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| Aufgabe | Es sei U [mm] \subset \IR^n [/mm] offen und f: U [mm] \to \IR^m [/mm] eine Funktion, welche in einem Punkt [mm] x\inU [/mm] total differenzierbar ist. Weiter seien Basen v = [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] des [mm] \IR^{n} [/mm] sowie w = [mm] (w_{1},...,w_{m}) [/mm] des [mm] \IR^{m} [/mm] gegeben.
Da w eine Basis ist lässt sich f(y) in der Form
f(y) = [mm] \summe_{k=1}^{m} f_{wk}(y)w_{k}
[/mm]
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten [mm] f_{wk} \in \IR [/mm] schreiben.
a) Zeige, dass die Funktionen [mm] f_{wk}:U\to\IR [/mm] für alle [mm] k\in{1,...,m} [/mm] in x total differenzierbar sind.
b)Zeige, dass die lineare Abbildung [mm] Df(x):\IR^{n}\to\IR^{m} [/mm] bezüglich des Basen v und w durch folgende Matrix gegeben wird:
M(Df(x),v,w) = [mm] \pmat{ D_{v1}f_{w1}(x) & ... & D_{vn}f_{w1}(x) \\
... & ... & ... \\
D_{v1}f_{wm}(x) & ... & D_{vn}f_{wm}(x)} [/mm] |
Hallo,
ich komm bei der Aufgabe nicht zurecht.
Beim Teil a) hab ich keine Ahnung was ich zeigen soll,
[mm] f_{wk}(y)w_{k} [/mm] lässt sich doch auch als linearkombination der Einheitsvektoren darstellen, also sowas wie [mm] \summe_{j}^{m} \vec{e_{j}}f_{j}(y) [/mm] und die [mm] f_{j}(y) [/mm] müssten
schon nach Definition total differenzierbar sein, oder?
Beim Teil b) komm ich nicht dahinter, woher da auf einmal Richtungsableitungen auftauchen. In Linearer Algebra haben wir gelernt das eine Matrixdarstellung einer Abbildung bezüglich der Basen v und w, die Bilder der Basisvektoren von v als Linearkombination der Basisvektoren von w ist, nur kann ich mir hier nicht so wirklich vorstellen wie das bei dieser Abbildung aussehen soll.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 22.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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