch{d}{dz}\integral_{z}^{y} t^2 e^t \ dt=\blue{-}z^{2}*e^{z}[/mm]
>
>
> > Muss man dann gar nichts rechnen? Bzw. Ableiten?
>
>
> Gruss
> MathePower
Oh, ich wollte eigentlich [mm] y^2*e^y [/mm] schreiben, oder muss man das Integral sowohl nach y als auch nach z ableiten.
Somit wäre dann die totale Ableitung: [mm] y^2*e^y [/mm] - [mm] z^2*e^z [/mm] ???
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Hallo LittleStudi,
> > Hallo LittleStudi,
> >
> > > Wäre dann die totale Ableitung von [mm]\integral_{z}^{y} t^2 e^t[/mm]
> > > dt = [mm]z^2 e^z?[/mm]
> > >
> >
> >
> > Nicht ganz, denn "z" ist Untergrenze des Integrals.
> >
> > Daher muss es heißen:
> >
> > [mm]\bruch{d}{dz}\integral_{z}^{y} t^2 e^t \ dt=\blue{-}z^{2}*e^{z}[/mm]
>
> >
> >
> > > Muss man dann gar nichts rechnen? Bzw. Ableiten?
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Oh, ich wollte eigentlich [mm]y^2*e^y[/mm] schreiben, oder muss man
> das Integral sowohl nach y als auch nach z ableiten.
>
> Somit wäre dann die totale Ableitung: [mm]y^2*e^y[/mm] - [mm]z^2*e^z[/mm]
> ???
Das kommt darauf an, wie ihr die totale Ableitung definiert habt.
Gruss
MathePower
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Das totale Differential ist folgendermaßen definiert:
d = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{ \partial f}{ \partial x_i} dx_i
[/mm]
Müsste ich dann vielleicht das Integral nach jeder Variablen x,y,z ableiten? Aber was ist dann mit den Integralgrenzen?
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Hallo LittleStudi,
> Das totale Differential ist folgendermaßen definiert:
>
> d = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{ \partial f}{ \partial x_i} dx_i[/mm]
>
> Müsste ich dann vielleicht das Integral nach jeder
> Variablen x,y,z ableiten? Aber was ist dann mit den
> Integralgrenzen?
Das Integral ist nach jeder dieser Variablen abzuleiten.
Gruss
MathePower
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Ist dann die Ableitung von [mm] \integral_{y}^{z} t^2 e^t [/mm] dt und [mm] \integral_{xy}^{z} t^2 e^t [/mm] dt die selbe? Obwohl es unterschiedliche Grenzen gibt?
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Hallo LittleStudi,
> Ist dann die Ableitung von [mm]\integral_{y}^{z} t^2 e^t[/mm] dt und
> [mm]\integral_{xy}^{z} t^2 e^t[/mm] dt die selbe? Obwohl es
> unterschiedliche Grenzen gibt?
In der Regel nicht.
Der Faktor, der hier noch dazukommt, ist die jeweilige
partielle Ableitung der Obergrenze bzw. Untergrenze.
Gruss
MathePower
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Lautet die partielle Ableitung von [mm] \integral_{y}^{z} t^2 e^t [/mm] dt
dann [mm] x^2e^x [/mm] ? Ich habe hierbei ja gar kein x in den Intervalgrenzen?
oder ist das egal.
Könnte mir vielleicht jemand die partiellen Ableitungen von x,y,z zeigen, damit ich verstehe, wie man die Ober- und Untergrenzen bei differenzieren verarbeitet? Das wäre sehr nett :)
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Hallo LittleStudi,
> Lautet die partielle Ableitung von [mm]\integral_{y}^{z} t^2 e^t[/mm]
> dt
>
> dann [mm]x^2e^x[/mm] ? Ich habe hierbei ja gar kein x in den
> Intervalgrenzen?
> oder ist das egal.
>
Nein, das ist nicht egal.
Da kein "x" in den Intervallgranzen vorhanden ist,
verschwindet die partielle Ableitung nach x.
> Könnte mir vielleicht jemand die partiellen Ableitungen
> von x,y,z zeigen, damit ich verstehe, wie man die Ober- und
> Untergrenzen bei differenzieren verarbeitet? Das wäre sehr
> nett :)
Betrachte doch:
[mm]\integral_{a\left(x,y,z\right)}^{b\left(x,y,z\right)}{f\left(t\right) \ dt}[/mm]
Dann ergibt sich die partielle Ableitung nach x zu:
[mm]f\left( \ b\left(x,y,z\right) \ \right)*\bruch{\partial b\left(x,y,z\right)}{\partial x}-f\left( \ a\left(x,y,z\right) \ \right)*\bruch{\partial a\left(x,y,z\right)}{\partial x}[/mm]
Analog für die partiellen Ableitungen nach y bzw. z.
Gruss
MathePower
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Dankeschön :)
Sind dann meine partiellen Ableitungen:
nach x: [mm] z^2 e^2*0-y^2 e^y*0 [/mm] = 0
nach y: [mm] z^2 e^2*0 [/mm] - [mm] y^2 e^y [/mm] * 1 = [mm] -y^2 e^y
[/mm]
nach z: [mm] z^2 e^2*1 [/mm] - [mm] y^2e^y*0 [/mm] = [mm] z^2 e^2
[/mm]
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Hallo LittleStudi,
> Dankeschön :)
>
> Sind dann meine partiellen Ableitungen:
>
> nach x: [mm]z^2 e^2*0-y^2 e^y*0[/mm] = 0
>
> nach y: [mm]z^2 e^2*0[/mm] - [mm]y^2 e^y[/mm] * 1 = [mm]-y^2 e^y[/mm]
>
> nach z: [mm]z^2 e^2*1[/mm] - [mm]y^2e^y*0[/mm] = [mm]z^2 e^2[/mm]
Bei den partiellen Ableitungen drehen sich doch die Vorzeichen um,
da von z bis y integriert wird. Bis auf diese Vorzeichen stimmt das. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Dann ist das ja gar nicht so schwierig 
