Totalvariation < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Sa 18.02.2012 | | Autor: | Fry |
Hallo,
folgende Frage:
Der Totalvariationsabstand zweier diskreter,endlicher Wverteilungen (mit durchnummerierten und endlich vielen [mm] Zuständen)$\mu$ [/mm] und [mm] $\pi$ [/mm] ist definiert als
[mm] $d(\mu,\pi)=\bruch{1}{2}\sum_{i=1}^{k}|\mu_i-\pi_i|$
[/mm]
Die Konvergenz dieses Totalvariationsabstandes einer Folge [mm] $\mu^{(n)}$ [/mm] von Wverteilungen und einer W-Verteilung [mm] $\pi$ [/mm] gegen 0 für [mm] $\n\to\infty$ [/mm] ist dann äquivalent zur Konvergenz von [mm] $\mu^{(n)}$ [/mm] gegen [mm] $\pi$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$, [/mm] oder?
Gilt dies auch noch für abzählbar viele Zustände?
LG
Fry
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Sa 18.02.2012 | | Autor: | vivo |
Hi,
ich glaub ich versteh deine Frage nicht ganz. Auf jeden Fall ist die Distanz der totalen Variation für zwei W-Maße ganz allgemein definiert als:
[mm]d_V(P,Q)=\sup_{A\in\mathcal{B}}|P(A)-Q(A)|[/mm] (1)
wobei sich zeigen lässt:
[mm]d_V(P,Q)=\int_{\Omega}|dP-dQ|[/mm] (2)
für Dichten [mm]f=\frac{dP}{d\lambda}[/mm] und [mm]g=\frac{dQ}{d\lambda}[/mm] mit [mm]\lambda[/mm] Lebesgue-Maß auf [mm]\IR[/mm]
ergibt sich:
[mm]d_V(P,Q)=\int_{\IR}|f-g|dx[/mm] (3)
Betrachtet man (2) so sieht man, dass die Distanz der totalen Variaton für eine Folge von W-Maßen [mm]\mu_n[/mm] und einem W-Maß [mm]\mu[/mm] gegen null konvergiert wenn
[mm]\lim_{n\to \infty} \int_{\Omega}|d\mu-d\mu_n|=0[/mm]
ist.
hilft das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Fry |
Hey Vivo,
danke für deinen Antwort!
Also meine Frage ist, ob folgendes gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\bruch{1}{2}\sum_{i=1}^{k}|\mu^n_i-\pi_i|=0
[/mm]
[mm] \gdw \lim_{n\to\infty}\mu^{n}=\pi$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Mo 20.02.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo Fry,
wie Du in meinem letzten Beitrag siehst, reicht
[mm] \lim_{n\to \infty} \int_{\Omega}|d\mu-d\mu_n|=0 [/mm]
aus damit [mm]d_V(\mu_n,\mu) \to 0[/mm]
Andersherum konvergiert [mm]d_V[/mm] natürlich gegen Null wenn [mm]\mu_n \to \mu[/mm]
würde ich sagen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Fry |
Danke!
Aber wie ist denn [mm] |d\mu-d\mu_n| [/mm] zu verstehen? Ab ich noch nie gesehen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mo 20.02.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
Definition:
[mm] d_V(P,Q)=\sup_{A\in\mathcal{B}}|P(A)-Q(A)| [/mm]
man kann zeigen
[mm] d_V(P,Q)=\int_{\Omega}|dP-dQ| [/mm]
für Dichten wird dies zu
[mm] d_V(P,Q)=\int_{\IR}|f-g|dx [/mm]
jetzt mal ein Beispiel
Man betrachte die Exponentialverteilung und die Rechteckverteilung auf Null eins.
[mm]d_V\big(\exp,R(0,1)\big)=\int_0^1 (1-\exp(-x))dx+\int_1^{\infty}\exp(-x)dx=\frac{2}{e}[/mm]
hier sieht man inwiefern sich der Betrag auswirkt! Die Distanz ist Symmetrisch !
|
|
|
|
