Tranformationssatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also erstmal möchte ich gerne wissen, ob Transformationssatz und Transformationsformel das gleiche sind. Wir haben nämlich in der Vorlesung nur das eine aufgeschrieben, und auf dem Übungsblatt steht das andere...
Dann habe ich mir mal überlegt, was dieser Satz eigentlich aussagen will:
Wir haben eine Menge oder eine Körper oder so und eine Funktion, die dieses Gebilde abbildet. Und jetzt möchten wir wissen, wie sich das Volumen dieses Gebildes unter der Abbildung ändert, oder nicht? Wenn wir dann nämlich das Ausgansvolumen haben, dann können wir ganz einfach mithilfe dieser Formel das "Bildvolumen" berechnen.
Kann man das vereinfacht so sagen?
So, dann finde ich in meinem schlauen Buch:
[mm] \integral_{U}{f(T(x))*|detT'(x)|dx} [/mm] = [mm] \integral_{V}{f(y)dy}
[/mm]
hierbei sind U und V offene Teilmengen des [mm] \IR^n [/mm] und [mm] T:U\to [/mm] V ein Diffeomorphismus (ich hoffe, es reicht für meine Aufgabe, wenn ich mir darunter einfach eine Abbildung vorstelle...).
Jetzt habe ich nämlich folgende Aufgabe:
[mm] \Omega [/mm] = (0,1) [mm] \times [/mm] (0,1)
f(x,y)=xy
[mm] g(x,y)=(x-y^2,x^2y)^T
[/mm]
und ich soll berechnen:
[mm] \integral_{g(\Omega)}{f(x,y)d\mu(x,y)}
[/mm]
Und ich weiß hier nicht, was was in der Formel entspricht.
Also [mm] g(\Omega) [/mm] müsste doch dem V entsprechen, und U ist dann [mm] \Omega [/mm] oder was?
Also um das nochmal mit meinen ersten Worten zu sagen:
Ich will doch jetzt das Integral von f(x,y) wissen, und was kenne ich schon? Und die Abbildung, die das Ganze verändert ist g, oder? Muss ich g dann als Matrix aufstellen, um die Determinante davon berechnen zu können? Wäre das dann:
[mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = T
Denn die Einheitsvektoren (0,1) und (1,0) werden abgebildet auf [mm] (-1,0)^T [/mm] und [mm] (1,0)^T [/mm] - oder habe ich das dann falsch herum in die Matrix geschrieben? Mmh, dann wäre aber die Determinante 0 und somit auch das ganze Integral, oder?
Und f(T(x)) = [mm] (x-y^2)(x^2y)=x^3y-x^2y^3 [/mm] oder?
Ich hoffe, ich habe das jetzt nicht zu konfus aufgeschrieben...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 So 21.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Also erstmal möchte ich gerne wissen, ob
> Transformationssatz und Transformationsformel das gleiche
> sind.
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wir haben nämlich in der Vorlesung nur das eine
> aufgeschrieben, und auf dem Übungsblatt steht das
> andere...
Das liegt daran, dass die Übungszettel vom Assistenten eures Profs geschrieben werden und der die Vorlesung nicht so detailliert kennt (sondern nur grob weiß, was gemacht wurde). Ist mir auch (leider!) häufiger passiert, dass ich beim Verfassen der Übungszettel andere Bezeichnungen gewählt habe als die, die in der Vorlesung erwähnt wurden.
> Dann habe ich mir mal überlegt, was dieser Satz eigentlich
> aussagen will:
> Wir haben eine Menge oder eine Körper oder so und eine
> Funktion, die dieses Gebilde abbildet. Und jetzt möchten
> wir wissen, wie sich das Volumen dieses Gebildes unter der
> Abbildung ändert, oder nicht? Wenn wir dann nämlich das
> Ausgansvolumen haben, dann können wir ganz einfach mithilfe
> dieser Formel das "Bildvolumen" berechnen.
> Kann man das vereinfacht so sagen?
Grob gesagt ja. Im Falle, wo $f$ die konstante Einsfunktion ist (und somit eine charakteristische Funktion der Integrand ist), handelt es sich um klassische Volumina der unterliegenden Mengen und dann stimmt deine Bemerkungen sogar eins zu eins.
> So, dann finde ich in meinem schlauen Buch:
> [mm]\integral_{U}{f(T(x))*|detT'(x)|dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{V}{f(y)dy}
[/mm]
> hierbei sind U und V offene Teilmengen des [mm]\IR^n[/mm] und
> [mm]T:U\to[/mm] V ein Diffeomorphismus (ich hoffe, es reicht für
> meine Aufgabe, wenn ich mir darunter einfach eine Abbildung
> vorstelle...).
Ja, wenn du im Hinterkopf hast, dass die Abbildung zudem bijektiv und samt Unkehrabbildung stetig differenzierbar ist (denn das ist die Definition von "Diffeomorphismus".  )
> Jetzt habe ich nämlich folgende Aufgabe:
> [mm]\Omega[/mm] = (0,1) [mm]\times[/mm] (0,1)
> f(x,y)=xy
> [mm]g(x,y)=(x-y^2,x^2y)^T
[/mm]
> und ich soll berechnen:
> [mm]\integral_{g(\Omega)}{f(x,y)d\mu(x,y)}
[/mm]
> Und ich weiß hier nicht, was was in der Formel
> entspricht.
> Also [mm]g(\Omega)[/mm] müsste doch dem V entsprechen, und U ist
> dann [mm]\Omega[/mm] oder was?
> Also um das nochmal mit meinen ersten Worten zu sagen:
> Ich will doch jetzt das Integral von f(x,y) wissen, und
> was kenne ich schon? Und die Abbildung, die das Ganze
> verändert ist g, oder?
> Muss ich g dann als Matrix
> aufstellen, um die Determinante davon berechnen zu können?
> Wäre das dann:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] = T
Nein!! $g$ ist ja nicht linear und lässt sich somit nicht durch eine Matrix beschreiben. Stattdessen ist mit [mm] $|\det [/mm] T'(x)|$ der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix an der Stelle $x$ gemeint. Du musst also erst von $g$ die Jacobi-Matrix aufstellen (also die, wo ersten partiellen Ableitungen drinstehen) und davon dann die Determinante ausrechnen.
Willst du es noch einmal selber versuchen? 
> Und f(T(x)) = [mm](x-y^2)(x^2y)=x^3y-x^2y^3[/mm] oder?
Das stimmt dann wieder...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Do 25.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> > Wir haben nämlich in der Vorlesung nur das eine
> > aufgeschrieben, und auf dem Übungsblatt steht das
> > andere...
>
> Das liegt daran, dass die Übungszettel vom Assistenten
> eures Profs geschrieben werden und der die Vorlesung nicht
> so detailliert kennt (sondern nur grob weiß, was gemacht
> wurde). Ist mir auch (leider!) häufiger passiert, dass ich
> beim Verfassen der Übungszettel andere Bezeichnungen
> gewählt habe als die, die in der Vorlesung erwähnt
> wurden.
Ja, das habe ich mir schon gedacht. Aber manchmal kommt es auch vor, dass zwei Sachen fast genauso heißen, aber doch ganz was anderes sind. Deswegen wollte ich nur mal auf Nummer Sicher gehen. Jetzt weiß ich's ja!
> > So, dann finde ich in meinem schlauen Buch:
> > [mm]\integral_{U}{f(T(x))*|detT'(x)|dx}[/mm] =
> > [mm]\integral_{V}{f(y)dy}
[/mm]
> > hierbei sind U und V offene Teilmengen des [mm]\IR^n[/mm] und
>
> > [mm]T:U\to[/mm] V ein Diffeomorphismus (ich hoffe, es reicht für
>
> > meine Aufgabe, wenn ich mir darunter einfach eine
> Abbildung
> > vorstelle...).
>
> Ja, wenn du im Hinterkopf hast, dass die Abbildung zudem
> bijektiv und samt Unkehrabbildung stetig differenzierbar
> ist (denn das ist die Definition von "Diffeomorphismus".
> )
Gut, diese Definition habe ich mir direkt aufgeschrieben.
> > Jetzt habe ich nämlich folgende Aufgabe:
> > [mm]\Omega[/mm] = (0,1) [mm]\times[/mm] (0,1)
> > f(x,y)=xy
> > [mm]g(x,y)=(x-y^2,x^2y)^T
[/mm]
> > und ich soll berechnen:
> > [mm]\integral_{g(\Omega)}{f(x,y)d\mu(x,y)}
[/mm]
>
> > Und ich weiß hier nicht, was was in der Formel
> > entspricht.
> > Also [mm]g(\Omega)[/mm] müsste doch dem V entsprechen, und U ist
>
> > dann [mm]\Omega[/mm] oder was?
> Nein!! [mm]g[/mm] ist ja nicht linear und lässt sich somit nicht
> durch eine Matrix beschreiben. Stattdessen ist mit [mm]|\det T'(x)|[/mm]
> der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix an der Stelle
> [mm]x[/mm] gemeint. Du musst also erst von [mm]g[/mm] die Jacobi-Matrix
> aufstellen (also die, wo ersten partiellen Ableitungen
> drinstehen) und davon dann die Determinante ausrechnen.
Okay, das hatte ich gar nicht beachtet, dass g nicht linear ist. Danke für den Hinweis - da wäre ja sonst alles schief gegangen! Und danke auch noch für die Definition der Jacobi-Matrix, die hätte ich sonst nochmal nachgucken müssen. Aber Paul hat sie mir sogar in der anderen Frage schon beantwortet, aber das hätte ich dann wohl auch selber geschafft!
> Willst du es noch einmal selber versuchen?
Natürlich! (Bin allerdings erst jetzt dazu gekommen...)
Okay, also, wenn das da oben alles so ist, wie es ist, dann habe ich hier folgendes stehen:
[mm] \integral_{g(\Omega)}{f(x,y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{\Omega}{f(g(x))*|det(g'(x))|dx}
[/mm]
Wobei ich mir hier nicht sicher bin, ob ich da links jetzt f(x,y) hinschreiben soll, in der Formel kommt ja nur ein x vor, aber mein f hängt doch von beiden ab. Oder muss ich das so umformen, dass es nur noch von einem abhängt? Wenn ja, wie?
Und rechts: steht da dann nur noch dx? Oder kommt da auch noch ein y hinzu?
Naja, jedenfalls habe ich damit schon mal weitergerechnet:
[mm] =\integral_{\Omega}{(x^3 y-x^2 y^3)(x^2+4xy^2)}dx
[/mm]
da kommt dann bei mir am Ende raus:
[mm] =\bruch{1}{6}x^6 [/mm] y + [mm] \bruch{3}{5}x^5 y^3 [/mm] - [mm] x^4 y^5
[/mm]
Also, falls ich mich verrechnet haben sollte - wenn's nur das ist, werde ich das selber gerade gebogen bekommen. Aber wenn da was anderes falsch ist, wüsste ich gerne, was.
Jedenfalls habe ich mich nämlich dann gefragt, ob das alles ist, was ich berechnen kann. Aber da ich ja ein [mm] \Omega [/mm] gegeben habe, wird man da wohl noch mehr berechnen können. Und jetzt fürchte ich, dass auch meine dx und dy nicht so ganz richtig waren, jedenfalls weiß ich nicht, wie ich mein [mm] \Omega [/mm] da jetzt einsetzen kann, so dass ich weiterrechnen kann. Mmh.
Übrigens habe ich auch den Betrag erstmal weggelassen, weil ich zuerst gedacht hatte, dass ich x und y ja sowieso nicht gegeben habe, aber das stimmt ja wohl nicht so ganz...
Und dann fiel mir noch auf, dass in der Aufgabenstellung [mm] d\mu(x,y) [/mm] steht, was hat das nochmal zu bedeuten? Hilft mir das hier weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Okay, also, wenn das da oben alles so ist, wie es ist, dann
> habe ich hier folgendes stehen:
> [mm]\integral_{g(\Omega)}{f(x,y) dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{\Omega}{f(g(x))*|det(g'(x))|dx}
[/mm]
Nicht ganz. Richtig muss es heißen:
[mm] $\int\limits_{g(\Omega)} f(x,y)\, \mu(dx,dy) [/mm] = [mm] \int\limits_{\Omega} [/mm] f(g(x,y)) [mm] \cdot |\det g'(x,y)|\, \mu(dx,dy)$,
[/mm]
denn es sind ja Integrale auf dem [mm] $\IR^2$.
[/mm]
So, und nun haben wir:
[mm] $\int\limits_{\Omega} [/mm] f(g(x,y)) [mm] \cdot |\det [/mm] g'(x,y)| [mm] \, \mu(dx,dy)$
[/mm]
$= [mm] \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 (x-y^2(x^2y) \cdot |x^2 [/mm] + 2xy| [mm] \, [/mm] dxdy$
$= [mm] \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 [/mm] (x^5y + [mm] 3x^4 y^3 [/mm] - [mm] 4x^3y^5)\, [/mm] dxdy$
(das hattest du ja selber schon ausgerechnet; die Beträge darf man deswegen lassen, weil innendrinnen im Bereich $[0,1] [mm] \times [/mm] [0,1]$ eh alles nichtnegativ war)
$= [mm] \int\limits_0^1 [\frac{1}{6}x^6y [/mm] + [mm] \frac{3}{5}x^5y^3 [/mm] - [mm] x^4y^5]_{x=0}^{x=1} \, [/mm] dy$
$= [mm] \int\limits_0^1 \left(\frac{1}{6}y + \frac{3}{5}y^3 - y^5 \right)\, [/mm] dy$
$= [mm] \left[ \frac{1}{12}y^2 + \frac{3}{20}y^4 - \frac{1}{6}y^6 \right]_{y=0}^{y=1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{12} [/mm] + [mm] \frac{3}{20} [/mm] - [mm] \frac{1}{6}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{15}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Danke für die Antwort, leider war sie diesmal doch zu spät.
Aber mir kam da heute morgen noch die Erleuchtung, ich glaube, ich habe es ziemlich richtig gemacht. Jedenfalls hatte ich das gleiche Ergebnis raus, es kann höchstens sein, dass ich zwischendrin mal ein x oder y nicht aufgeschrieben habe.
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 So 21.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
diese Aufgabe steht natürlich im Zusammenhang mit der Aufgabe, die ich dir gestern Abend schon beantwortet habe. Hätte ich dann schon die vorliegende Aufgabe gelesen, dann hätte ich die Bezeichnungen dort bereits umgekehrt. Der Raum, wo die krummen Linien liegen, hätte mit einem x-y-Koordinatensystem versehen werden sollen, und der Raum mit [mm] $\Omega$ [/mm] mit einem u-v-Koordinatensystem.
Für das vorliegende Beispiel solltest du das $g(x,y)_$ umschreiben in ein $g(u,v)_$.
Dann ist zu setzen:
[mm] $x:=g(u,v)=u-v^{2}$
[/mm]
$y:=g(u,v)=u^2v$
Die infinitesimalen Linienelemente sind dann nicht $dx_$ und $dy_$, sondern $du_$ und $dv_$.
$u_$ läuft von 0 bis 1, ebenso v (weil [mm] $\Omega$ [/mm] so vorgegeben ist)
Das ist jetzt zwar eine Pedanterie, fürs Verständnis solltest du das vorerst aber so machen, auch wenn man es später in der Praxis wieder anders macht. Da wird man sofort wieder eine Umbenennung vornehmen (also wieder mit x und y rechnen), was die zugrundeliegende Theorie meiner Meinung nach aber etwas verschleiert. Denn: die x-Grenzen laufen ja in der krummlinig berandeten Fläche. Warum dann plötzlich nur noch von 0 bis 1? Eben, weil man die Variablen nach der Substitution sofort wieder umgetauft hat!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
