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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mi 21.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Die Traktrix ist durch die Vorschrift
[mm] $c:(0,\pi)\to\mathbb{R}^2$, [/mm]
$c(t):=(sin(t), [mm] cos(t)+ln(tan(\frac{t}{2})))^t$
[/mm]
gegeben.
Betrachten Sie für jene t, für die c regulär ist, die Tangente in c(t). Berechnen Sie die Länge des Tangententeilstückes zwischen c(t) und ihrem Schnittpunkt mit der y-Achse. |
Hi,
ich brauche gerade etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
Ich habe bereits gezeigt, dass c für [mm] $t=\frac{\pi}{2}$ [/mm] nicht regulär ist.
Die Tangente sollte folgende Form haben:
[mm] $\begin{pmatrix} sin(t)+s\cdot cos(t)\\ cos(t)+ln(tan(\frac{\pi}{2}))+\frac{s\cdot cos^2(t)}{sin(t)}\end{pmatrix}$
[/mm]
Nun würde ich gerne den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen, aber bekomme das leider nicht hin
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse muss die x-Koordinate ja Null sein, aber wie rechne ich diesen Schnittpunkt aus?
Da hänge ich gerade. :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mi 21.05.2014 | | Autor: | hippias |
Setze den Ausdruck fuer die $x$-Koordinate $=0$ und stelle ihn nach $s$ um. Fuege dies in den Ausdruck fuer die $y$-Koordinate ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 21.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank.
So komme ich dann auf [mm] $log(tan(\frac{t}{2}))$ [/mm] wenn ich mich nicht verrechnet habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Do 22.05.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Vielen Dank.
>
> So komme ich dann auf [mm]log(tan(\frac{t}{2}))[/mm] wenn ich mich
> nicht verrechnet habe.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Do 22.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Traktrix ist durch die Vorschrift
>
> [mm]c:(0,\pi)\to\mathbb{R}^2[/mm],
>
> [mm]c(t):=(sin(t), cos(t)+ln(tan(\frac{t}{2})))^t[/mm]
>
> gegeben.
>
> Betrachten Sie für jene t, für die c regulär ist, die
> Tangente in c(t). Berechnen Sie die Länge des
> Tangententeilstückes zwischen c(t) und ihrem Schnittpunkt
> mit der y-Achse.
> Hi,
>
> ich brauche gerade etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
> Ich habe bereits gezeigt, dass c für [mm]t=\frac{\pi}{2}[/mm] nicht
> regulär ist.
>
> Die Tangente sollte folgende Form haben:
>
> [mm]\begin{pmatrix} sin(t)+s\cdot cos(t)\\ cos(t)+ln(tan(\frac{\pi}{2}))+\frac{s\cdot cos^2(t)}{sin(t)}\end{pmatrix}[/mm]
Dem kann ich leider nicht folgen.
FRED
>
> Nun würde ich gerne den Schnittpunkt mit der y-Achse
> berechnen, aber bekomme das leider nicht hin
>
> Für den Schnittpunkt mit der y-Achse muss die x-Koordinate
> ja Null sein, aber wie rechne ich diesen Schnittpunkt aus?
> Da hänge ich gerade. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Do 22.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.wie kommst du auf [mm] \pi/2 [/mm] als nicht regulären Punkt?
2. was soll das hoch t bei c(t)
3. hast du vielleicht nicht beachtet, dass im tan t/2 und nicht t steht?
4. deine Tangentengleichung kann ich nicht nachvollziehen.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Do 22.05.2014 | | Autor: | YuSul |
1.
Ich bilde die Ableitung und gucke wann diese Null ist. Das ist für [mm] $t=\frac{\pi}{2}$ [/mm] der Fall.
Meine Ableitung lautet:
$c [mm] '(t)=\begin{pmatrix} \cos(t)\\ \frac{\cos^2(t)}{\sin(t)}\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\cos(t)=0$
[/mm]
[mm] $t=\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Dafür wird auch die andere Komponente Null.
2.
Das hoch t soll einfach für transponiert stehen, damit ich es als Zeilenvektor schreiben kann...
3. Ich sehe meinen Fehler nicht. Meiner Meinung nach sollte die Kurve nur für [mm] $t=\frac{\pi}{2}$ [/mm] nicht regulär sein.
4.
Bezüglich der Tangente hatten wir aufgeschrieben:
Ist [mm] $c'(t)\neq [/mm] 0$ so heißt [mm] $\{c(t)+s\cdot c'(t)|s\in\mathbb{R}\}$ [/mm] die Tangente von c(t).
Ich habe also meine Ableitung einfach mit s multipliziert und mit c(t) addiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 22.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Also wenn ich nun den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne, dann komme ich auf
[mm] $\begin{pmatrix}0\\ log(tan(\frac{t}{2})\end{pmatrix}$
[/mm]
Um nun den Abstand zwischen dem Punkt auf der Kurve und dem Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen muss ich
[mm] $\begin{pmatrix}0\\ log(tan(\frac{t}{2})\end{pmatrix}-$\begin{pmatrix}-sin(t)\\ cos(t)+log(tan(\frac{t}{2})\end{pmatrix}$
[/mm]
rechnen um den Abstand auf y und x-Achse zu bekommen, damit ich den Satz des Pythagoras anwenden kann.
Die Länge ist dann
[mm] $\sqrt{(-\sin(t))^2+(-\cos(t))^2}=\sqrt{1}=1$
[/mm]
Also ist die Länge der Verbindungsstrecke von dem Kurvenpunkt an dem die Tangente angelegt wird und dem y-Achsenabschnitt konstant 1.
Ich weiß, dass das Ergebnis korrekt ist, aber nicht so recht ob dies auch der passende Rechenweg dazu ist.
Über eine kurze Kontrolle würde ich mich sehr freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Do 22.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Mich würde jetzt aber ehrlich gesagt noch interessieren was oben an meinen Rechnungen ausgesetzt wurde? Irgendwie erscheint mir alles als richtig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Fr 23.05.2014 | | Autor: | meili |
Hallo YuSul,
das mit dem "hoch t" als transponiert war ziemlich verwirrend, weil
t auch als Variable der Funktion vorkam.
In der Tangente im ersten Post stand, wahrscheinlich ein Flüchtigkeitsfehler,
[mm] $tan\left(\bruch{\pi}{2}\right)$ [/mm] statt [mm] $tan\left(\bruch{t}{2}\right)$.
[/mm]
Die Form, in der du die Tangente aufgeschrieben hast, ist für manche
wohl ungewohnt, aber richtig.
Auch ich brauchte lange bis ich herausgefunden hatte, dass die Ableitung
der 2. Komponente richtig war.
Aber insgesamt war schon alles richtig.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Fr 23.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Oh Entschuldigung. Dieser Tippfehler war mir gar nicht aufgefallen, auch nicht beim späteren drüberschauen. Na ja, es ist leicht etwas zu übersehen wonach man nicht guckt.
Bezüglich dem transponieren hatte ich die Aufgabenstellung nur original wiedergegeben. Da hätte ich vielleicht noch ein paar Worte zu verlieren können. Stimmt.
Ich entschuldige mich bei allen den die schwammige Fragestellung zu vergebener Mühe veranlasst hat.
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