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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Di 19.06.2007 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | Berechnen die den Trägheitstensor eines Würfels der Kantenlänge a
Die Koordinaten Achsen sollen mit drei Kanten des Würfels aufeinander fallen. |
Hi
Ich soll das den Trägheitstensor berechnen für drei Achsen die auf drei kanten von dem würfel verlaufen.
Für den Fall
[mm] I_{xx} [/mm] = [mm] \varrho \int_{V} (y^2 [/mm] + [mm] z^2) [/mm] dV
[mm] I_{yy} [/mm] = [mm] \varrho \int_{V} (x^2 [/mm] + [mm] z^2) [/mm] dV
[mm] I_{zz} [/mm] = [mm] \varrho \int_{V} (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] dV
Habe ich Jeweils [mm] \bruch{2}{3} a^{5} [/mm] rausbekommen
Nun für die anderen drei fällt:
[mm] I_{xy} [/mm] = [mm] I_{yx} [/mm] = [mm] -\varrho \int_{V} [/mm] yx dV
[mm] I_{yz} [/mm] = [mm] I_{zy} [/mm] = [mm] -\varrho \int_{V} [/mm] zy dV
[mm] I_{zx} [/mm] = [mm] I_{xz} [/mm] = [mm] -\varrho \int_{V} [/mm] xz dV
Habe ich gelesen, dass 0 rauskommen muss da die Kanten des Würfels ja gleichzeitig die Hauptträgheitsachsen sind und so der Tensor orthogonalgestallt haben muss?
Allerdings bekomme ich bei meiner integration immer was anderes heraus:
[mm] I_{xy} [/mm] = [mm] I_{yx} [/mm] = [mm] -\varrho \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{a}\integral_{0}^{a} [/mm] xy dx dy dz
Wenn ich dieses ausrechne erhalte ich immer: [mm] \bruch{1}{4} a^{5} [/mm] aber halt nicht 0 wie es eigendlich rauskommen sollte.
[mm] I_{xy} [/mm] = [mm] I_{yx} [/mm] = [mm] -\varrho \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{a}\integral_{0}^{a} [/mm] xy dx dy dz
= [mm] -\varrho \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{a} \bruch{1}{2} a^{2} [/mm] y dy dz
= [mm] -\varrho \integral_{0}^{a} \bruch{1}{2} a^{2} \bruch{1}{2} a^{2} [/mm] dz
= [mm] -\varrho \bruch{1}{2} a^{2} \bruch{1}{2} a^{2} [/mm] a
= [mm] -\varrho \bruch{1}{4} a^{5}
[/mm]
Kann mir bitte jemand sagen, wo mein fehler liegt ?
Ich stehe gerade total auf dem Schlauch.
Vielen Dank
Michael
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Hallo!
Die Kanten sind keine Hauptträgheitsachsen. Das gäbe eine ganz schöne Unwucht. Die Hauptträgheitsachsen liegen parallel zu den Kanten, gehen aber durch den Mittelpunkt.
Der Trägheitstensor bezüglich der HTA berechnet sich daher duch die Integration über jeweils [-0.5a; +0.5a]. Dann verschwinden deine komischen Werte auch.
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